Страница 43 - гдз по геометрии 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 6

Параллельность плоскостей

1. Основанием пирамиды $SABCD$ является параллелограмм $ABCD$. Плоскость, параллельная плоскости $CSD$, пересекает рёбра $SB$, $SA$ и $AD$ в точках $E$, $F$ и $M$ соответственно. Известно, что $SE : EB = 2 : 5$, $AD = 28$ см. Найдите отрезки $AM$ и $MD$.

2. Точки $D$ и $D_1$ лежат по разные стороны от плоскости $\beta$. Точки $F, F_1, E$ и $E_1$ лежат в плоскости $\beta$ (рис. 42). Известно, что $DE \parallel D_1E_1$, $DF \parallel D_1F_1$, $DF : D_1F_1 = 4 : 3$, $E_1F_1 = 9$ см.

1) Докажите, что прямые $DD_1$, $EE_1$ и $FF_1$ пересекаются в одной точке.

2) Найдите отрезок $EF$.

3. На рёбрах $A_1B_1$ и $B_1C_1$ призмы $ABCA_1B_1C_1$ отметили точки $M$ и $F$ соответственно. На грани $ABC$ отметили точку $Q$ (рис. 43). Постройте сечение призмы плоскостью $MFQ$.

Рис. 42

Рис. 43

1.

Поскольку плоскость сечения (назовем ее $\alpha$) параллельна плоскости $CSD$, то линии пересечения этих плоскостей с любой третьей плоскостью будут параллельны.

1. Рассмотрим плоскость грани $SAD$. Она пересекает плоскость $CSD$ по прямой $SD$, а плоскость $\alpha$ по прямой $FM$. Так как $(EFM) \parallel (CSD)$, то $FM \parallel SD$.

2. Основание $ABCD$ — параллелограмм, следовательно, $AB \parallel CD$.

3. Рассмотрим плоскость грани $SAB$. Плоскость $SAB$ пересекается с плоскостью $CSD$ по прямой, проходящей через точку $S$ и параллельной $CD$ (и, следовательно, $AB$). Плоскость $\alpha$ пересекает плоскость $SAB$ по прямой $EF$. Так как $(EFM) \parallel (CSD)$, то их линии пересечения с плоскостью $SAB$ параллельны. Следовательно, $EF \parallel AB$.

4. В треугольнике $SAB$ отрезок $EF$ параллелен стороне $AB$. По теореме о пропорциональных отрезках (обобщенной теореме Фалеса) имеем: $ \frac{SE}{SB} = \frac{SF}{SA} $

Из условия $SE : EB = 2 : 5$ следует, что $SB = SE + EB$. Если принять $SE = 2x$, то $EB = 5x$, а $SB = 7x$. Тогда $ \frac{SE}{SB} = \frac{2x}{7x} = \frac{2}{7} $. Значит, $ \frac{SF}{SA} = \frac{2}{7} $.

5. Теперь вернемся к плоскости $SAD$. Мы установили, что $FM \parallel SD$. Точка $F$ лежит на отрезке $SA$, а точка $M$ — на отрезке $AD$. Рассмотрим угол $SAD$, пересеченный параллельными прямыми $FM$ и $SD$. По теореме о пропорциональных отрезках: $ \frac{AF}{AS} = \frac{AM}{AD} $

Найдем отношение $\frac{AF}{AS}$. Поскольку $F$ лежит на $SA$, то $AF = SA - SF$. $ \frac{AF}{AS} = \frac{SA - SF}{SA} = 1 - \frac{SF}{SA} = 1 - \frac{2}{7} = \frac{5}{7} $

Следовательно, $ \frac{AM}{AD} = \frac{5}{7} $.

6. Найдем длины отрезков $AM$ и $MD$, зная, что $AD = 28$ см. $ AM = \frac{5}{7} \cdot AD = \frac{5}{7} \cdot 28 = 5 \cdot 4 = 20 $ см. $ MD = AD - AM = 28 - 20 = 8 $ см.

Ответ: $AM = 20$ см, $MD = 8$ см.

2.

1) Докажите, что прямые $DD_1$, $EE_1$ и $FF_1$ пересекаются в одной точке.

Рассмотрим прямые $DE$ и $D_1E_1$. По условию, $DE \parallel D_1E_1$. Две параллельные прямые однозначно задают плоскость. Обозначим эту плоскость $\gamma_1 = (DEE_1D_1)$. Прямые $DD_1$ и $EE_1$ лежат в этой плоскости $\gamma_1$.

