Страница 117 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

Решите уравнения (14.6–14.10):

14.6. 1) $\sqrt{x^2 + 5x + 1} + 1 = 2x$;

2) $\sqrt{x + 2} = 2 + \sqrt{x - 6}$;

3) $\sqrt{3x - 2} = \sqrt{x - 2} + 2$;

4) $\sqrt{22 - x} - \sqrt{10 - x} = 2.$

1) Дано уравнение $\sqrt{x^2 + 5x + 1} + 1 = 2x$.

Первым шагом уединим корень в левой части уравнения:

$\sqrt{x^2 + 5x + 1} = 2x - 1$.

Поскольку значение арифметического квадратного корня не может быть отрицательным, правая часть уравнения должна быть неотрицательной. Это дает нам ограничение на возможные значения $x$:

$2x - 1 \ge 0 \implies 2x \ge 1 \implies x \ge \frac{1}{2}$.

Также выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x^2 + 5x + 1 \ge 0$. Однако при $x \ge \frac{1}{2}$ это условие выполняется автоматически, так как при $x = \frac{1}{2}$ значение выражения равно $(\frac{1}{2})^2 + 5(\frac{1}{2}) + 1 = \frac{1}{4} + \frac{5}{2} + 1 > 0$, а при увеличении $x$ оно только возрастает.

Теперь возведем обе части уравнения $\sqrt{x^2 + 5x + 1} = 2x - 1$ в квадрат, чтобы избавиться от радикала:

$(\sqrt{x^2 + 5x + 1})^2 = (2x - 1)^2$

$x^2 + 5x + 1 = 4x^2 - 4x + 1$

Перенесем все члены в одну сторону и приведем подобные слагаемые:

$4x^2 - x^2 - 4x - 5x + 1 - 1 = 0$

$3x^2 - 9x = 0$

Вынесем общий множитель $3x$ за скобки:

$3x(x - 3) = 0$

Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$.

Сравним полученные корни с найденным ранее ограничением $x \ge \frac{1}{2}$.

Корень $x_1 = 0$ не удовлетворяет этому условию ($0 < \frac{1}{2}$), следовательно, это посторонний корень.

Корень $x_2 = 3$ удовлетворяет условию ($3 \ge \frac{1}{2}$), следовательно, это решение уравнения.

Выполним проверку, подставив $x=3$ в исходное уравнение:

$\sqrt{3^2 + 5 \cdot 3 + 1} + 1 = \sqrt{9 + 15 + 1} + 1 = \sqrt{25} + 1 = 5 + 1 = 6$.

$2x = 2 \cdot 3 = 6$.

$6 = 6$, что является верным равенством.

Ответ: $3$.

2) Дано уравнение $\sqrt{x + 2} = 2 + \sqrt{x - 6}$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под корнями должны быть неотрицательными:

$x + 2 \ge 0 \implies x \ge -2$

$x - 6 \ge 0 \implies x \ge 6$

Объединяя эти условия, получаем ОДЗ: $x \ge 6$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x + 2})^2 = (2 + \sqrt{x - 6})^2$

$x + 2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{x - 6} + (\sqrt{x - 6})^2$

$x + 2 = 4 + 4\sqrt{x - 6} + x - 6$

$x + 2 = x - 2 + 4\sqrt{x - 6}$

Упростим уравнение, уединяя оставшийся радикал:

$2 - (-2) = x - x + 4\sqrt{x - 6}$

$4 = 4\sqrt{x - 6}$

$1 = \sqrt{x - 6}$

Снова возведем обе части в квадрат:

$1^2 = (\sqrt{x - 6})^2$

$1 = x - 6$

$x = 7$

Проверим, принадлежит ли найденный корень ОДЗ ($x \ge 6$). Корень $x=7$ удовлетворяет этому условию.

Выполним проверку подстановкой в исходное уравнение:

$\sqrt{7 + 2} = \sqrt{9} = 3$.

$2 + \sqrt{7 - 6} = 2 + \sqrt{1} = 2 + 1 = 3$.

$3 = 3$, что является верным равенством.

Ответ: $7$.

3) Дано уравнение $\sqrt{3x - 2} = \sqrt{x - 2} + 2$.

Найдем ОДЗ:

$3x - 2 \ge 0 \implies x \ge \frac{2}{3}$

$x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2$

Общая ОДЗ: $x \ge 2$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{3x - 2})^2 = (\sqrt{x - 2} + 2)^2$

$3x - 2 = (\sqrt{x - 2})^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{x - 2} + 2^2$

$3x - 2 = x - 2 + 4\sqrt{x - 2} + 4$

$3x - 2 = x + 2 + 4\sqrt{x - 2}$

Упростим уравнение, уединяя радикал:

$3x - x - 2 - 2 = 4\sqrt{x - 2}$

$2x - 4 = 4\sqrt{x - 2}$

Разделим обе части на 2:

$x - 2 = 2\sqrt{x - 2}$

Возведем обе части в квадрат еще раз:

$(x - 2)^2 = (2\sqrt{x - 2})^2$

$x^2 - 4x + 4 = 4(x - 2)$

$x^2 - 4x + 4 = 4x - 8$

$x^2 - 8x + 12 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 8, а произведение равно 12. Этим условиям удовлетворяют числа 2 и 6.

$x_1 = 2$, $x_2 = 6$.

Оба корня принадлежат ОДЗ ($x \ge 2$).

Проверим оба корня:

При $x=2$: $\sqrt{3(2) - 2} = \sqrt{4} = 2$. Правая часть: $\sqrt{2 - 2} + 2 = 0 + 2 = 2$. Верно.

При $x=6$: $\sqrt{3(6) - 2} = \sqrt{16} = 4$. Правая часть: $\sqrt{6 - 2} + 2 = \sqrt{4} + 2 = 2 + 2 = 4$. Верно.

