Страница 119 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

14.20. Найдите область определения функции:

1) $y = \sqrt{2x^2 - 3x + 1} + \sqrt{x^2 - 16}$;

2) $y = \sqrt{x^2 - 4x + 3} + \frac{1}{\sqrt{2x^2 - 8}}$.

1) Область определения функции $y = \sqrt{2x^2 - 3x + 1} + \sqrt{x^2 - 16}$ находится из условия, что подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Это приводит к системе неравенств:

$\begin{cases} 2x^2 - 3x + 1 \ge 0 \\ x^2 - 16 \ge 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $2x^2 - 3x + 1 \ge 0$.

Сначала найдем корни квадратного уравнения $2x^2 - 3x + 1 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-(-3) - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$; $x_2 = \frac{-(-3) + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 1}{4} = \frac{4}{4} = 1$.

Так как коэффициент при $x^2$ положителен ($2 > 0$), ветви параболы $y = 2x^2 - 3x + 1$ направлены вверх. Следовательно, неравенство $2x^2 - 3x + 1 \ge 0$ выполняется, когда $x$ находится вне интервала между корнями.

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty; \frac{1}{2}] \cup [1; +\infty)$.

Решим второе неравенство: $x^2 - 16 \ge 0$.

Это неравенство можно переписать как $(x-4)(x+4) \ge 0$.

Корни уравнения $x^2 - 16 = 0$ это $x_1 = -4$ и $x_2 = 4$.

Ветви параболы $y = x^2 - 16$ направлены вверх, поэтому неравенство $x^2 - 16 \ge 0$ выполняется вне интервала между корнями.

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty; -4] \cup [4; +\infty)$.

Теперь найдем пересечение областей решений обоих неравенств. Область определения исходной функции — это множество значений $x$, удовлетворяющих обоим неравенствам одновременно.

Пересечением множеств $(-\infty; \frac{1}{2}] \cup [1; +\infty)$ и $(-\infty; -4] \cup [4; +\infty)$ является множество $(-\infty; -4] \cup [4; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -4] \cup [4; +\infty)$.

2) Область определения функции $y = \sqrt{x^2 - 4x + 3} + \frac{1}{\sqrt{2x^2 - 8}}$ находится из следующих условий: выражение под первым квадратным корнем должно быть неотрицательным, а выражение под вторым квадратным корнем, находящимся в знаменателе, должно быть строго положительным. Это приводит к системе неравенств:

$\begin{cases} x^2 - 4x + 3 \ge 0 \\ 2x^2 - 8 > 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $x^2 - 4x + 3 \ge 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 4, а произведение равно 3, следовательно, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.

Неравенство можно записать как $(x-1)(x-3) \ge 0$. Ветви параболы $y = x^2 - 4x + 3$ направлены вверх, поэтому решение неравенства: $x \in (-\infty; 1] \cup [3; +\infty)$.

Решим второе неравенство: $2x^2 - 8 > 0$.

Разделим обе части на 2: $x^2 - 4 > 0$.

Разложим на множители: $(x-2)(x+2) > 0$.

Корни уравнения $x^2 - 4 = 0$ это $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$.

Ветви параболы $y = x^2 - 4$ направлены вверх, поэтому решение неравенства: $x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$.

Теперь найдем пересечение решений двух неравенств.

Пересечением множеств $(-\infty; 1] \cup [3; +\infty)$ и $(-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$ является множество $(-\infty; -2) \cup [3; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup [3; +\infty)$.

14.21. Решите систему неравенств:

1) $\begin{cases} x^2 + 5x + 6 < 0, \\ |x| > 2; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^2 - x - 6 < 0, \\ |x| < 3; \end{cases}$

3) $\begin{cases} 2x^2 + 3x - 5 > 0, \\ |x| > 1; \end{cases}$

4) $\begin{cases} 3x^2 + 5x - 8 > 0, \\ |x| \le 5. \end{cases}$

1)

Рассмотрим систему неравенств:

$\begin{cases}x^2 + 5x + 6 < 0, \\|x| > 2;\end{cases}$

Сначала решим первое неравенство: $x^2 + 5x + 6 < 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 5x + 6 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = -5$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 6$.