Точки $D$ и $D_1$ лежат по разные стороны от плоскости $\beta$, а точки $E$ и $E_1$ лежат в плоскости $\beta$. Это означает, что прямая $DD_1$ не может быть параллельна прямой $EE_1$ (которая лежит в плоскости $\beta$). Так как прямые $DD_1$ и $EE_1$ лежат в одной плоскости и не параллельны, они пересекаются. Обозначим точку их пересечения $O$.

Поскольку прямая $EE_1$ лежит в плоскости $\beta$, то и точка их пересечения $O$ также принадлежит плоскости $\beta$.

Аналогично рассмотрим прямые $DF$ и $D_1F_1$. По условию, $DF \parallel D_1F_1$. Они задают плоскость $\gamma_2 = (DFF_1D_1)$. Прямые $DD_1$ и $FF_1$ лежат в этой плоскости $\gamma_2$. По тем же причинам, что и выше, они не параллельны и пересекаются в некоторой точке $O'$.

Поскольку прямая $FF_1$ лежит в плоскости $\beta$, то и точка их пересечения $O'$ также принадлежит плоскости $\beta$.

Таким образом, мы имеем две точки, $O$ и $O'$, которые обе лежат на прямой $DD_1$ и обе лежат в плоскости $\beta$. Прямая, не лежащая в плоскости, может пересекать ее только в одной точке. Следовательно, точки $O$ и $O'$ совпадают: $O = O'$.

Это означает, что все три прямые $DD_1$, $EE_1$ и $FF_1$ пересекаются в одной точке $O$. Что и требовалось доказать.

2) Найдите отрезок $EF$.

Из доказательства в пункте 1) мы знаем, что прямые пересекаются в точке $O$, лежащей в плоскости $\beta$.

Рассмотрим плоскость $\gamma_2 = (DFF_1D_1)$. В этой плоскости лежат треугольники $\triangle ODF$ и $\triangle OD_1F_1$. Так как $DF \parallel D_1F_1$, эти треугольники подобны по двум углам ($\angle DOF = \angle D_1OF_1$ как вертикальные; $\angle OFD = \angle OF_1D_1$ как накрест лежащие при параллельных прямых $DF$, $D_1F_1$ и секущей $FF_1$).

Из подобия следует пропорциональность сторон: $ \frac{OD}{OD_1} = \frac{OF}{OF_1} = \frac{DF}{D_1F_1} $

По условию $DF : D_1F_1 = 4 : 3$, значит $ \frac{DF}{D_1F_1} = \frac{4}{3} $. Следовательно, $ \frac{OD}{OD_1} = \frac{OF}{OF_1} = \frac{4}{3} $.

Теперь рассмотрим плоскость $\gamma_1 = (DEE_1D_1)$ и лежащие в ней подобные треугольники $\triangle ODE$ и $\triangle OD_1E_1$ (подобие доказывается аналогично). Из их подобия: $ \frac{OE}{OE_1} = \frac{OD}{OD_1} $ Значит, $ \frac{OE}{OE_1} = \frac{4}{3} $.

Наконец, рассмотрим треугольники $\triangle OEF$ и $\triangle OE_1F_1$, которые лежат в плоскости $\beta$.

У них общий угол $\angle EOF$. Стороны, образующие этот угол, пропорциональны: $ \frac{OE}{OE_1} = \frac{OF}{OF_1} = \frac{4}{3} $

Следовательно, $\triangle OEF \sim \triangle OE_1F_1$ по второму признаку подобия (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними).

Из подобия этих треугольников следует, что отношение третьих сторон также равно коэффициенту подобия: $ \frac{EF}{E_1F_1} = \frac{4}{3} $

По условию $E_1F_1 = 9$ см. Найдем $EF$: $ EF = \frac{4}{3} \cdot E_1F_1 = \frac{4}{3} \cdot 9 = 4 \cdot 3 = 12 $ см.

Ответ: $EF = 12$ см.

3.

Построение сечения призмы плоскостью $MFQ$ выполняется следующим образом:

1. Точки $M$ и $F$ лежат в плоскости верхней грани $(A_1B_1C_1)$. Соединяем их отрезком. Отрезок $MF$ является линией пересечения секущей плоскости с плоскостью верхней грани и одной из сторон искомого сечения.

2. Плоскости оснований призмы параллельны: $(A_1B_1C_1) \parallel (ABC)$. Секущая плоскость $(MFQ)$ пересекает эти параллельные плоскости по параллельным прямым. Следовательно, линия пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания $(ABC)$ будет параллельна прямой $MF$.

3. Точка $Q$ по условию лежит и в секущей плоскости $(MFQ)$, и в плоскости нижнего основания $(ABC)$. Значит, $Q$ принадлежит линии их пересечения.