Ответ: $2; 6$.

4) Дано уравнение $\sqrt{22 - x} - \sqrt{10 - x} = 2$.

Чтобы упростить возведение в квадрат, перенесем один из корней в правую часть:

$\sqrt{22 - x} = 2 + \sqrt{10 - x}$.

Найдем ОДЗ:

$22 - x \ge 0 \implies x \le 22$

$10 - x \ge 0 \implies x \le 10$

Общая ОДЗ: $x \le 10$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{22 - x})^2 = (2 + \sqrt{10 - x})^2$

$22 - x = 4 + 4\sqrt{10 - x} + (10 - x)$

$22 - x = 14 - x + 4\sqrt{10 - x}$

Упростим уравнение:

$22 - 14 = 4\sqrt{10 - x}$

$8 = 4\sqrt{10 - x}$

$2 = \sqrt{10 - x}$

Снова возведем в квадрат:

$2^2 = (\sqrt{10 - x})^2$

$4 = 10 - x$

$x = 10 - 4$

$x = 6$

Проверим, принадлежит ли корень $x=6$ ОДЗ ($x \le 10$). Да, $6 \le 10$.

Выполним проверку подстановкой в исходное уравнение:

$\sqrt{22 - 6} - \sqrt{10 - 6} = \sqrt{16} - \sqrt{4} = 4 - 2 = 2$.

$2 = 2$, что является верным равенством.

Ответ: $6$.

14.7. 1) $\sqrt{x} - \sqrt{x + 3} = 1;$

2) $\sqrt{x - 5} + \sqrt{10 - x} = 3;$

3) $\sqrt{x - 9} - \sqrt{x - 16} = 1;$

4) $\sqrt{3x + 1 - 2} - \sqrt{x + 1} = 0.$

1) $\sqrt{x} - \sqrt{x + 3} = 1$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Подкоренные выражения должны быть неотрицательными:

$x \ge 0$

$x + 3 \ge 0 \Rightarrow x \ge -3$

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \ge 0$.

Проанализируем уравнение. Для любого $x$ из ОДЗ ($x \ge 0$) выполняется неравенство $x < x + 3$. Так как функция $y = \sqrt{t}$ является возрастающей, то $\sqrt{x} < \sqrt{x + 3}$.

Следовательно, разность $\sqrt{x} - \sqrt{x + 3}$ всегда будет отрицательным числом. В уравнении же эта разность равна 1 (положительному числу). Получаем противоречие.

Можно также решить уравнение алгебраически, чтобы убедиться в отсутствии корней.

Перенесем один из корней в правую часть:

$\sqrt{x} = 1 + \sqrt{x + 3}$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x})^2 = (1 + \sqrt{x + 3})^2$

$x = 1 + 2\sqrt{x + 3} + (x + 3)$

$x = x + 4 + 2\sqrt{x + 3}$

$0 = 4 + 2\sqrt{x + 3}$

$2\sqrt{x + 3} = -4$

$\sqrt{x + 3} = -2$

Квадратный корень не может быть равен отрицательному числу, следовательно, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: корней нет.

2) $\sqrt{x - 5} + \sqrt{10 - x} = 3$

Найдем ОДЗ:

$x - 5 \ge 0 \Rightarrow x \ge 5$

$10 - x \ge 0 \Rightarrow x \le 10$

ОДЗ: $5 \le x \le 10$.

Возведем обе части уравнения в квадрат, так как они обе неотрицательны:

$(\sqrt{x - 5} + \sqrt{10 - x})^2 = 3^2$

$(x - 5) + 2\sqrt{(x - 5)(10 - x)} + (10 - x) = 9$

$x - 5 + 10 - x + 2\sqrt{10x - x^2 - 50 + 5x} = 9$

$5 + 2\sqrt{-x^2 + 15x - 50} = 9$

$2\sqrt{-x^2 + 15x - 50} = 4$

$\sqrt{-x^2 + 15x - 50} = 2$

Еще раз возведем в квадрат:

$-x^2 + 15x - 50 = 4$

$-x^2 + 15x - 54 = 0$

$x^2 - 15x + 54 = 0$

Решим квадратное уравнение по теореме Виета:

$x_1 + x_2 = 15$

$x_1 \cdot x_2 = 54$

Корни: $x_1 = 6$ и $x_2 = 9$.

Оба корня принадлежат ОДЗ ($5 \le x \le 10$). Выполним проверку.

При $x = 6$: $\sqrt{6 - 5} + \sqrt{10 - 6} = \sqrt{1} + \sqrt{4} = 1 + 2 = 3$. Верно.

При $x = 9$: $\sqrt{9 - 5} + \sqrt{10 - 9} = \sqrt{4} + \sqrt{1} = 2 + 1 = 3$. Верно.

Ответ: 6; 9.

3) $\sqrt{x - 9} - \sqrt{x - 16} = 1$

Найдем ОДЗ:

$x - 9 \ge 0 \Rightarrow x \ge 9$

$x - 16 \ge 0 \Rightarrow x \ge 16$

ОДЗ: $x \ge 16$.

Перенесем один из корней в правую часть, чтобы обе части уравнения стали положительными:

$\sqrt{x - 9} = 1 + \sqrt{x - 16}$

Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{x - 9})^2 = (1 + \sqrt{x - 16})^2$

$x - 9 = 1 + 2\sqrt{x - 16} + (x - 16)$

$x - 9 = x - 15 + 2\sqrt{x - 16}$

Приведем подобные слагаемые:

$-9 = -15 + 2\sqrt{x - 16}$

$6 = 2\sqrt{x - 16}$

$3 = \sqrt{x - 16}$

Возведем в квадрат еще раз:

$9 = x - 16$

$x = 9 + 16$

$x = 25$

Корень $x = 25$ удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 16$). Проверим подстановкой в исходное уравнение:

$\sqrt{25 - 9} - \sqrt{25 - 16} = \sqrt{16} - \sqrt{9} = 4 - 3 = 1$. Верно.

