Номер 1, страница 16 - гдз по геометрии 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Вариант 2

Самостоятельная работа № 1

Аксиомы стереометрии

1. Сколько плоскостей можно провести через точки $M$, $N$ и $K$, если:

1) $MN = 17$ см, $NK = 14$ см, $MK = 31$ см;

2) $MN = 19$ см, $NK = 12$ см, $MK = 15$ см?

2. Вершина $D$ четырёхугольника $ABCD$ принадлежит плоскости $\alpha$, а остальные вершины лежат вне этой плоскости. Продолжения стороны $BC$ и диагонали $AC$ пересекают плоскость $\alpha$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Докажите, что точки $D$, $M$ и $N$ лежат на одной прямой.

3. Основания биссектрис треугольника принадлежат плоскости $\alpha$. Принадлежат ли плоскости $\alpha$ вершины треугольника?

1.

1) Чтобы определить, сколько плоскостей можно провести через три точки, необходимо установить, лежат ли они на одной прямой (коллинеарны). Три точки $M$, $N$ и $K$ коллинеарны, если сумма длин двух каких-либо отрезков, соединяющих эти точки, равна длине третьего отрезка. Проверим это условие для заданных длин: $MN = 17$ см, $NK = 14$ см, $MK = 31$ см.
Вычислим сумму длин отрезков $MN$ и $NK$:
$MN + NK = 17 + 14 = 31$ см.
Эта сумма равна длине отрезка $MK$. Так как $MN + NK = MK$, точка $N$ лежит на отрезке $MK$, и, следовательно, все три точки $M, N, K$ лежат на одной прямой.
Согласно аксиоме стереометрии, через любую прямую можно провести бесконечное множество плоскостей.

Ответ: Бесконечное множество.

2) Проверим условие коллинеарности для точек с длинами отрезков: $MN = 19$ см, $NK = 12$ см, $MK = 15$ см.
Проверим, выполняется ли равенство для какой-либо комбинации сторон:
$MN + NK = 19 + 12 = 31$ см, что не равно $MK = 15$ см.
$NK + MK = 12 + 15 = 27$ см, что не равно $MN = 19$ см.
$MN + MK = 19 + 15 = 34$ см, что не равно $NK = 12$ см.
Так как сумма длин любых двух отрезков не равна длине третьего, точки $M, N, K$ не лежат на одной прямой. Они образуют вершины треугольника.
Согласно аксиоме стереометрии, через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.

Ответ: Одну.

2.

Четырёхугольник $ABCD$ является плоской фигурой. Обозначим плоскость, в которой он лежит, как $\beta$. Следовательно, все его вершины $A, B, C, D$ принадлежат плоскости $\beta$.
По условию, вершина $D$ также принадлежит плоскости $\alpha$. Значит, точка $D$ является общей для плоскостей $\alpha$ и $\beta$.
Прямая, содержащая сторону $BC$, целиком лежит в плоскости $\beta$. По условию, продолжение $BC$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $M$. Это означает, что $M \in BC$ и $M \in \alpha$. Так как $BC \subset \beta$, то и $M \in \beta$. Следовательно, точка $M$ является общей для плоскостей $\alpha$ и $\beta$.
Аналогично, прямая, содержащая диагональ $AC$, целиком лежит в плоскости $\beta$. По условию, продолжение $AC$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $N$. Это означает, что $N \in AC$ и $N \in \alpha$. Так как $AC \subset \beta$, то и $N \in \beta$. Следовательно, точка $N$ также является общей для плоскостей $\alpha$ и $\beta$.
Поскольку вершины $A, B, C$ лежат вне плоскости $\alpha$, плоскости $\alpha$ и $\beta$ не совпадают. Так как у них есть общие точки, они пересекаются по прямой линии.
Все общие точки двух различных пересекающихся плоскостей лежат на одной прямой — линии их пересечения. Точки $D, M$ и $N$ являются общими для плоскостей $\alpha$ и $\beta$, поэтому они должны лежать на одной прямой.
Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано.

3.

Пусть дан треугольник $ABC$. Все точки этого треугольника, включая его вершины и стороны, лежат в одной плоскости. Обозначим эту плоскость как $\beta$.
Пусть $L, K, M$ — основания биссектрис, опущенных из вершин $A, B, C$ соответственно. Это означает, что точка $L$ лежит на стороне $BC$, точка $K$ — на стороне $AC$, а точка $M$ — на стороне $AB$.
Поскольку точки $L, K, M$ лежат на сторонах треугольника $ABC$, они также принадлежат плоскости этого треугольника $\beta$.
По условию задачи, все три точки $L, K, M$ принадлежат плоскости $\alpha$.
В любом невырожденном треугольнике основания его биссектрис ($L, K, M$) не лежат на одной прямой, так как прямая не может пересекать все три стороны треугольника во внутренних точках.
Таким образом, $L, K, M$ — это три точки, не лежащие на одной прямой.
Согласно аксиоме, через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость. Обе плоскости, $\alpha$ и $\beta$, проходят через эти три точки. Следовательно, эти плоскости должны совпадать, то есть $\alpha = \beta$.
Поскольку вершины треугольника $A, B, C$ принадлежат плоскости $\beta$, а плоскость $\beta$ совпадает с плоскостью $\alpha$, то вершины $A, B, C$ также принадлежат плоскости $\alpha$.

Ответ: Да, принадлежат.