4. В плоскости нижнего основания $(ABC)$ через точку $Q$ проводим прямую, параллельную прямой $MF$. Эта прямая пересечет ребра основания $AB$ и $BC$ (судя по расположению точки $Q$ на рисунке) в некоторых точках. Назовем эти точки $X$ и $Y$ соответственно. $X \in AB$, $Y \in BC$. Отрезок $XY$ — еще одна сторона сечения.

5. Теперь у нас есть вершины сечения, лежащие на ребрах четырех граней. Соединим последовательно точки, лежащие в одних гранях:

• Точки $M$ и $X$ лежат в плоскости боковой грани $(AA_1B_1B)$. Соединяем их отрезком $MX$.
• Точки $F$ и $Y$ лежат в плоскости боковой грани $(BB_1C_1C)$. Соединяем их отрезком $FY$.

6. В результате получаем замкнутый четырехугольник $MFYX$. Этот четырехугольник и является искомым сечением призмы плоскостью $MFQ$.

Ответ: Искомое сечение — четырехугольник $MFYX$, построенный согласно описанным шагам.

Самостоятельная работа № 7

Преобразование фигур в пространстве.

Параллельное проектирование.

1. Точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ являются параллельными проекциями точек $A$, $B$ и $C$, лежащих на одной прямой (точка $C$ лежит между точками $A$ и $B$). Найдите отрезок $A_1C_1$, если $BC = 10$ см, $B_1C_1 = AC = 25$ см.

2. Точки $D$, $P$, $F$ и $E$ принадлежат рёбрам $AB$, $AC$, $A_1B_1$ и $A_1C_1$ призмы $ABCA_1B_1C_1$ соответственно. Известно, что $AD : DB = AP : PC = 2 : 3$, $A_1F : FB_1 = A_1E : EC_1 = 4 : 1$. Какая геометрическая фигура является параллельной проекцией прямых $DP$ и $FE$ на плоскость $ABB_1$ в направлении прямой $CB_1$? Найдите отношение проекций отрезков $DP$ и $FE$.

3. Точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ — параллельные проекции точек $A$, $B$, $C$ на плоскость $\alpha$ (рис. 44). Прямая $b_1$ принадлежит плоскости $\alpha$ и является проекцией прямой $b$, лежащей в плоскости $ABC$. Постройте прямую $b$.

Рис. 44

1.При параллельном проектировании точек, лежащих на одной прямой, на плоскость, сохраняется порядок их расположения и отношение длин отрезков, образованных этими точками.Поскольку точка $C$ лежит между точками $A$ и $B$, то ее проекция $C_1$ будет лежать между проекциями $A_1$ и $B_1$.Свойство сохранения отношения длин отрезков для точек на одной прямой записывается так:$\frac{AC}{BC} = \frac{A_1C_1}{B_1C_1}$По условию задачи нам даны длины отрезков: $BC = 10$ см, $AC = 25$ см и $B_1C_1 = 25$ см. Подставим эти значения в формулу:$\frac{25}{10} = \frac{A_1C_1}{25}$Теперь выразим и найдем длину отрезка $A_1C_1$:$A_1C_1 = \frac{25}{10} \cdot 25 = 2.5 \cdot 25 = 62.5$ см.
Ответ: $A_1C_1 = 62.5$ см.