Ответ: 25.

4) $\sqrt{3x + 1} - 2 - \sqrt{x + 1} = 0$

Перепишем уравнение в более удобном виде:

$\sqrt{3x + 1} - \sqrt{x + 1} = 2$

Найдем ОДЗ:

$3x + 1 \ge 0 \Rightarrow 3x \ge -1 \Rightarrow x \ge -1/3$

$x + 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1$

ОДЗ: $x \ge -1/3$.

Перенесем один корень в правую часть:

$\sqrt{3x + 1} = 2 + \sqrt{x + 1}$

Обе части неотрицательны, возводим в квадрат:

$(\sqrt{3x + 1})^2 = (2 + \sqrt{x + 1})^2$

$3x + 1 = 4 + 4\sqrt{x + 1} + (x + 1)$

$3x + 1 = x + 5 + 4\sqrt{x + 1}$

Уединим оставшийся корень:

$3x + 1 - x - 5 = 4\sqrt{x + 1}$

$2x - 4 = 4\sqrt{x + 1}$

Разделим обе части на 2:

$x - 2 = 2\sqrt{x + 1}$

Для того чтобы можно было возвести в квадрат, левая часть должна быть неотрицательной (т.к. правая неотрицательна): $x - 2 \ge 0 \Rightarrow x \ge 2$. Это условие более сильное, чем ОДЗ.

Возводим в квадрат при условии $x \ge 2$:

$(x - 2)^2 = (2\sqrt{x + 1})^2$

$x^2 - 4x + 4 = 4(x + 1)$

$x^2 - 4x + 4 = 4x + 4$

$x^2 - 8x = 0$

$x(x - 8) = 0$

Получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 8$.

Проверяем их по условию $x \ge 2$:

$x_1 = 0$ не удовлетворяет условию $x \ge 2$, это посторонний корень.

$x_2 = 8$ удовлетворяет условию $x \ge 2$.

Проверим корень $x=8$ подстановкой в исходное уравнение:

$\sqrt{3 \cdot 8 + 1} - 2 - \sqrt{8 + 1} = \sqrt{25} - 2 - \sqrt{9} = 5 - 2 - 3 = 0$. Верно.

Ответ: 8.

14.8. 1) $\sqrt{16 - \sqrt{x} + 1} = 1$;

2) $\sqrt[3]{5 - \sqrt{x + 15}} = 1$;

3) $\frac{x + 3}{\sqrt{x - 1}} = \sqrt{3x + 1}$;

4) $\frac{2x - 5}{\sqrt{x + 2}} = \sqrt{x + 2}$.

1) Исходное уравнение: $\sqrt{16 - \sqrt{x + 1}} = 1$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под внутренним корнем должно быть неотрицательным: $x + 1 \ge 0$, откуда $x \ge -1$. Выражение под внешним корнем также должно быть неотрицательным: $16 - \sqrt{x + 1} \ge 0$, что означает $\sqrt{x + 1} \le 16$. Возведя в квадрат обе части, получаем $x + 1 \le 256$, то есть $x \le 255$. Таким образом, ОДЗ: $-1 \le x \le 255$.

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от внешнего корня:

$(\sqrt{16 - \sqrt{x + 1}})^2 = 1^2$

$16 - \sqrt{x + 1} = 1$

Выразим корень:

$\sqrt{x + 1} = 16 - 1$

$\sqrt{x + 1} = 15$

Снова возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{x + 1})^2 = 15^2$

$x + 1 = 225$

$x = 224$

Найденное значение $x = 224$ входит в ОДЗ ($-1 \le 224 \le 255$).

Выполним проверку: $\sqrt{16 - \sqrt{224 + 1}} = \sqrt{16 - \sqrt{225}} = \sqrt{16 - 15} = \sqrt{1} = 1$. Равенство верно.

Ответ: $224$.

2) Исходное уравнение: $\sqrt[3]{5 - \sqrt{x + 15}} = 1$.

Найдем ОДЗ. Так как корень кубический, подкоренное выражение может быть любым действительным числом. Ограничение накладывает только квадратный корень: $x + 15 \ge 0$, откуда $x \ge -15$.

Возведем обе части уравнения в куб:

$(\sqrt[3]{5 - \sqrt{x + 15}})^3 = 1^3$

$5 - \sqrt{x + 15} = 1$

Выразим корень:

$\sqrt{x + 15} = 5 - 1$

$\sqrt{x + 15} = 4$

Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{x + 15})^2 = 4^2$

$x + 15 = 16$

$x = 1$

Найденное значение $x = 1$ входит в ОДЗ ($1 \ge -15$).

Выполним проверку: $\sqrt[3]{5 - \sqrt{1 + 15}} = \sqrt[3]{5 - \sqrt{16}} = \sqrt[3]{5 - 4} = \sqrt[3]{1} = 1$. Равенство верно.

Ответ: $1$.

3) Исходное уравнение: $\frac{x + 3}{\sqrt{x - 1}} = \sqrt{3x + 1}$.

Найдем ОДЗ. Знаменатель не может быть равен нулю, а подкоренное выражение в нем должно быть неотрицательно, поэтому $x - 1 > 0$, то есть $x > 1$. Подкоренное выражение в правой части также должно быть неотрицательным: $3x + 1 \ge 0$, то есть $x \ge -1/3$. Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x > 1$.

