Страница 45 - гдз по геометрии 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 9

Угол между прямыми в пространстве

1. Отрезки $BN$ и $A_1E$ соответственно — высоты граней $ABC$ и $A_1B_1C_1$ призмы $ABCA_1B_1C_1$. Найдите угол между прямыми $BN$ и $A_1E$, если $\angle ACB = 40^\circ$.

2. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известно, что $AB = BB_1 = 4\sqrt{2}$ см, $BC = 3$ см. Найдите косинус угла между прямыми $A_1B$ и $AD_1$.

3. Рёбра $AD$ и $BC$ тетраэдра $DABC$ равны 6 см и 3 см соответственно, а угол между прямыми $AD$ и $BC$ равен $60^\circ$. Найдите расстояние между серединами рёбер $AC$ и $BD$.

1. Угол между скрещивающимися прямыми $BN$ и $A_1E$ равен углу между пересекающимися прямыми, которые им параллельны. Прямая $BN$ лежит в плоскости основания $ABC$. Прямая $A_1E$ лежит в плоскости основания $A_1B_1C_1$.

Поскольку призма $ABCA_1B_1C_1$, то основание $A_1B_1C_1$ можно получить параллельным переносом основания $ABC$ на вектор $\vec{AA_1}$. При этом переносе высота $A_1E$ треугольника $A_1B_1C_1$ перейдет в высоту $AF$ треугольника $ABC$, проведенную из вершины $A$ к стороне $BC$.

Таким образом, искомый угол между прямыми $BN$ и $A_1E$ равен углу между высотами $BN$ и $AF$ треугольника $ABC$.

Рассмотрим четырехугольник $CNHF$, где $H$ — точка пересечения высот $BN$ и $AF$. В этом четырехугольнике:

• $\angle BNC = 90^\circ$ (так как $BN$ — высота к $AC$)
• $\angle AFC = 90^\circ$ (так как $AF$ — высота к $BC$)
• $\angle ACB = 40^\circ$ (по условию)

Сумма углов четырехугольника равна $360^\circ$. Отсюда:

$\angle NHF + \angle HFC + \angle FCN + \angle CNH = 360^\circ$

$\angle NHF + 90^\circ + 40^\circ + 90^\circ = 360^\circ$

$\angle NHF = 360^\circ - 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$

Угол между прямыми по определению является острым или прямым углом. Угол $\angle NHF = 140^\circ$ — это один из углов, образованных при пересечении прямых $BN$ и $AF$. Смежный с ним угол равен $180^\circ - 140^\circ = 40^\circ$.

Следовательно, угол между прямыми $BN$ и $AF$ равен $40^\circ$.

Ответ: $40^\circ$.

2. Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $A_1B$ и $AD_1$ воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A$ и осями, направленными вдоль ребер $AB$, $AD$ и $AA_1$.

Из условия имеем: $AB = 4\sqrt{2}$ см, $BB_1 = 4\sqrt{2}$ см, $BC = 3$ см. В прямоугольном параллелепипеде $AD = BC = 3$ см и $AA_1 = BB_1 = 4\sqrt{2}$ см.

Определим координаты нужных точек:

• $A(0, 0, 0)$
• $B(4\sqrt{2}, 0, 0)$
• $D(0, 3, 0)$
• $A_1(0, 0, 4\sqrt{2})$
• $D_1(0, 3, 4\sqrt{2})$

Найдем векторы, соответствующие нашим прямым:

$\vec{A_1B} = \{4\sqrt{2}-0, 0-0, 0-4\sqrt{2}\} = \{4\sqrt{2}, 0, -4\sqrt{2}\}$

$\vec{AD_1} = \{0-0, 3-0, 4\sqrt{2}-0\} = \{0, 3, 4\sqrt{2}\}$

Косинус угла $\theta$ между векторами можно найти по формуле:

$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

Найдем скалярное произведение векторов:

$\vec{A_1B} \cdot \vec{AD_1} = (4\sqrt{2} \cdot 0) + (0 \cdot 3) + (-4\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{2}) = 0 + 0 - 16 \cdot 2 = -32$

Найдем длины векторов:

$|\vec{A_1B}| = \sqrt{(4\sqrt{2})^2 + 0^2 + (-4\sqrt{2})^2} = \sqrt{32 + 0 + 32} = \sqrt{64} = 8$

$|\vec{AD_1}| = \sqrt{0^2 + 3^2 + (4\sqrt{2})^2} = \sqrt{0 + 9 + 32} = \sqrt{41}$

Теперь найдем косинус угла между векторами:

$\cos \theta = \frac{-32}{8 \cdot \sqrt{41}} = -\frac{4}{\sqrt{41}}$

Угол между прямыми — это острый угол, поэтому его косинус должен быть неотрицательным. Косинус угла между прямыми равен модулю косинуса угла между направляющими векторами.

