Номер 2, страница 16 - гдз по геометрии 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 2

Следствия из аксиом стереометрии

1. Треугольник $ABC$, в котором $AB = BC$, лежит в плоскости $\alpha$. Точка $O$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$, точка $D$ — середина отрезка $AC$. Точка $M$ не принадлежит плоскости $\alpha$. Можно ли провести плоскость через прямую $BM$ и точки $O$ и $D$?

2. Вершины $A$ и $B$ треугольника $ABC$ лежат по одну сторону от плоскости $\alpha$, а вершина $C$ — по другую. Докажите, что точки пересечения сторон $BC$ и $AC$ и медианы $CM$ с плоскостью $\alpha$ лежат на одной прямой.

3. Прямая $n$ пересекает плоскость $ABC$ в точке $B$. На прямой $n$ отметили точки $P$ и $K$. Могут ли прямые $AK$ и $CP$ пересекаться?

1.

Для того чтобы определить, можно ли провести плоскость через прямую $BM$ и точки $O$ и $D$, необходимо выяснить, являются ли точки $B, M, O, D$ компланарными (лежащими в одной плоскости).

Рассмотрим треугольник $ABC$, который лежит в плоскости $\alpha$. По условию, треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$, так как $AB = BC$. Точка $D$ — середина основания $AC$. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также биссектрисой и высотой. Следовательно, отрезок $BD$ является биссектрисой угла $\angle ABC$.

Точка $O$ — центр вписанной в треугольник $ABC$ окружности. Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов треугольника. Поскольку $BD$ является биссектрисой угла $\angle ABC$, то точка $O$ лежит на отрезке $BD$.

Таким образом, точки $B, O, D$ лежат на одной прямой — прямой $BD$.

Теперь рассмотрим прямую $BM$ и точки $O$ и $D$. Точка $M$ не принадлежит плоскости $\alpha$, в то время как точки $B$ и $D$ принадлежат этой плоскости. Это означает, что точки $B, M, D$ не лежат на одной прямой. Согласно следствию из аксиом стереометрии, через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. Проведем плоскость $\beta$ через точки $B, M, D$.

Так как точки $B$ и $M$ принадлежат плоскости $\beta$, то и вся прямая $BM$ принадлежит этой плоскости. Так как точки $B$ и $D$ принадлежат плоскости $\beta$, то и вся прямая $BD$ принадлежит этой плоскости. Мы уже установили, что точка $O$ лежит на прямой $BD$. Следовательно, точка $O$ также принадлежит плоскости $\beta$.

Таким образом, все рассматриваемые объекты — прямая $BM$ и точки $O$ и $D$ — лежат в одной плоскости $\beta$. Значит, такую плоскость провести можно.

Ответ: Да, можно.

2.

Пусть плоскость треугольника $ABC$ называется $\beta$. По условию, вершины $A$ и $B$ лежат по одну сторону от плоскости $\alpha$, а вершина $C$ — по другую. Это означает, что плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются.

Согласно аксиоме стереометрии, если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. Линия пересечения двух плоскостей — это прямая, содержащая все их общие точки. Обозначим прямую пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$ как $l$. Таким образом, $l = \alpha \cap \beta$.

Найдем точки пересечения сторон и медианы треугольника с плоскостью $\alpha$.

1. Сторона $BC$. Так как точка $B$ лежит по одну сторону от плоскости $\alpha$, а точка $C$ — по другую, отрезок $BC$ пересекает плоскость $\alpha$. Пусть точка их пересечения — $P$. Точка $P$ лежит на прямой $BC$. Прямая $BC$ целиком лежит в плоскости $\beta$. Значит, точка $P$ является общей точкой для плоскостей $\alpha$ и $\beta$, а следовательно, $P$ лежит на прямой их пересечения $l$.

2. Сторона $AC$. Аналогично, так как точка $A$ лежит по одну сторону от плоскости $\alpha$, а точка $C$ — по другую, отрезок $AC$ пересекает плоскость $\alpha$. Пусть точка их пересечения — $Q$. Точка $Q$ лежит на прямой $AC$, которая целиком лежит в плоскости $\beta$. Значит, точка $Q$ также является общей точкой для $\alpha$ и $\beta$, и $Q$ лежит на прямой $l$.