Умножим обе части уравнения на $\sqrt{x - 1}$ (что возможно, так как в ОДЗ $\sqrt{x - 1} \ne 0$):

$x + 3 = \sqrt{3x + 1} \cdot \sqrt{x - 1}$

$x + 3 = \sqrt{(3x + 1)(x - 1)}$

$x + 3 = \sqrt{3x^2 - 3x + x - 1}$

$x + 3 = \sqrt{3x^2 - 2x - 1}$

Поскольку в ОДЗ ($x > 1$) левая часть $x + 3$ положительна, можно возвести обе части в квадрат:

$(x + 3)^2 = 3x^2 - 2x - 1$

$x^2 + 6x + 9 = 3x^2 - 2x - 1$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$2x^2 - 8x - 10 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$x^2 - 4x - 5 = 0$

Решим уравнение с помощью теоремы Виета или через дискриминант. Корни: $x_1 = 5$ и $x_2 = -1$.

Проверим корни по ОДЗ ($x > 1$). Корень $x_1 = 5$ удовлетворяет условию. Корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет условию и является посторонним.

Выполним проверку для $x=5$: $\frac{5 + 3}{\sqrt{5 - 1}} = \frac{8}{\sqrt{4}} = \frac{8}{2} = 4$. Правая часть: $\sqrt{3 \cdot 5 + 1} = \sqrt{16} = 4$. Равенство верно.

Ответ: $5$.

4) Исходное уравнение: $\frac{2x - 5}{\sqrt{x + 2}} = \sqrt{x + 2}$.

Найдем ОДЗ. Выражение под корнем должно быть неотрицательным, и, так как оно в знаменателе, оно не может быть равно нулю: $x + 2 > 0$, откуда $x > -2$.

Умножим обе части уравнения на $\sqrt{x + 2}$ (что возможно, так как в ОДЗ $\sqrt{x + 2} \ne 0$):

$2x - 5 = \sqrt{x + 2} \cdot \sqrt{x + 2}$

$2x - 5 = (\sqrt{x + 2})^2$

$2x - 5 = x + 2$

Решим полученное линейное уравнение:

$2x - x = 2 + 5$

$x = 7$

Найденное значение $x = 7$ входит в ОДЗ ($7 > -2$).

Выполним проверку: $\frac{2 \cdot 7 - 5}{\sqrt{7 + 2}} = \frac{14 - 5}{\sqrt{9}} = \frac{9}{3} = 3$. Правая часть: $\sqrt{7 + 2} = \sqrt{9} = 3$. Равенство верно.

Ответ: $7$.

14.9. 1) $\frac{x - 4}{\sqrt{x - 2}} = x + 2$;

2) $\frac{x - 9}{\sqrt{x} + 3} = 27 - x$;

3) $\frac{x + 1}{\sqrt{x - 1}} = (2x - 1)^{\frac{1}{2}}$;

4) $\frac{x + 6}{(x - 6)^{\frac{1}{2}}} = \sqrt{3x + 2}$.

1) Исходное уравнение: $\frac{x-4}{\sqrt{x}-2} = x+2$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным, а знаменатель не должен быть равен нулю.

1. $x \ge 0$

2. $\sqrt{x}-2 \neq 0 \implies \sqrt{x} \neq 2 \implies x \neq 4$

ОДЗ: $x \in [0, 4) \cup (4, \infty)$.

Преобразуем числитель левой части, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:

$x - 4 = (\sqrt{x})^2 - 2^2 = (\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$\frac{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}{\sqrt{x}-2} = x+2$.

Сократим дробь на $(\sqrt{x}-2)$, так как по ОДЗ $x \neq 4$:

$\sqrt{x}+2 = x+2$.

Вычтем 2 из обеих частей уравнения:

$\sqrt{x} = x$.

Возведем обе части уравнения в квадрат. При этом нужно помнить, что $x \ge 0$, что уже учтено в ОДЗ.

$(\sqrt{x})^2 = x^2$

$x = x^2$

$x^2 - x = 0$

$x(x-1) = 0$.

Получаем два возможных корня:

$x_1 = 0$

$x_2 = 1$

Оба корня принадлежат ОДЗ. Проверим их, подставив в исходное уравнение.

Для $x=0$: $\frac{0-4}{\sqrt{0}-2} = \frac{-4}{-2} = 2$. Правая часть: $0+2=2$. Верно.

Для $x=1$: $\frac{1-4}{\sqrt{1}-2} = \frac{-3}{1-2} = 3$. Правая часть: $1+2=3$. Верно.

Ответ: $0; 1$.

2) Исходное уравнение: $\frac{x-9}{\sqrt{x}+3} = 27-x$.

Найдем ОДЗ. Выражение под корнем должно быть неотрицательным.

$x \ge 0$.

Знаменатель $\sqrt{x}+3$ всегда положителен при $x \ge 0$, так как $\sqrt{x} \ge 0$, следовательно $\sqrt{x}+3 \ge 3$.

ОДЗ: $x \ge 0$.

Преобразуем числитель левой части по формуле разности квадратов:

$x - 9 = (\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)$.

Подставим в уравнение:

$\frac{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}{\sqrt{x}+3} = 27-x$.

Сократим дробь на $(\sqrt{x}+3)$:

$\sqrt{x}-3 = 27-x$.

Перенесем все члены с $x$ в одну сторону, а константы в другую:

$\sqrt{x}+x = 27+3$

$\sqrt{x}+x = 30$.

Введем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{x}$. Так как $\sqrt{x} \ge 0$, то $t \ge 0$. Тогда $x = t^2$.

Уравнение примет вид:

$t + t^2 = 30$

$t^2 + t - 30 = 0$.

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -1, а произведение -30. Корни: $t_1=5$ и $t_2=-6$.

Так как $t \ge 0$, корень $t_2=-6$ является посторонним.

Остается $t=5$.