$\cos \alpha = |\cos \theta| = |-\frac{4}{\sqrt{41}}| = \frac{4}{\sqrt{41}}$

Ответ: $\frac{4}{\sqrt{41}}$.

3. Пусть $M$ — середина ребра $AC$, а $N$ — середина ребра $BD$. Для нахождения расстояния $MN$ воспользуемся векторным методом. Рассмотрим вспомогательную конструкцию.

Пусть $O$ — середина ребра $AB$. В треугольнике $ABC$ отрезок $OM$ является средней линией, следовательно, $OM$ параллельна $BC$ и $OM = \frac{1}{2}BC = \frac{3}{2}$.

В треугольнике $ABD$ отрезок $ON$ является средней линией, следовательно, $ON$ параллельна $AD$ и $ON = \frac{1}{2}AD = \frac{6}{2} = 3$.

Таким образом, мы получили треугольник $OMN$. Расстояние $MN$ — это длина его третьей стороны. Угол $\angle MON$ между сторонами $OM$ и $ON$ равен углу между прямыми $BC$ и $AD$ (или смежному с ним), так как $OM \parallel BC$ и $ON \parallel AD$.

Угол между прямыми $AD$ и $BC$ равен $60^\circ$. Это означает, что угол между векторами $\vec{OM}$ и $\vec{ON}$ может быть $60^\circ$ или $120^\circ$. В зависимости от взаимного расположения ребер тетраэдра, возможны оба случая. Для определенности будем считать, что угол между векторами, образующими "каркас" треугольника $OMN$, является тупым, то есть $\angle MON = 120^\circ$.

Применим теорему косинусов для треугольника $OMN$:

$MN^2 = OM^2 + ON^2 - 2 \cdot OM \cdot ON \cdot \cos(\angle MON)$

$MN^2 = (\frac{3}{2})^2 + 3^2 - 2 \cdot \frac{3}{2} \cdot 3 \cdot \cos(120^\circ)$

$MN^2 = \frac{9}{4} + 9 - 9 \cdot (-\frac{1}{2})$

$MN^2 = \frac{9}{4} + \frac{36}{4} + \frac{9}{2} = \frac{45}{4} + \frac{18}{4} = \frac{63}{4}$

$MN = \sqrt{\frac{63}{4}} = \frac{\sqrt{9 \cdot 7}}{2} = \frac{3\sqrt{7}}{2}$

(Примечание: если бы угол $\angle MON$ был $60^\circ$, ответ был бы $MN = \frac{3\sqrt{3}}{2}$)

Ответ: $\frac{3\sqrt{7}}{2}$ см.

Самостоятельная работа № 10

Перпендикулярность прямой и плоскости

1. Точка N лежит вне плоскости ромба ABCD и равноудалена от точек A и C. Докажите, что прямая AC перпендикулярна плоскости BND.

2. Прямая PC перпендикулярна плоскости прямоугольника ABCD. Известно, что $AB = 9$ см, $AP = 17$ см, $PC = 12$ см. Найдите отрезок BC.

3. В прямоугольном параллелепипеде $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ известно, что $AD = AA_1$. На рёбрах $AD$ и $A_1 D_1$ отметили точки N и F соответственно так, что $AN : ND = 1 : 2$, $A_1 F : FD_1 = 4 : 3$. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку F и перпендикулярной прямой $A_1 N$. В каком отношении секущая плоскость делит ребро $BB_1$?

1. Пусть O - точка пересечения диагоналей ромба ABCD. Поскольку ABCD - ромб, его диагонали взаимно перпендикулярны, то есть $AC \perp BD$.
Рассмотрим треугольник ANC. По условию, точка N равноудалена от точек A и C, следовательно, $NA = NC$. Это означает, что треугольник ANC является равнобедренным с основанием AC.
Отрезок NO соединяет вершину N с серединой основания O (так как диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам). В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Следовательно, $NO \perp AC$.
Таким образом, прямая AC перпендикулярна двум пересекающимся прямым BD и NO, лежащим в плоскости BND (прямые BD и NO пересекаются в точке O).
По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая AC перпендикулярна плоскости BND, что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.