3. Медиана $CM$. Точка $M$ — середина отрезка $AB$. Так как точки $A$ и $B$ лежат по одну сторону от плоскости $\alpha$, то и весь отрезок $AB$, включая его середину $M$, лежит по ту же сторону от плоскости $\alpha$. Точка $C$ лежит по другую сторону. Следовательно, отрезок $CM$ пересекает плоскость $\alpha$. Пусть точка их пересечения — $R$. Точка $R$ лежит на прямой $CM$, которая целиком лежит в плоскости $\beta$. Значит, точка $R$ является общей точкой для $\alpha$ и $\beta$, и $R$ лежит на прямой $l$.

Таким образом, все три точки пересечения $P, Q, R$ принадлежат одной и той же прямой $l$, которая является линией пересечения плоскости треугольника $ABC$ и плоскости $\alpha$. Это и доказывает, что они лежат на одной прямой.

Ответ: Утверждение доказано.

3.

Для того чтобы две прямые в пространстве пересекались, они должны лежать в одной плоскости (быть компланарными).

Пусть прямые $AK$ и $CP$ пересекаются в некоторой точке $X$. Если они пересекаются, то они задают единственную плоскость $\beta$, в которой лежат обе эти прямые. В этой плоскости, следовательно, лежат все четыре точки: $A, K, C, P$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: Точки $P$ и $K$ совпадают ($P=K$). В этом случае мы рассматриваем прямые $AK$ и $CK$. Эти две прямые имеют общую точку $K$, то есть пересекаются в точке $K$ (если точки $A, C, K$ не лежат на одной прямой). Поскольку условие задачи не запрещает совпадение точек $P$ и $K$, такой вариант возможен.

Случай 2: Точки $P$ и $K$ различны ($P \neq K$).
Предположим, что прямые $AK$ и $CP$ пересекаются в точке $X$.

Рассмотрим плоскость $\gamma_1$, которая проходит через прямую $n$ и точку $A$ (такая плоскость единственна, так как точка $A$ не лежит на прямой $n$, ведь $n$ пересекает плоскость $ABC$ только в точке $B$). Прямая $AK$ целиком лежит в этой плоскости $\gamma_1$.

Рассмотрим плоскость $\gamma_2$, которая проходит через прямую $n$ и точку $C$ (аналогично, точка $C$ не лежит на прямой $n$). Прямая $CP$ целиком лежит в этой плоскости $\gamma_2$.

Если точка $X$ является точкой пересечения прямых $AK$ и $CP$, то она должна принадлежать обеим этим прямым. Следовательно, точка $X$ должна принадлежать обеим плоскостям: $X \in \gamma_1$ и $X \in \gamma_2$.

Множество всех общих точек плоскостей $\gamma_1$ и $\gamma_2$ — это прямая их пересечения. Обе плоскости проходят через прямую $n$, значит, их линией пересечения и является прямая $n$. Таким образом, точка $X$ должна лежать на прямой $n$.

Теперь рассмотрим пересечение прямой $AK$ с прямой $n$. Так как точка $A$ не лежит на прямой $n$, а точка $K$ лежит на прямой $n$, то единственной общей точкой прямой $AK$ и прямой $n$ является точка $K$. Значит, если точка пересечения $X$ лежит на прямой $n$, то $X=K$.

Аналогично, рассмотрим пересечение прямой $CP$ с прямой $n$. Так как точка $C$ не лежит на прямой $n$, а точка $P$ лежит на прямой $n$, то единственной общей точкой прямой $CP$ и прямой $n$ является точка $P$. Значит, если точка пересечения $X$ лежит на прямой $n$, то $X=P$.

Из этого следует, что для существования точки пересечения $X$ должно выполняться условие $X=K$ и $X=P$, что означает $K=P$. Это противоречит нашему предположению, что точки $P$ и $K$ различны. Если $P \neq K$, то прямые $AK$ и $CP$ являются скрещивающимися и не пересекаются.

Вопрос задачи "Могут ли прямые... пересекаться?". Да, могут, если точки $P$ и $K$ совпадают.

Ответ: Да, могут, если точки $P$ и $K$ являются одной и той же точкой на прямой $n$.