Вернемся к замене:

$\sqrt{x} = 5$

$x = 5^2 = 25$.

Корень $x=25$ удовлетворяет ОДЗ ($25 \ge 0$).

Проверка: $\frac{25-9}{\sqrt{25}+3} = \frac{16}{5+3} = \frac{16}{8} = 2$. Правая часть: $27-25=2$. Верно.

Ответ: $25$.

3) Исходное уравнение: $\frac{x+1}{\sqrt{x-1}} = (2x-1)^{\frac{1}{2}}$.

Перепишем уравнение в виде с квадратными корнями:

$\frac{x+1}{\sqrt{x-1}} = \sqrt{2x-1}$.

Найдем ОДЗ:

1. Из знаменателя $\sqrt{x-1}$: $x-1>0 \implies x>1$.

2. Из корня в правой части $\sqrt{2x-1}$: $2x-1 \ge 0 \implies x \ge \frac{1}{2}$.

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x>1$.

При $x>1$ обе части уравнения положительны. Умножим обе части на $\sqrt{x-1}$:

$x+1 = \sqrt{2x-1} \cdot \sqrt{x-1}$

$x+1 = \sqrt{(2x-1)(x-1)}$.

Возведем обе части в квадрат:

$(x+1)^2 = (2x-1)(x-1)$

$x^2+2x+1 = 2x^2 - 2x - x + 1$

$x^2+2x+1 = 2x^2 - 3x + 1$

Перенесем все члены в правую часть:

$2x^2 - x^2 - 3x - 2x + 1 - 1 = 0$

$x^2 - 5x = 0$

$x(x-5) = 0$.

Получаем два возможных корня:

$x_1=0$

$x_2=5$

Проверим корни по ОДЗ ($x>1$).

$x_1=0$ не удовлетворяет ОДЗ.

$x_2=5$ удовлетворяет ОДЗ.

Проверка для $x=5$: $\frac{5+1}{\sqrt{5-1}} = \frac{6}{\sqrt{4}} = \frac{6}{2} = 3$. Правая часть: $\sqrt{2(5)-1} = \sqrt{9} = 3$. Верно.

Ответ: $5$.

4) Исходное уравнение: $\frac{x+6}{(x-6)^{\frac{1}{2}}} = \sqrt{3x+2}$.

Перепишем уравнение в виде с квадратными корнями:

$\frac{x+6}{\sqrt{x-6}} = \sqrt{3x+2}$.

Найдем ОДЗ:

1. Из знаменателя $\sqrt{x-6}$: $x-6 > 0 \implies x > 6$.

2. Из корня в правой части $\sqrt{3x+2}$: $3x+2 \ge 0 \implies 3x \ge -2 \implies x \ge -\frac{2}{3}$.

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x > 6$.

При $x > 6$ обе части уравнения положительны. Умножим обе части на $\sqrt{x-6}$:

$x+6 = \sqrt{3x+2} \cdot \sqrt{x-6}$

$x+6 = \sqrt{(3x+2)(x-6)}$.

Возведем обе части в квадрат:

$(x+6)^2 = (3x+2)(x-6)$

$x^2+12x+36 = 3x^2 - 18x + 2x - 12$

$x^2+12x+36 = 3x^2 - 16x - 12$

Перенесем все члены в правую часть:

$3x^2 - x^2 - 16x - 12x - 12 - 36 = 0$

$2x^2 - 28x - 48 = 0$.

Разделим уравнение на 2:

$x^2 - 14x - 24 = 0$.

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-14)^2 - 4(1)(-24) = 196 + 96 = 292$.

$\sqrt{D} = \sqrt{292} = \sqrt{4 \cdot 73} = 2\sqrt{73}$.

Найдем корни:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 \pm 2\sqrt{73}}{2} = 7 \pm \sqrt{73}$.

Получаем два возможных корня:

$x_1 = 7 - \sqrt{73}$

$x_2 = 7 + \sqrt{73}$

Проверим корни по ОДЗ ($x > 6$).

Оценим $\sqrt{73}$. Так как $8^2=64$ и $9^2=81$, то $8 < \sqrt{73} < 9$.

$x_1 = 7 - \sqrt{73}$. Так как $\sqrt{73} > 7$, то $x_1 < 0$. Этот корень не удовлетворяет ОДЗ.

$x_2 = 7 + \sqrt{73}$. Так как $\sqrt{73} > 8$, то $7 + \sqrt{73} > 7+8=15$. $15 > 6$, значит корень $x_2$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $7+\sqrt{73}$.

14.10. 1) $\sqrt{x^2 + 32} - 2\sqrt[4]{x^2 + 32} = 3;$

2) $3\sqrt[3]{x} - 5\sqrt[3]{x^{-1}} = 2;$

3) $\sqrt{3x^2 + 13} - \sqrt[4]{3x^2 + 13} = 2;$

4) $\sqrt{5 + \sqrt[3]{x}} + \sqrt{5 - \sqrt[3]{x}} = \sqrt[3]{x}.$

1) $\sqrt{x^2 + 32} - 2\sqrt[4]{x^2 + 32} = 3$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x^2 + 32 \ge 0$. Это неравенство выполняется для любого действительного числа $x$, так как $x^2 \ge 0$ и $32 > 0$.

Для решения уравнения введем замену переменной. Пусть $y = \sqrt[4]{x^2 + 32}$. Тогда $\sqrt{x^2 + 32} = y^2$. По определению арифметического корня, $y \ge 0$.

Подставим новую переменную в исходное уравнение:

$y^2 - 2y = 3$

$y^2 - 2y - 3 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $y$. Решим его, найдя корни. По теореме Виета, сумма корней равна 2, а произведение равно -3. Корни: $y_1 = 3$ и $y_2 = -1$.

