Номер 7, страница 19 - гдз по геометрии 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 7

Преобразование фигур в пространстве.

Параллельное проектирование

1. Точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ являются параллельными проекция- ми на плоскость $\alpha$ соответственно точек $A$, $B$ и $C$, лежа- щих на одной прямой (точка $C$ лежит между точками $A$и $B$). Найдите отрезок $B_1C_1$, если $AC = 4$ см, $A_1C_1 = BC = 6$ см.

2. Точки $F$, $K$, $M$ и $E$ принадлежат рёбрам $BC$, $AC$, $A_1C_1$ и $B_1C_1$ призмы $ABCA_1B_1C_1$ соответственно. Известно, что $CF : FB = CK : KA = 4 : 1$, $C_1M : MA_1 = C_1E : EB_1 = 1 : 6$. Какая геометрическая фигура является параллельной проекцией прямых $KF$ и $ME$ на плоскость $ACC_1$ в на- правлении прямой $BC_1$? Найдите отношение проекций отрезков $KF$ и $ME$.

3. Точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ — парал- лельные проекции точек $A$, $B$, $C$ на плоскость $\alpha$ (рис. 30). Прямая $p_1$ при- надлежит плоскости $\alpha$ и яв- ляется проекцией прямой $p$, лежащей в плоскости $ABC$. Постройте прямую $p$.

Рис. 20

1.

При параллельном проектировании сохраняется отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой. Точки A, B, C лежат на одной прямой, и точка C находится между A и B. Их параллельные проекции A₁, B₁, C₁ также лежат на одной прямой.

Следовательно, выполняется соотношение:

$$ \frac{AC}{BC} = \frac{A_1C_1}{B_1C_1} $$

Подставим известные значения в формулу: $AC = 4$ см, $BC = 6$ см, $A_1C_1 = 6$ см.

$$ \frac{4}{6} = \frac{6}{B_1C_1} $$

Отсюда найдем длину отрезка $B_1C_1$:

$$ 4 \cdot B_1C_1 = 6 \cdot 6 $$

$$ 4 \cdot B_1C_1 = 36 $$

$$ B_1C_1 = \frac{36}{4} $$

$$ B_1C_1 = 9 \text{ см} $$

Ответ: 9 см.

2.

Сначала определим, какой фигурой является проекция. Для этого рассмотрим взаимное расположение прямых KF и ME.

В треугольнике ABC точки K и F лежат на сторонах AC и BC соответственно. Из условия $CK:KA = 4:1$ следует, что $CK = \frac{4}{5}CA$. Из условия $CF:FB = 4:1$ следует, что $CF = \frac{4}{5}CB$. Так как $\frac{CK}{CA} = \frac{CF}{CB} = \frac{4}{5}$, то по теореме, обратной теореме Фалеса, прямая KF параллельна прямой AB.

Аналогично рассмотрим треугольник A₁B₁C₁. Точки M и E лежат на сторонах A₁C₁ и B₁C₁ соответственно. Из условия $C_1M:MA_1 = 1:6$ следует, что $C_1M = \frac{1}{7}C_1A_1$. Из условия $C_1E:EB_1 = 1:6$ следует, что $C_1E = \frac{1}{7}C_1B_1$. Так как $\frac{C_1M}{C_1A_1} = \frac{C_1E}{C_1B_1} = \frac{1}{7}$, то прямая ME параллельна прямой A₁B₁.

Поскольку ABCA₁B₁C₁ — призма, ее основания параллельны, то есть $AB \parallel A_1B_1$. Отсюда следует, что $KF \parallel ME$.

При параллельном проектировании проекциями двух параллельных прямых являются либо две параллельные прямые, либо одна прямая. В данном случае прямые KF и ME не параллельны направлению проектирования (прямой BC₁), так как $AB$ и $BC_1$ — скрещивающиеся ребра призмы. Следовательно, проекцией прямых KF и ME на плоскость ACC₁ будет пара параллельных прямых.

Теперь найдем отношение длин проекций отрезков KF и ME. При параллельном проектировании сохраняется отношение длин параллельных отрезков. Поэтому отношение длин проекций будет равно отношению длин самих отрезков KF и ME.

Из подобия треугольников CKF и CAB (с коэффициентом $k = \frac{4}{5}$) следует, что $KF = \frac{4}{5}AB$.

Из подобия треугольников C₁ME и C₁A₁B₁ (с коэффициентом $k' = \frac{1}{7}$) следует, что $ME = \frac{1}{7}A_1B_1$.

Так как в призме $AB = A_1B_1$, мы можем найти отношение длин отрезков KF и ME:

$$ \frac{|KF|}{|ME|} = \frac{\frac{4}{5}|AB|}{\frac{1}{7}|A_1B_1|} = \frac{\frac{4}{5}}{\frac{1}{7}} = \frac{4}{5} \cdot 7 = \frac{28}{5} $$

Таким образом, отношение длин проекций также равно $28:5$.

Ответ: Проекцией является пара параллельных прямых; отношение длин проекций отрезков KF и ME равно $28:5$.

3.

Для построения прямой $p$ необходимо найти две точки, принадлежащие этой прямой. Прямая $p$ является прообразом прямой $p_1$ при заданном параллельном проектировании и лежит в плоскости ABC.

Построение выполняется следующим образом:

1. Находим первую точку прямой $p$. Из рисунка видно, что прямая $p_1$ проходит через точку $C_1$. Так как $C_1$ является проекцией точки $C$, то ее прообраз — точка $C$ — будет лежать на искомой прямой $p$. Таким образом, точка $C$ — первая точка прямой $p$.

2. Находим вторую точку прямой $p$. Выберем на прямой $p_1$ еще одну удобную точку. Пусть это будет точка $K_1$ — точка пересечения прямой $p_1$ с прямой $A_1B_1$.

3. Строим прообраз точки $K_1$. Прообраз точки $K_1$, назовем его $K$, должен лежать на прообразе прямой $A_1B_1$, то есть на прямой $AB$. Также отрезок $KK_1$ должен быть параллелен направлению проектирования (т.е. параллелен отрезкам $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$).

4. Для нахождения точки $K$ на прямой $AB$ проводим через точку $K_1$ прямую, параллельную прямой $AA_1$. Точка пересечения этой прямой с прямой $AB$ и будет искомой точкой $K$.

5. Соединяем найденные точки $C$ и $K$. Прямая, проходящая через точки $C$ и $K$, является искомой прямой $p$.

Ответ: Искомая прямая $p$ проходит через точку $C$ и точку $K$, где $K$ — это точка пересечения прямой $AB$ с прямой, проведенной через точку $K_1 = p_1 \cap A_1B_1$ параллельно $AA_1$.