2.1. Определим, какой фигурой является проекция.В треугольнике $ABC$ точки $D$ и $P$ лежат на сторонах $AB$ и $AC$ соответственно. По условию, отношение $AD : DB = 2 : 3$ и $AP : PC = 2 : 3$. Отсюда следует, что $\frac{AD}{AB} = \frac{2}{2+3} = \frac{2}{5}$ и $\frac{AP}{AC} = \frac{2}{2+3} = \frac{2}{5}$. Так как $\frac{AD}{AB} = \frac{AP}{AC}$, то по теореме, обратной теореме Фалеса, прямая $DP$ параллельна прямой $BC$ ($DP \parallel BC$).Аналогично в треугольнике $A_1B_1C_1$ точки $F$ и $E$ лежат на сторонах $A_1B_1$ и $A_1C_1$. По условию, $A_1F : FB_1 = 4 : 1$ и $A_1E : EC_1 = 4 : 1$. Следовательно, $\frac{A_1F}{A_1B_1} = \frac{4}{4+1} = \frac{4}{5}$ и $\frac{A_1E}{A_1C_1} = \frac{4}{4+1} = \frac{4}{5}$. Таким образом, прямая $FE$ параллельна прямой $B_1C_1$ ($FE \parallel B_1C_1$).В призме $ABCA_1B_1C_1$ основания параллельны, поэтому $BC \parallel B_1C_1$.Из этого следует, что $DP \parallel BC \parallel B_1C_1 \parallel FE$, то есть прямые $DP$ и $FE$ параллельны.При параллельном проектировании двух параллельных прямых на плоскость их проекциями будут либо две параллельные прямые, либо одна прямая. В общем случае, когда плоскость, содержащая исходные прямые, не параллельна направлению проектирования, проекцией будут две параллельные прямые.Таким образом, искомая геометрическая фигура — это две параллельные прямые.2. Найдем отношение проекций отрезков.При параллельном проектировании отношение длин отрезков, лежащих на параллельных прямых, сохраняется. Это значит, что отношение длин проекций отрезков $DP$ и $FE$ равно отношению длин самих отрезков:$\frac{|DP_{проeкц}|}{|FE_{проeкц}|} = \frac{|DP|}{|FE|}$Из подобия треугольников $\triangle ADP$ и $\triangle ABC$ (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними) следует:$\frac{|DP|}{|BC|} = \frac{AD}{AB} = \frac{2}{5} \implies |DP| = \frac{2}{5}|BC|$Из подобия треугольников $\triangle A_1FE$ и $\triangle A_1B_1C_1$ следует:$\frac{|FE|}{|B_1C_1|} = \frac{A_1F}{A_1B_1} = \frac{4}{5} \implies |FE| = \frac{4}{5}|B_1C_1|$Так как в призме длины соответствующих сторон оснований равны, $|BC| = |B_1C_1|$.Найдем отношение длин отрезков $DP$ и $FE$:$\frac{|DP|}{|FE|} = \frac{\frac{2}{5}|BC|}{\frac{4}{5}|B_1C_1|} = \frac{2/5}{4/5} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$Следовательно, отношение их проекций также равно $1:2$.
Ответ: Параллельной проекцией прямых $DP$ и $FE$ являются две параллельные прямые. Отношение проекций отрезков $DP$ и $FE$ равно $1:2$.

3.Для построения прямой $b$ необходимо построить две ее точки. Прямая $b$ лежит в плоскости $ABC$. Ее проекцией является прямая $b_1$, лежащая в плоскости $\alpha$. Построение основано на свойстве параллельного проектирования: проекцией точки пересечения двух прямых является точка пересечения их проекций. Следовательно, чтобы найти точку на прямой $b$, можно найти точку пересечения ее проекции $b_1$ с проекцией какой-либо другой прямой, лежащей в плоскости $ABC$, а затем построить прообраз этой точки пересечения.Алгоритм построения прямой $b$:1. Найдем точку пересечения $P_1$ проекции $b_1$ с проекцией одной из сторон треугольника, например, с прямой $A_1C_1$. $P_1 = b_1 \cap A_1C_1$.2. Прообраз точки $P_1$, точка $P$, должен лежать на прообразе прямой $b_1$ (то есть на искомой прямой $b$) и на прообразе прямой $A_1C_1$ (то есть на прямой $AC$). Таким образом, $P = b \cap AC$. Для построения точки $P$ проведем через точку $P_1$ прямую, параллельную направлению проектирования (например, параллельную отрезку $AA_1$). Точка пересечения этой прямой с прямой $AC$ и будет точкой $P$.3. Для нахождения второй точки повторим процедуру. Найдем точку пересечения $Q_1$ прямой $b_1$ с проекцией другой стороны треугольника, например, с прямой $B_1C_1$. $Q_1 = b_1 \cap B_1C_1$.4. Прообраз точки $Q_1$, точка $Q$, лежит на прямой $b$ и на прямой $BC$ ($Q = b \cap BC$). Для построения точки $Q$ проведем через точку $Q_1$ прямую, параллельную направлению проектирования (например, $BB_1$). Точка пересечения этой прямой с прямой $BC$ и будет точкой $Q$.5. Проведем прямую через построенные точки $P$ и $Q$. Эта прямая и является искомой прямой $b$.
Ответ: Искомая прямая $b$ строится путем нахождения двух ее точек $P$ и $Q$. Точка $P$ находится как пересечение прямой $AC$ с прямой, проходящей через точку $P_1 = b_1 \cap A_1C_1$ параллельно $AA_1$. Точка $Q$ находится как пересечение прямой $BC$ с прямой, проходящей через точку $Q_1 = b_1 \cap B_1C_1$ параллельно $BB_1$. Прямая, проходящая через $P$ и $Q$, является искомой прямой $b$.