Теперь вернемся к замене, учитывая условие $y \ge 0$.

1. $y_1 = 3$. Этот корень удовлетворяет условию $y \ge 0$.

$\sqrt[4]{x^2 + 32} = 3$

Возведем обе части уравнения в четвертую степень:

$x^2 + 32 = 3^4$

$x^2 + 32 = 81$

$x^2 = 81 - 32$

$x^2 = 49$

$x = \pm 7$.

2. $y_2 = -1$. Этот корень не удовлетворяет условию $y \ge 0$, так как значение арифметического корня четной степени не может быть отрицательным. Следовательно, это посторонний корень.

Ответ: $x = \pm 7$.

2) $3\sqrt[3]{x} - 5\sqrt[3]{x^{-1}} = 2$

ОДЗ: $x \neq 0$, так как $x^{-1} = \frac{1}{x}$, а на ноль делить нельзя.

Перепишем уравнение, используя свойство степеней: $3\sqrt[3]{x} - 5\frac{1}{\sqrt[3]{x}} = 2$.

Введем замену переменной. Пусть $y = \sqrt[3]{x}$. Так как $x \neq 0$, то и $y \neq 0$.

Уравнение примет вид:

$3y - \frac{5}{y} = 2$

Умножим обе части уравнения на $y$ (мы можем это сделать, так как $y \neq 0$):

$3y^2 - 5 = 2y$

$3y^2 - 2y - 5 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 4 + 60 = 64 = 8^2$.

Найдем корни для $y$:

$y_1 = \frac{2 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$.

$y_2 = \frac{2 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1$.

Оба корня удовлетворяют условию $y \neq 0$. Сделаем обратную замену.

1. $\sqrt[3]{x} = \frac{5}{3}$. Возведем обе части в куб: $x = (\frac{5}{3})^3 = \frac{125}{27}$.

2. $\sqrt[3]{x} = -1$. Возведем обе части в куб: $x = (-1)^3 = -1$.

Оба найденных значения $x$ удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x_1 = -1, x_2 = \frac{125}{27}$.

3) $\sqrt{3x^2 + 13} - \sqrt[4]{3x^2 + 13} = 2$

ОДЗ: $3x^2 + 13 \ge 0$. Это неравенство выполняется для любого действительного $x$, так как $x^2 \ge 0$, а значит $3x^2 + 13 > 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $y = \sqrt[4]{3x^2 + 13}$. Тогда $y^2 = \sqrt{3x^2 + 13}$. По определению, $y \ge 0$.

Подставим в уравнение:

$y^2 - y = 2$

$y^2 - y - 2 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $y_1 = 2$ и $y_2 = -1$.

Проверим корни на соответствие условию $y \ge 0$.

1. $y_1 = 2$. Условие $y \ge 0$ выполнено.

$\sqrt[4]{3x^2 + 13} = 2$

Возведем обе части в четвертую степень:

$3x^2 + 13 = 2^4$

$3x^2 + 13 = 16$

$3x^2 = 3$

$x^2 = 1$

$x = \pm 1$.

2. $y_2 = -1$. Этот корень является посторонним, так как не удовлетворяет условию $y \ge 0$.

Ответ: $x = \pm 1$.

4) $\sqrt{5 + \sqrt[3]{x}} + \sqrt{5 - \sqrt[3]{x}} = \sqrt[3]{x}$

Введем замену: пусть $y = \sqrt[3]{x}$. Уравнение примет вид:

$\sqrt{5 + y} + \sqrt{5 - y} = y$

Найдем ОДЗ для переменной $y$. Выражения под квадратными корнями должны быть неотрицательными:

$5 + y \ge 0 \implies y \ge -5$

$5 - y \ge 0 \implies y \le 5$

Объединяя, получаем: $-5 \le y \le 5$.

Кроме того, левая часть уравнения, как сумма двух неотрицательных чисел, сама является неотрицательной. Значит, и правая часть должна быть неотрицательной: $y \ge 0$.

Итоговое ОДЗ для $y$: $0 \le y \le 5$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{5 + y} + \sqrt{5 - y})^2 = y^2$

$(5 + y) + 2\sqrt{(5 + y)(5 - y)} + (5 - y) = y^2$

$10 + 2\sqrt{25 - y^2} = y^2$

Уединим корень:

$2\sqrt{25 - y^2} = y^2 - 10$

Левая часть этого уравнения неотрицательна, значит $y^2 - 10 \ge 0$, откуда $y^2 \ge 10$. Так как $y \ge 0$, то $y \ge \sqrt{10}$.

Таким образом, ОДЗ для $y$ сужается до $\sqrt{10} \le y \le 5$.

Снова возведем в квадрат обе части уравнения $2\sqrt{25 - y^2} = y^2 - 10$:

$4(25 - y^2) = (y^2 - 10)^2$

$100 - 4y^2 = y^4 - 20y^2 + 100$

$y^4 - 16y^2 = 0$

$y^2(y^2 - 16) = 0$

Отсюда $y^2 = 0$ или $y^2 = 16$.

1. $y^2 = 0 \implies y = 0$. Этот корень не входит в ОДЗ $\sqrt{10} \le y \le 5$.

2. $y^2 = 16 \implies y = \pm 4$. Корень $y = -4$ не входит в ОДЗ. Корень $y=4$ входит в ОДЗ, так как $\sqrt{10} \approx 3.16$, и $\sqrt{10} \le 4 \le 5$.

Единственный подходящий корень $y=4$. Выполним проверку, подставив его в уравнение с заменой: $\sqrt{5+4} + \sqrt{5-4} = \sqrt{9} + \sqrt{1} = 3+1 = 4$. Правая часть $y=4$. Равенство $4=4$ верное.

