Номер 22, страница 15 - гдз по геометрии 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 22

Усечённая пирамида

1. Стороны оснований правильной усечённой четырёх-угольной пирамиды равны 10 см и 6 см, а боковое ребро образует с плоскостью большего основания угол $45^{\circ}$. Найдите площадь диагонального сечения усечённой пи-рамиды.

2. В правильной усечённой треугольной пирамиде сторо-ны оснований равны 18 см и 36 см, а её высота — 3 см. Найдите площадь боковой поверхности усечённой пирамиды.

3. Все двугранные углы усечённой пирамиды при рёбрах большего основания равны $60^{\circ}$, а площади оснований равны $14 \text{ см}^2$ и $36 \text{ см}^2$. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

1.

Дана правильная усечённая четырёхугольная пирамида. Стороны её оснований (квадратов) равны $a_1 = 10$ см и $a_2 = 6$ см. Боковое ребро образует с плоскостью большего основания угол $\alpha = 45^\circ$.

Диагональное сечение усечённой пирамиды является равнобокой трапецией. Основаниями этой трапеции служат диагонали квадратов, лежащих в основаниях пирамиды.

Найдём длины диагоналей оснований:
Диагональ большего основания: $d_1 = a_1\sqrt{2} = 10\sqrt{2}$ см.
Диагональ меньшего основания: $d_2 = a_2\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$ см.

Высота этой трапеции совпадает с высотой усечённой пирамиды $H$. Чтобы найти высоту, рассмотрим прямоугольный треугольник, который образован боковым ребром (гипотенуза), высотой $H$ (катет) и проекцией бокового ребра на плоскость большего основания (второй катет). Угол между боковым ребром и этим катетом равен $45^\circ$.

Длина проекции бокового ребра на плоскость большего основания равна разности половин диагоналей оснований:
$\frac{d_1}{2} - \frac{d_2}{2} = \frac{10\sqrt{2}}{2} - \frac{6\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} - 3\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$ см.

Так как в нашем прямоугольном треугольнике один из острых углов равен $45^\circ$, то он является равнобедренным. Это означает, что его катеты равны. Следовательно, высота пирамиды $H$ равна длине проекции:
$H = 2\sqrt{2}$ см.

Теперь мы можем найти площадь диагонального сечения (трапеции) по формуле:
$S = \frac{d_1 + d_2}{2} \cdot H$
$S = \frac{10\sqrt{2} + 6\sqrt{2}}{2} \cdot 2\sqrt{2} = \frac{16\sqrt{2}}{2} \cdot 2\sqrt{2} = 8\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2} = 16 \cdot 2 = 32$ см$^2$.

Ответ: 32 см$^2$.

2.

Дана правильная усечённая треугольная пирамида. Стороны её оснований (правильных треугольников) равны $a_1 = 36$ см и $a_2 = 18$ см, а её высота $H = 3$ см.

Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды находится по формуле:
$S_{бок} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2) \cdot h_a$, где $P_1$ и $P_2$ — периметры оснований, а $h_a$ — апофема усечённой пирамиды (высота боковой грани).

Найдём периметры оснований:
$P_1 = 3 \cdot a_1 = 3 \cdot 36 = 108$ см.
$P_2 = 3 \cdot a_2 = 3 \cdot 18 = 54$ см.

Для нахождения апофемы $h_a$ воспользуемся теоремой Пифагора. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, апофемой $h_a$ и разностью радиусов вписанных в основания окружностей ($r_1 - r_2$). В этом треугольнике $h_a$ является гипотенузой.

Радиус вписанной в правильный треугольник окружности вычисляется по формуле $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$.
$r_1 = \frac{36}{2\sqrt{3}} = \frac{18}{\sqrt{3}} = 6\sqrt{3}$ см.
$r_2 = \frac{18}{2\sqrt{3}} = \frac{9}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{3}$ см.

Теперь найдём апофему $h_a$:
$h_a^2 = H^2 + (r_1 - r_2)^2$
$h_a^2 = 3^2 + (6\sqrt{3} - 3\sqrt{3})^2 = 9 + (3\sqrt{3})^2 = 9 + 27 = 36$.
$h_a = \sqrt{36} = 6$ см.

Вычислим площадь боковой поверхности:
$S_{бок} = \frac{1}{2}(108 + 54) \cdot 6 = \frac{162}{2} \cdot 6 = 81 \cdot 6 = 486$ см$^2$.

Ответ: 486 см$^2$.

3.

Дана усечённая пирамида, у которой все двугранные углы при рёбрах большего основания равны $60^\circ$. Площади оснований равны $S_1 = 36$ см$^2$ и $S_2 = 14$ см$^2$.

Если все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом $\alpha$, то площадь боковой поверхности ($S_{бок}$) связана с площадями оснований ($S_1$ и $S_2$) следующей формулой:
$S_{бок} = \frac{S_1 - S_2}{\cos\alpha}$.

Эта формула следует из того, что ортогональная проекция боковой поверхности на плоскость большего основания есть фигура, площадь которой равна разности площадей оснований $S_{пр} = S_1 - S_2$. В то же время, $S_{пр} = S_{бок} \cdot \cos\alpha$.

В нашем случае угол наклона боковых граней $\alpha = 60^\circ$.

Подставим данные в формулу:
$S_{бок} = \frac{36 - 14}{\cos 60^\circ} = \frac{22}{1/2} = 22 \cdot 2 = 44$ см$^2$.

Ответ: 44 см$^2$.