Страница 48 - гдз по геометрии 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 16

Площадь ортогональной проекции

многоугольника

1. Ортогональной проекцией треугольника $ABC$ на некоторую плоскость является равнобедренный треугольник $A_1B_1C_1$, боковая сторона которого равна 13 см, а основание — 10 см. Найдите угол между плоскостями $ABC$ и $A_1B_1C_1$, если площадь треугольника $ABC$ равна $60\sqrt{2}$ $см^2$.

2. Треугольник $P_1K_1F_1$ — ортогональная проекция треугольника $PKF$ на плоскость $\beta$. Треугольник $P_2K_2F_2$ — ортогональная проекция треугольника $P_1K_1F_1$ на плоскость $PKF$. Найдите площадь треугольника $P_1K_1F_1$, если площади треугольников $PKF$ и $P_2K_2F_2$ соответственно равны 90 $см^2$ и 9 $см^2$.

3. Грань $ABCD$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является квадратом, сторона которого равна 5 см, а ребро $BB_1$ равно 6 см. На рёбрах $AB$ и $BC$ отметили точки $Q$ и $N$ соответственно так, что $BQ = BN = 4$ см. Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью $QND_1$.

1.

Пусть $\alpha$ — искомый угол между плоскостью треугольника $ABC$ и плоскостью его проекции $A_1B_1C_1$. Площадь ортогональной проекции ($S_{пр}$) связана с площадью исходной фигуры ($S$) формулой: $S_{пр} = S \cdot \cos\alpha$.

В данной задаче $S = S_{ABC} = 60\sqrt{2}$ см², а $S_{пр} = S_{A_1B_1C_1}$. Найдем площадь треугольника $A_1B_1C_1$.

Треугольник $A_1B_1C_1$ — равнобедренный с боковыми сторонами по 13 см и основанием 10 см. Найдем его высоту $h$, проведенную к основанию. Высота делит основание на два отрезка по 5 см и является катетом в прямоугольном треугольнике, где гипотенуза — боковая сторона (13 см), а второй катет — половина основания (5 см).

По теореме Пифагора:

$h^2 + 5^2 = 13^2$

$h^2 + 25 = 169$

$h^2 = 144$

$h = 12$ см.

Площадь треугольника $A_1B_1C_1$ равна:

$S_{A_1B_1C_1} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60$ см².

Теперь можем найти угол $\alpha$ из формулы проекции:

$S_{A_1B_1C_1} = S_{ABC} \cdot \cos\alpha$

$60 = 60\sqrt{2} \cdot \cos\alpha$

$\cos\alpha = \frac{60}{60\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Отсюда, $\alpha = \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.

2.

Пусть $S_{PKF}$ — площадь исходного треугольника, $S_{P_1K_1F_1}$ — площадь его первой проекции на плоскость $\beta$, а $S_{P_2K_2F_2}$ — площадь второй проекции (проекции треугольника $P_1K_1F_1$ на плоскость треугольника $PKF$).

По условию, $S_{PKF} = 90$ см² и $S_{P_2K_2F_2} = 9$ см².

Пусть $\alpha$ — угол между плоскостью треугольника $PKF$ и плоскостью $\beta$.

Тогда площадь первой проекции равна:

$S_{P_1K_1F_1} = S_{PKF} \cdot \cos\alpha = 90 \cos\alpha$ (1)

Площадь второй проекции (проекции $P_1K_1F_1$ обратно на исходную плоскость) равна:

$S_{P_2K_2F_2} = S_{P_1K_1F_1} \cdot \cos\alpha$ (2)

Подставим известные значения во второе уравнение:

$9 = S_{P_1K_1F_1} \cdot \cos\alpha$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными: $S_{P_1K_1F_1}$ и $\cos\alpha$. Выразим $\cos\alpha$ из второго уравнения:

$\cos\alpha = \frac{9}{S_{P_1K_1F_1}}$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$S_{P_1K_1F_1} = 90 \cdot \left(\frac{9}{S_{P_1K_1F_1}}\right)$

$(S_{P_1K_1F_1})^2 = 90 \cdot 9 = 810$

$S_{P_1K_1F_1} = \sqrt{810} = \sqrt{81 \cdot 10} = 9\sqrt{10}$ см².

Ответ: $9\sqrt{10}$ см².

3.