Вернемся к переменной $x$:

$\sqrt[3]{x} = y = 4$

$x = 4^3 = 64$.

Ответ: $x = 64$.

Решите систему уравнений (14.11–14.12):

14.11. 1)

$\begin{cases} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = 4, \\ x + y = 28; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x + y = 72, \\ \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = 6. \end{cases}$

14.11. 1) Дана система уравнений: $ \begin{cases} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = 4, \\ x + y = 28. \end{cases} $

Введем замену переменных. Пусть $a = \sqrt[3]{x}$ и $b = \sqrt[3]{y}$. Тогда из замены следует, что $x = a^3$ и $y = b^3$.

Подставим новые переменные в исходную систему, получим: $ \begin{cases} a + b = 4, \\ a^3 + b^3 = 28. \end{cases} $

Воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.

Подставим известные значения из системы в эту формулу:

$28 = 4 \cdot (a^2 - ab + b^2)$

Разделим обе части уравнения на 4:

$a^2 - ab + b^2 = 7$

Преобразуем левую часть, выделив полный квадрат: $a^2 - ab + b^2 = (a^2 + 2ab + b^2) - 3ab = (a+b)^2 - 3ab$.

Получаем уравнение:

$(a+b)^2 - 3ab = 7$

Подставим известное значение $a+b=4$:

$4^2 - 3ab = 7$

$16 - 3ab = 7$

$3ab = 16 - 7$

$3ab = 9$

$ab = 3$

Таким образом, мы получили новую, более простую систему для переменных $a$ и $b$: $ \begin{cases} a + b = 4, \\ ab = 3. \end{cases} $

По обратной теореме Виета, переменные $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (a+b)t + ab = 0$.

$t^2 - 4t + 3 = 0$

Корнями этого уравнения являются $t_1 = 1$ и $t_2 = 3$.

Это дает нам две возможные пары значений для $(a, b)$:

1) $a=1, b=3$

2) $a=3, b=1$

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$ и $y$.

В первом случае: $a = \sqrt[3]{x} = 1 \implies x = 1^3 = 1$, и $b = \sqrt[3]{y} = 3 \implies y = 3^3 = 27$.

Во втором случае: $a = \sqrt[3]{x} = 3 \implies x = 3^3 = 27$, и $b = \sqrt[3]{y} = 1 \implies y = 1^3 = 1$.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(1, 27), (27, 1)$.

2) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x + y = 72, \\ \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = 6. \end{cases} $

Данная система решается аналогично предыдущей. Введем замену: $a = \sqrt[3]{x}$ и $b = \sqrt[3]{y}$. Отсюда $x=a^3$ и $y=b^3$.

Система в новых переменных: $ \begin{cases} a^3 + b^3 = 72, \\ a + b = 6. \end{cases} $

Применим формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$:

$72 = 6 \cdot (a^2 - ab + b^2)$

$a^2 - ab + b^2 = 12$

Используем преобразование $(a+b)^2 - 3ab = a^2 - ab + b^2$:

$(a+b)^2 - 3ab = 12$

Подставим $a+b=6$:

$6^2 - 3ab = 12$

$36 - 3ab = 12$

$3ab = 36 - 12$

$3ab = 24$

$ab = 8$

Получаем систему: $ \begin{cases} a + b = 6, \\ ab = 8. \end{cases} $

По обратной теореме Виета, $a$ и $b$ — корни квадратного уравнения $t^2 - 6t + 8 = 0$.

Корни этого уравнения: $t_1 = 2, t_2 = 4$.

Следовательно, у нас есть две пары решений для $(a, b)$: $(2, 4)$ и $(4, 2)$.

Произведем обратную замену:

1) $a = \sqrt[3]{x} = 2 \implies x = 8$, и $b = \sqrt[3]{y} = 4 \implies y = 64$.

2) $a = \sqrt[3]{x} = 4 \implies x = 64$, и $b = \sqrt[3]{y} = 2 \implies y = 8$.

Система имеет два симметричных решения.

Ответ: $(8, 64), (64, 8)$.

14.12. 1) $\begin{cases} \sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y} = 2, \\ xy = 27; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 10, \\ \sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y} = 4. \end{cases}$

1) Решим систему уравнений:$$\begin{cases}\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y} = 2 \\xy = 27\end{cases}$$Введем замену переменных. Пусть $a = \sqrt[3]{x}$ и $b = \sqrt[3]{y}$.

Тогда первое уравнение примет вид: $a - b = 2$.

Преобразуем второе уравнение: $xy = 27$. Возьмем кубический корень от обеих частей: $\sqrt[3]{xy} = \sqrt[3]{27}$, что дает $\sqrt[3]{x}\sqrt[3]{y} = 3$, или $ab = 3$.

Получаем новую систему уравнений относительно $a$ и $b$:$$\begin{cases}a - b = 2 \\ab = 3\end{cases}$$Из первого уравнения выразим $a$: $a = b + 2$.

Подставим это выражение во второе уравнение: $(b + 2)b = 3$.

$b^2 + 2b - 3 = 0$.

Это квадратное уравнение. Найдем его корни. По теореме Виета или через дискриминант, корни: $b_1 = 1$ и $b_2 = -3$.

Найдем соответствующие значения $a$ из уравнения $a = b + 2$:

Если $b_1 = 1$, то $a_1 = 1 + 2 = 3$.

Если $b_2 = -3$, то $a_2 = -3 + 2 = -1$.

Мы получили две пары решений для $(a, b)$: $(3, 1)$ и $(-1, -3)$.

Теперь вернемся к исходным переменным $x$ и $y$.

Напомним, что $x = a^3$ и $y = b^3$.

1. Для пары $(a, b) = (3, 1)$:

$x = 3^3 = 27$

$y = 1^3 = 1$

Получаем решение $(27, 1)$.