Отсюда корни $x_1 = -3$ и $x_2 = -2$.

Парабола $y = x^2 + 5x + 6$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $x^2 + 5x + 6 < 0$ выполняется между корнями.

Решение первого неравенства: $x \in (-3, -2)$.

Теперь решим второе неравенство: $|x| > 2$.

Это неравенство равносильно совокупности двух неравенств: $x > 2$ или $x < -2$.

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$.

Найдем пересечение решений обоих неравенств: $x \in (-3, -2) \cap ((-\infty, -2) \cup (2, +\infty))$.

Пересечением этих множеств является интервал $(-3, -2)$.

Ответ: $x \in (-3, -2)$.

2)

Рассмотрим систему неравенств:

$\begin{cases}x^2 - x - 6 < 0, \\|x| < 3;\end{cases}$

Решим первое неравенство: $x^2 - x - 6 < 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - x - 6 = 0$.

По теореме Виета, $x_1 + x_2 = 1$ и $x_1 \cdot x_2 = -6$.

Корни уравнения: $x_1 = -2$ и $x_2 = 3$.

Парабола $y = x^2 - x - 6$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями.

Решение первого неравенства: $x \in (-2, 3)$.

Решим второе неравенство: $|x| < 3$.

Это неравенство равносильно двойному неравенству $-3 < x < 3$.

Решение второго неравенства: $x \in (-3, 3)$.

Найдем пересечение решений: $x \in (-2, 3) \cap (-3, 3)$.

Пересечением является интервал $(-2, 3)$.

Ответ: $x \in (-2, 3)$.

3)

Рассмотрим систему неравенств:

$\begin{cases}2x^2 + 3x - 5 > 0, \\|x| > 1;\end{cases}$

Решим первое неравенство: $2x^2 + 3x - 5 > 0$.

Найдем корни уравнения $2x^2 + 3x - 5 = 0$ через дискриминант.

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49 = 7^2$.

$x_1 = \frac{-3 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-10}{4} = -2.5$.

$x_2 = \frac{-3 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$.

Парабола $y = 2x^2 + 3x - 5$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство выполняется вне интервала между корнями.

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, -2.5) \cup (1, +\infty)$.

Решим второе неравенство: $|x| > 1$.

Это неравенство равносильно совокупности $x > 1$ или $x < -1$.

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$.

Найдем пересечение решений: $x \in ((-\infty, -2.5) \cup (1, +\infty)) \cap ((-\infty, -1) \cup (1, +\infty))$.

Пересечением является объединение интервалов $(-\infty, -2.5)$ и $(1, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -2.5) \cup (1, +\infty)$.

4)

Рассмотрим систему неравенств:

$\begin{cases}3x^2 + 5x - 8 \ge 0, \\|x| \le 5;\end{cases}$

Решим первое неравенство: $3x^2 + 5x - 8 \ge 0$.

Найдем корни уравнения $3x^2 + 5x - 8 = 0$ через дискриминант.

$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 25 + 96 = 121 = 11^2$.

$x_1 = \frac{-5 - 11}{2 \cdot 3} = \frac{-16}{6} = -\frac{8}{3}$.

$x_2 = \frac{-5 + 11}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$.

Парабола $y = 3x^2 + 5x - 8$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство выполняется на лучах вне интервала между корнями, включая сами корни.

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, -8/3] \cup [1, +\infty)$.

Решим второе неравенство: $|x| \le 5$.

Это неравенство равносильно двойному неравенству $-5 \le x \le 5$.

Решение второго неравенства: $x \in [-5, 5]$.

Найдем пересечение решений: $x \in ((-\infty, -8/3] \cup [1, +\infty)) \cap [-5, 5]$.

Пересечение интервала $(-\infty, -8/3]$ с $[-5, 5]$ дает $[-5, -8/3]$.

Пересечение интервала $[1, +\infty)$ с $[-5, 5]$ дает $[1, 5]$.

Объединяя эти два отрезка, получаем итоговое решение.

Ответ: $x \in [-5, -8/3] \cup [1, 5]$.