Номер 23, страница 27 - гдз по геометрии 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 23

Тетраэдр

1. Плоскость пересекает рёбра $SB$, $SC$, $AC$ и $AB$ тетраэдра $SABC$ в точках $P$, $E$, $N$ и $D$ соответственно. Известно, что $BP : PS = 2 : 1$, $SE : EC = 1 : 4$, $CN : NA = 6 : 5$. Найдите отношение $AD : DB$.

2. Найдите расстояние между серединами рёбер $AB$ и $DC$ ортоцентрического тетраэдра $DABC$, если $AB = 16$ см, $DC = 30$ см.

3. Найдите медианы равногранного тетраэдра $DABC$, если $AB = 5$ см, $DA = 4$ см, $BD = \sqrt{31}$ см.

1. Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Менелая для тетраэдра (также известной как теорема о трансверсалях). Если плоскость пересекает рёбра $SB, AB, AC, SC$ тетраэдра $SABC$ (или их продолжения) в точках $P, D, N, E$ соответственно, то выполняется следующее соотношение: $ \frac{SP}{PB} \cdot \frac{BD}{DA} \cdot \frac{AN}{NC} \cdot \frac{CE}{ES} = 1 $ Из условия задачи нам даны следующие отношения:

• $ BP : PS = 2 : 1 \implies \frac{PS}{BP} = \frac{1}{2} $
• $ SE : EC = 1 : 4 \implies \frac{EC}{SE} = \frac{4}{1} = 4 $
• $ CN : NA = 6 : 5 \implies \frac{NA}{CN} = \frac{5}{6} $

Нам нужно найти отношение $ AD : DB $. Обозначим искомое отношение как $ \frac{AD}{DB} = x $. Тогда $ \frac{BD}{DA} = \frac{1}{x} $. Подставим известные значения в формулу теоремы Менелая: $ \frac{SP}{PB} \cdot \frac{BD}{DA} \cdot \frac{AN}{NC} \cdot \frac{CE}{ES} = 1 $ $ \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} \cdot \frac{5}{6} \cdot 4 = 1 $ Упростим выражение: $ \frac{1 \cdot 1 \cdot 5 \cdot 4}{2 \cdot x \cdot 6 \cdot 1} = 1 $ $ \frac{20}{12x} = 1 $ $ \frac{5}{3x} = 1 $ Отсюда находим $x$: $ 3x = 5 $ $ x = \frac{5}{3} $ Таким образом, отношение $ AD : DB = 5 : 3 $.
Ответ: $AD : DB = 5 : 3$.

2. Тетраэдр называется ортоцентрическим, если все его четыре высоты пересекаются в одной точке. У ортоцентрического тетраэдра есть два важных свойства, которые мы используем для решения задачи:

1. Противолежащие рёбра попарно перпендикулярны. Для тетраэдра $DABC$ это означает: $DA \perp BC$, $DB \perp AC$, $DC \perp AB$.
2. Суммы квадратов длин противолежащих рёбер равны: $DA^2 + BC^2 = DB^2 + AC^2 = DC^2 + AB^2$.

Пусть $M$ — середина ребра $AB$, а $N$ — середина ребра $DC$. Нам нужно найти расстояние $MN$. Воспользуемся векторным методом. Пусть начало координат находится в произвольной точке пространства. Тогда векторы, соответствующие точкам $M$ и $N$, равны: $ \vec{OM} = \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB}) $ $ \vec{ON} = \frac{1}{2}(\vec{OD} + \vec{OC}) $ Вектор, соединяющий середины рёбер, будет: $ \vec{MN} = \vec{ON} - \vec{OM} = \frac{1}{2}(\vec{OD} + \vec{OC} - \vec{OA} - \vec{OB}) = \frac{1}{2}((\vec{OD} - \vec{OA}) + (\vec{OC} - \vec{OB})) = \frac{1}{2}(\vec{AD} + \vec{BC}) $ Найдём квадрат длины этого вектора: $ MN^2 = |\vec{MN}|^2 = \frac{1}{4}|\vec{AD} + \vec{BC}|^2 = \frac{1}{4}(\vec{AD} \cdot \vec{AD} + 2\vec{AD} \cdot \vec{BC} + \vec{BC} \cdot \vec{BC}) = \frac{1}{4}(AD^2 + BC^2 + 2\vec{AD} \cdot \vec{BC}) $ Из первого свойства ортоцентрического тетраэдра $DA \perp BC$, следовательно, скалярное произведение векторов $\vec{DA}$ и $\vec{BC}$ равно нулю: $\vec{DA} \cdot \vec{BC} = 0$. Поскольку $\vec{AD} = -\vec{DA}$, то $\vec{AD} \cdot \vec{BC} = -(\vec{DA} \cdot \vec{BC}) = 0$. Тогда формула для квадрата расстояния упрощается: $ MN^2 = \frac{1}{4}(AD^2 + BC^2) $ Теперь используем второе свойство ортоцентрического тетраэдра: $AD^2 + BC^2 = AB^2 + DC^2$. Подставим данные из условия: $AB = 16$ см, $DC = 30$ см. $ AD^2 + BC^2 = 16^2 + 30^2 = 256 + 900 = 1156 $ Теперь мы можем вычислить $MN^2$: $ MN^2 = \frac{1}{4}(1156) = 289 $ Отсюда находим расстояние $MN$: $ MN = \sqrt{289} = 17 $ см.
Ответ: 17 см.

3. Равногранным тетраэдром называется тетраэдр, все четыре грани которого — равные между собой треугольники. Важным свойством равногранного тетраэдра является то, что его противолежащие рёбра попарно равны. Из условия даны длины рёбер, выходящих из одной вершины $D$: $DA=4$ см, $DB=\sqrt{31}$ см, и ребра $AB=5$ см. Тогда длины всех рёбер тетраэдра $DABC$ равны:

• $ DA = BC = 4 $ см
• $ DB = AC = \sqrt{31} $ см
• $ AB = DC = 5 $ см

Все грани являются треугольниками со сторонами 4, 5 и $\sqrt{31}$, следовательно, они равны, и тетраэдр действительно равногранный. Медиана тетраэдра — это отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с центроидом (точкой пересечения медиан) противоположной грани. В равногранном тетраэдре все четыре медианы равны по длине. Поэтому достаточно найти длину одной из них, например, медианы $m_D$, проведённой из вершины $D$ к центроиду грани $ABC$. Квадрат длины медианы тетраэдра, проведённой из вершины $D$, вычисляется по формуле: $ m_D^2 = \frac{DA^2 + DB^2 + DC^2}{3} - \frac{AB^2 + BC^2 + AC^2}{9} $ Подставим в формулу известные длины рёбер: $ m_D^2 = \frac{4^2 + (\sqrt{31})^2 + 5^2}{3} - \frac{5^2 + 4^2 + (\sqrt{31})^2}{9} $ Вычислим суммы квадратов: $ 4^2 + (\sqrt{31})^2 + 5^2 = 16 + 31 + 25 = 72 $ $ 5^2 + 4^2 + (\sqrt{31})^2 = 25 + 16 + 31 = 72 $ Теперь подставим эти значения в формулу для $m_D^2$: $ m_D^2 = \frac{72}{3} - \frac{72}{9} = 24 - 8 = 16 $ Длина медианы $m_D$ равна: $ m_D = \sqrt{16} = 4 $ см. Так как все медианы равногранного тетраэдра равны, то длина каждой из них составляет 4 см.
Ответ: все медианы равны 4 см.