2. Поскольку прямая PC перпендикулярна плоскости прямоугольника ABCD, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. В частности, $PC \perp AC$.
Следовательно, треугольник PAC является прямоугольным с гипотенузой AP.
По теореме Пифагора для треугольника PAC: $AP^2 = AC^2 + PC^2$.
Подставим известные значения: $17^2 = AC^2 + 12^2$.
$289 = AC^2 + 144$.
$AC^2 = 289 - 144 = 145$.
Теперь рассмотрим прямоугольник ABCD. Треугольник ABC является прямоугольным, так как угол B прямой ($\angle B = 90^\circ$).
По теореме Пифагора для треугольника ABC: $AC^2 = AB^2 + BC^2$.
Подставим известные значения: $145 = 9^2 + BC^2$.
$145 = 81 + BC^2$.
$BC^2 = 145 - 81 = 64$.
$BC = \sqrt{64} = 8$ см.
Ответ: 8 см.

3. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке A. Направим ось Ox вдоль ребра AD, ось Oy вдоль ребра AB и ось Oz вдоль ребра AA₁.
Пусть $AD = AA_1 = a$ и $AB = b$. Тогда грань $ADD_1A_1$ является квадратом.
Координаты вершин: $A(0, 0, 0)$, $D(a, 0, 0)$, $A_1(0, 0, a)$, $D_1(a, 0, a)$.
Найдем координаты точек N и F.
Точка N лежит на ребре AD так, что $AN : ND = 1:2$, следовательно, $AN = \frac{1}{3}AD$. Координаты точки N: $N(\frac{a}{3}, 0, 0)$.
Точка F лежит на ребре $A_1D_1$ так, что $A_1F : FD_1 = 4:3$, следовательно, $A_1F = \frac{4}{7}A_1D_1$. Координаты точки F: $F(\frac{4a}{7}, 0, a)$.
Искомая плоскость сечения перпендикулярна прямой $A_1N$. Значит, вектор $\vec{A_1N}$ является вектором нормали $\vec{n}$ к этой плоскости.
$\vec{n} = \vec{A_1N} = (\frac{a}{3} - 0; 0 - 0; 0 - a) = (\frac{a}{3}, 0, -a)$.
Для удобства можно взять коллинеарный вектор, умножив координаты на $\frac{3}{a}$: $\vec{n'} = (1, 0, -3)$.
Уравнение плоскости, проходящей через точку $M_0(x_0, y_0, z_0)$ с вектором нормали $\vec{n'}(A, B, C)$, имеет вид $A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$.
Плоскость проходит через точку $F(\frac{4a}{7}, 0, a)$, поэтому ее уравнение:
$1 \cdot (x - \frac{4a}{7}) + 0 \cdot (y - 0) - 3 \cdot (z - a) = 0$.
$x - \frac{4a}{7} - 3z + 3a = 0$
$x - 3z + \frac{17a}{7} = 0$.
Чтобы найти, в каком отношении секущая плоскость делит ребро $BB_1$, найдем точку K — точку пересечения плоскости с прямой $BB_1$.
Прямая $BB_1$ задается уравнениями $x=0, y=b$. Координаты точки K будут $(0, b, z_K)$.
Подставим эти координаты в уравнение плоскости:
$0 - 3z_K + \frac{17a}{7} = 0$, откуда $3z_K = \frac{17a}{7}$, и $z_K = \frac{17a}{21}$.
Итак, точка пересечения $K$ имеет координаты $(0, b, \frac{17a}{21})$.
Найдем отношение, в котором точка K делит ребро $BB_1$. Длина $BB_1$ равна $a$. Координаты точек $B(0, b, 0)$ и $B_1(0, b, a)$.
$BK = z_K - z_B = \frac{17a}{21} - 0 = \frac{17a}{21}$.
$KB_1 = z_{B_1} - z_K = a - \frac{17a}{21} = \frac{4a}{21}$.
Следовательно, искомое отношение $BK : KB_1 = \frac{17a}{21} : \frac{4a}{21} = 17:4$.
Ответ: 17:4.