Страница 40 - гдз по геометрии 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Вариант 4

Самостоятельная работа № 1

Аксиомы стереометрии

1. Сколько плоскостей можно провести через точки D, E и F, если:

1) $DE = 12$ см, $DF = 15$ см, $EF = 27$ см;

2) $DE = 22$ см, $DF = 17$ см, $EF = 18$ см?

2. Вершина C треугольника ABC принадлежит плоскости $\alpha$, а вершины A и B ей не принадлежат. Продолжения медиан AM и BN треугольника ABC пересекают плоскость $\alpha$ в точках P и Q соответственно. Докажите, что точки C, P и Q лежат на одной прямой.

3. Точки касания вписанной окружности треугольника с его сторонами принадлежат плоскости $\alpha$. Принадлежат ли плоскости $\alpha$ вершины треугольника?

Для решения задачи 1 необходимо определить, лежат ли точки $D$, $E$ и $F$ на одной прямой (коллинеарны). Согласно аксиоме стереометрии, через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость. Если же три точки лежат на одной прямой, то через них можно провести бесконечно много плоскостей.

Три точки лежат на одной прямой, если длина одного из отрезков, соединяющих их, равна сумме длин двух других отрезков.

1) $DE = 12$ см, $DF = 15$ см, $EF = 27$ см

Проверим, выполняется ли равенство для данных длин:

$DE + DF = 12 + 15 = 27$ см.

Так как $DE + DF = EF$ ($27 \text{ см} = 27 \text{ см}$), точки $D$, $E$ и $F$ лежат на одной прямой. Через прямую можно провести бесконечное множество плоскостей.

Ответ: Бесконечно много.

2) $DE = 22$ см, $DF = 17$ см, $EF= 18$ см

Проверим, выполняется ли одно из равенств:

$DE + DF = 22 + 17 = 39 \neq 18$

$DE + EF = 22 + 18 = 40 \neq 17$

$DF + EF = 17 + 18 = 35 \neq 22$

Ни одно из равенств не выполняется, значит, точки $D$, $E$ и $F$ не лежат на одной прямой. Следовательно, через них можно провести только одну плоскость.

Ответ: Одну.

2.

Обозначим плоскость, в которой лежит треугольник $ABC$, как плоскость $\beta$. Все элементы треугольника, включая его вершины $A, B, C$ и медианы $AM, BN$, лежат в этой плоскости $\beta$.

По условию, продолжение медианы $AM$ (прямая $AM$) пересекает плоскость $\alpha$ в точке $P$. Это означает, что точка $P$ принадлежит одновременно и прямой $AM$, и плоскости $\alpha$. Поскольку прямая $AM$ полностью лежит в плоскости $\beta$, то точка $P$ также принадлежит плоскости $\beta$. Следовательно, точка $P$ принадлежит линии пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$.

Аналогично, продолжение медианы $BN$ (прямая $BN$) пересекает плоскость $\alpha$ в точке $Q$. Значит, точка $Q$ принадлежит одновременно и прямой $BN$, и плоскости $\alpha$. Так как прямая $BN$ лежит в плоскости $\beta$, то точка $Q$ также принадлежит плоскости $\beta$. Следовательно, точка $Q$ также лежит на линии пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$.

По условию, вершина $C$ принадлежит плоскости $\alpha$. Как вершина треугольника $ABC$, точка $C$ также принадлежит плоскости $\beta$. Таким образом, точка $C$ тоже лежит на линии пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$.

Поскольку все три точки $C$, $P$ и $Q$ принадлежат одной и той же прямой (линии пересечения двух плоскостей $\alpha$ и $\beta$), они являются коллинеарными, то есть лежат на одной прямой.

Ответ: Что и требовалось доказать.

3.

Пусть $K, L, M$ — точки касания вписанной окружности со сторонами $AB, BC$ и $AC$ треугольника $ABC$ соответственно. По условию задачи, точки $K, L, M$ принадлежат плоскости $\alpha$.

Для любого невырожденного треугольника точки касания вписанной окружности с его сторонами не лежат на одной прямой. Согласно аксиоме стереометрии, через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость. Таким образом, точки $K, L, M$ однозначно задают плоскость $\alpha$.

Рассмотрим плоскость $\beta$, в которой лежит треугольник $ABC$.

Точка $K$ лежит на стороне $AB$. Так как вся прямая $AB$ лежит в плоскости $\beta$, то точка $K$ также принадлежит плоскости $\beta$.

Аналогично, точка $L$ лежит на стороне $BC$, следовательно, $L$ принадлежит плоскости $\beta$.

Точка $M$ лежит на стороне $AC$, следовательно, $M$ принадлежит плоскости $\beta$.

Таким образом, мы имеем три не коллинеарные точки $K, L, M$, которые одновременно принадлежат и плоскости $\alpha$ (по условию), и плоскости $\beta$. Поскольку через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести только одну плоскость, это означает, что плоскости $\alpha$ и $\beta$ совпадают.

Вершины треугольника $A, B, C$ по определению лежат в плоскости $\beta$. Так как плоскость $\beta$ совпадает с плоскостью $\alpha$, то вершины $A, B, C$ также принадлежат плоскости $\alpha$.

Ответ: Да, принадлежат.

Самостоятельная работа № 2

Следствия из аксиом стереометрии

1. Трапеция $ABCD$, диагонали которой пересекаются в точке $M$, лежит в плоскости $\alpha$. Точка $K$ не принадлежит плоскости $\alpha$. Можно ли провести плоскость через прямую $KM$ и точки $A$ и $C$?

2. Вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ лежат по одну сторону от плоскости $\alpha$, а вершина $A$ — по другую. Докажите, что точки пересечения сторон $AB$ и $AC$ с плоскостью $\alpha$ и точки пересечения биссектрис углов $ABC$ и $ACB$ с плоскостью $\alpha$ лежат на одной прямой.

3. Прямая $l$ пересекает плоскость $DEF$ в точке $D$. На прямой $l$ отметили точки $A$ и $B$. Могут ли прямые $AE$ и $BF$ пересекаться?

1.

По условию, трапеция $ABCD$ лежит в плоскости $\alpha$. Это означает, что все ее вершины $A, B, C, D$ принадлежат плоскости $\alpha$.

Диагонали трапеции $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $M$. Так как точки $A$ и $C$ лежат в плоскости $\alpha$, то и вся прямая $AC$ лежит в этой плоскости. Аналогично, прямая $BD$ лежит в плоскости $\alpha$. Точка пересечения прямых $AC$ и $BD$, точка $M$, также принадлежит плоскости $\alpha$.

Таким образом, точки $A$, $M$ и $C$ лежат на одной прямой ($AC$) и все принадлежат плоскости $\alpha$.

Вопрос состоит в том, можно ли провести плоскость через прямую $KM$ и точки $A$ и $C$. Поскольку точки $A$, $M$, $C$ лежат на одной прямой, задача сводится к вопросу о возможности провести плоскость через прямую $KM$ и прямую $AC$.

Прямые $KM$ и $AC$ имеют общую точку $M$, то есть они пересекаются. Согласно следствию из аксиом стереометрии, через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Эта плоскость будет содержать обе прямые, $KM$ и $AC$, а значит, будет проходить через прямую $KM$ и точки $A$ и $C$.

Ответ: Да, можно.

2.

Пусть плоскость, в которой лежит треугольник $ABC$, называется $\beta$.

По условию, вершины треугольника $ABC$ не лежат в одной полуплоскости относительно плоскости $\alpha$. Это означает, что плоскость $\beta$ не параллельна плоскости $\alpha$ и не совпадает с ней. Следовательно, плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по некоторой прямой. Обозначим эту прямую $l$. Таким образом, $l = \alpha \cap \beta$.

Рассмотрим точки пересечения, упомянутые в задаче:

1. Точка пересечения стороны $AB$ с плоскостью $\alpha$. Сторона $AB$ является отрезком прямой, которая целиком лежит в плоскости $\beta$. Так как точки $A$ и $B$ находятся по разные стороны от плоскости $\alpha$, прямая $AB$ пересекает плоскость $\alpha$. Точка их пересечения должна принадлежать как прямой $AB$ (и, следовательно, плоскости $\beta$), так и плоскости $\alpha$. Значит, эта точка лежит на линии пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$, то есть на прямой $l$.

2. Точка пересечения стороны $AC$ с плоскостью $\alpha$. Аналогично, прямая $AC$ лежит в плоскости $\beta$, а точки $A$ и $C$ находятся по разные стороны от $\alpha$. Следовательно, точка пересечения прямой $AC$ и плоскости $\alpha$ также должна лежать на прямой $l$.

3. Точка пересечения биссектрисы угла $ABC$ с плоскостью $\alpha$. Биссектриса угла $ABC$ — это луч (или прямая), который полностью лежит в плоскости треугольника $ABC$, то есть в плоскости $\beta$. Если эта прямая пересекает плоскость $\alpha$, то точка пересечения по определению принадлежит обеим плоскостям, а значит, лежит на их линии пересечения $l$.

4. Точка пересечения биссектрисы угла $ACB$ с плоскостью $\alpha$. Эта биссектриса также лежит в плоскости $\beta$. Её точка пересечения с плоскостью $\alpha$ (если она существует) должна лежать на прямой $l$.

Таким образом, все четыре указанные точки пересечения принадлежат одной и той же прямой $l$, которая является линией пересечения плоскости треугольника $ABC$ и плоскости $\alpha$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

3.

Предположим, что прямые $AE$ и $BF$ пересекаются в некоторой точке $P$.

Согласно аксиоме стереометрии, если две прямые пересекаются, то они лежат в одной плоскости. Обозначим эту плоскость $\gamma$. Таким образом, точки $A, E, B, F$ должны лежать в одной плоскости $\gamma$.

Поскольку точки $A$ и $B$ принадлежат плоскости $\gamma$, то вся прямая, проходящая через них (а это прямая $l$), также должна лежать в плоскости $\gamma$.

По условию задачи, прямая $l$ пересекает плоскость $DEF$ в точке $D$. Это означает, что точка $D$ принадлежит прямой $l$. Так как прямая $l$ лежит в плоскости $\gamma$, то и точка $D$ принадлежит плоскости $\gamma$.

Точки $E$ и $F$ по условию лежат в плоскости $DEF$. Из нашего предположения следует, что они также лежат в плоскости $\gamma$.

Таким образом, три точки $D, E, F$ принадлежат как плоскости $DEF$, так и плоскости $\gamma$.

Если точки $D, E, F$ не лежат на одной прямой (что подразумевается, так как они определяют "плоскость $DEF$"), то через них проходит единственная плоскость. Следовательно, плоскость $\gamma$ должна совпадать с плоскостью $DEF$.

Если плоскость $\gamma$ и плоскость $DEF$ совпадают, то прямая $l$, которая, как мы установили, лежит в плоскости $\gamma$, должна также лежать и в плоскости $DEF$.

Однако это противоречит условию задачи, где сказано, что прямая $l$ *пересекает* плоскость $DEF$ в точке $D$. Это означает, что прямая $l$ и плоскость $DEF$ имеют только одну общую точку $D$, а не то, что прямая $l$ целиком лежит в этой плоскости.

Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение было неверным.

Ответ: Нет, не могут.