Для нахождения площади сечения введем систему координат. Поместим начало координат в вершину $D$, ось $Ox$ направим по ребру $DA$, ось $Oy$ — по ребру $DC$, ось $Oz$ — по ребру $DD_1$.

В этой системе координат вершины основания имеют координаты: $D(0,0,0)$, $A(5,0,0)$, $C(0,5,0)$, $B(5,5,0)$. Высота $BB_1 = 6$, поэтому координаты верхних вершин: $D_1(0,0,6)$, $A_1(5,0,6)$, $C_1(0,5,6)$, $B_1(5,5,6)$.

Найдем координаты точек $Q$ и $N$.

Точка $Q$ лежит на ребре $AB$ ($x=5, 0 \le y \le 5, z=0$), и $BQ=4$. Координаты $B(5,5,0)$, значит $Q$ имеет координаты $(5, 5-4, 0)$, то есть $Q(5,1,0)$.

Точка $N$ лежит на ребре $BC$ ($0 \le x \le 5, y=5, z=0$), и $BN=4$. Координаты $B(5,5,0)$, значит $N$ имеет координаты $(5-4, 5, 0)$, то есть $N(1,5,0)$.

Сечение проходит через точки $Q(5,1,0)$, $N(1,5,0)$ и $D_1(0,0,6)$. Составим уравнение плоскости сечения $ax+by+cz=d$. Подставляя координаты точек, получаем систему:

Для $D_1(0,0,6): a \cdot 0 + b \cdot 0 + c \cdot 6 = d \implies 6c=d$

Для $Q(5,1,0): a \cdot 5 + b \cdot 1 + c \cdot 0 = d \implies 5a+b=d$

Для $N(1,5,0): a \cdot 1 + b \cdot 5 + c \cdot 0 = d \implies a+5b=d$

Из последних двух уравнений: $5a+b = a+5b \implies 4a=4b \implies a=b$.

Подставим $a=b$ в $5a+b=d$, получим $6a=d$. Так как $6c=d$, то $a=c$. Следовательно, $a=b=c$. Положив $a=1$, получаем $b=1, c=1, d=6$.

Уравнение плоскости сечения: $x+y+z=6$.

Найдем точки пересечения этой плоскости с ребрами параллелепипеда. Кроме $Q, N, D_1$ найдем остальные вершины сечения:

Пересечение с ребром $AA_1$ (прямая $x=5, y=0$): $5+0+z=6 \implies z=1$. Получаем точку $M(5,0,1)$.

Пересечение с ребром $CC_1$ (прямая $x=0, y=5$): $0+5+z=6 \implies z=1$. Получаем точку $P(0,5,1)$.

Таким образом, сечение является пятиугольником $QNPD_1M$.

Для нахождения его площади $S_{сеч}$ воспользуемся методом проекций. Спроектируем пятиугольник на плоскость основания $Oxy$ и найдем площадь проекции $S_{пр}$. Тогда $S_{сеч} = \frac{S_{пр}}{\cos\gamma}$, где $\gamma$ — угол между плоскостью сечения и плоскостью основания.

Нормальный вектор к плоскости сечения $x+y+z=6$ есть $\vec{n}=(1,1,1)$. Нормальный вектор к плоскости основания $z=0$ есть $\vec{k}=(0,0,1)$.

$\cos\gamma = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{k}|}{|\vec{n}| \cdot |\vec{k}|} = \frac{|1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 1|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2} \cdot \sqrt{0^2+0^2+1^2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Проекцией сечения на плоскость $Oxy$ является пятиугольник $QNC D A$ (проекции точек $P, D_1, M$ совпадают с $C, D, A$).

Площадь этого пятиугольника можно найти как разность площади квадрата $ABCD$ и площади треугольника $BQN$.

$S_{ABCD} = 5^2 = 25$ см².

Треугольник $BQN$ — прямоугольный с катетами $BQ=4$ см и $BN=4$ см. Его площадь:

$S_{BQN} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8$ см².

Площадь проекции сечения:

$S_{пр} = S_{ABCD} - S_{BQN} = 25 - 8 = 17$ см².

Площадь сечения равна:

$S_{сеч} = \frac{S_{пр}}{\cos\gamma} = \frac{17}{1/\sqrt{3}} = 17\sqrt{3}$ см².

Ответ: $17\sqrt{3}$ см².