2. Для пары $(a, b) = (-1, -3)$:

$x = (-1)^3 = -1$

$y = (-3)^3 = -27$

Получаем решение $(-1, -27)$.

Проверка показывает, что обе пары чисел являются решениями исходной системы.

Ответ: $(27; 1), (-1; -27).

2) Решим систему уравнений:$$\begin{cases}\sqrt{x} + \sqrt{y} = 10 \\\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y} = 4\end{cases}$$Область допустимых значений переменных: $x \ge 0, y \ge 0$.

Введем замену переменных. Пусть $u = \sqrt[4]{x}$ и $v = \sqrt[4]{y}$. Так как $x, y \ge 0$, то $u \ge 0, v \ge 0$.

Тогда $\sqrt{x} = (\sqrt[4]{x})^2 = u^2$ и $\sqrt{y} = (\sqrt[4]{y})^2 = v^2$.

Подставив новые переменные в исходную систему, получим:$$\begin{cases}u^2 + v^2 = 10 \\u + v = 4\end{cases}$$Возведем второе уравнение в квадрат: $(u + v)^2 = 4^2$, что равносильно $u^2 + 2uv + v^2 = 16$.

Мы знаем, что $u^2 + v^2 = 10$. Подставим это значение в преобразованное уравнение:

$10 + 2uv = 16$

$2uv = 6$

$uv = 3$

Теперь наша система имеет вид:$$\begin{cases}u + v = 4 \\uv = 3\end{cases}$$Согласно обратной теореме Виета, $u$ и $v$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 4t + 3 = 0$.

Решая это уравнение, находим корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 3$.

Таким образом, мы имеем два возможных набора значений для $(u, v)$, которые оба удовлетворяют условию $u \ge 0, v \ge 0$:

1. $u = 1, v = 3$.

2. $u = 3, v = 1$.

Вернемся к исходным переменным $x$ и $y$.

Напомним, что $x = u^4$ и $y = v^4$.

1. Для пары $(u, v) = (1, 3)$:

$x = 1^4 = 1$

$y = 3^4 = 81$

Получаем решение $(1, 81)$.

2. Для пары $(u, v) = (3, 1)$:

$x = 3^4 = 81$

$y = 1^4 = 1$

Получаем решение $(81, 1)$.

Проверка показывает, что обе пары чисел являются решениями исходной системы.

Ответ: $(1; 81), (81; 1).

Решите уравнения (14.13–14.15):

14.13. 1) $\sqrt{x+6} + \sqrt{x+1} = \sqrt{7x+4}$;

2) $\sqrt[5]{x\sqrt{x}} - \sqrt[5]{x\sqrt{x}} = 56$;

3) $\sqrt[3]{x+2} - \sqrt[3]{x+17} = 1$;

4) $\sqrt[3]{24+\sqrt{x}} - \sqrt[3]{5+\sqrt{x}} = 1$.

1) Исходное уравнение: $\sqrt{x+6} + \sqrt{x+1} = \sqrt{7x+4}$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Все подкоренные выражения должны быть неотрицательными:

$x+6 \ge 0 \implies x \ge -6$

$x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$

$7x+4 \ge 0 \implies x \ge -4/7$

Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $x \ge -4/7$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x+6} + \sqrt{x+1})^2 = (\sqrt{7x+4})^2$

$(x+6) + 2\sqrt{(x+6)(x+1)} + (x+1) = 7x+4$

$2x + 7 + 2\sqrt{x^2 + 7x + 6} = 7x+4$

Уединим корень:

$2\sqrt{x^2 + 7x + 6} = 5x - 3$

Прежде чем снова возводить в квадрат, необходимо учесть, что правая часть должна быть неотрицательной: $5x - 3 \ge 0$, что дает $x \ge 3/5$. Это условие более сильное, чем ОДЗ, поэтому далее работаем с ним.

Возводим в квадрат еще раз:

$4(x^2 + 7x + 6) = (5x - 3)^2$

$4x^2 + 28x + 24 = 25x^2 - 30x + 9$

$21x^2 - 58x - 15 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$D = (-58)^2 - 4(21)(-15) = 3364 + 1260 = 4624 = 68^2$

$x_1 = \frac{58 + 68}{2 \cdot 21} = \frac{126}{42} = 3$

$x_2 = \frac{58 - 68}{2 \cdot 21} = \frac{-10}{42} = -\frac{5}{21}$

Проверим корни на соответствие условию $x \ge 3/5$.

$x_1 = 3$: $3 \ge 3/5$. Корень подходит.

$x_2 = -5/21$: $-5/21 < 3/5$. Это посторонний корень.

Выполним проверку для $x=3$ в исходном уравнении:

$\sqrt{3+6} + \sqrt{3+1} = \sqrt{9} + \sqrt{4} = 3 + 2 = 5$

$\sqrt{7 \cdot 3 + 4} = \sqrt{21+4} = \sqrt{25} = 5$

$5 = 5$. Решение верное.

Ответ: 3

2) Исходное уравнение: $\sqrt{x\sqrt[5]{x}} - \sqrt[5]{x\sqrt{x}} = 56$.

ОДЗ: $x \ge 0$. Заметим, что $x=0$ не является решением.

Преобразуем выражения, используя свойства степеней:

$\sqrt{x\sqrt[5]{x}} = \sqrt{x \cdot x^{1/5}} = \sqrt{x^{6/5}} = (x^{6/5})^{1/2} = x^{3/5}$

$\sqrt[5]{x\sqrt{x}} = \sqrt[5]{x \cdot x^{1/2}} = \sqrt[5]{x^{3/2}} = (x^{3/2})^{1/5} = x^{3/10}$

Уравнение принимает вид:

$x^{3/5} - x^{3/10} = 56$

Сделаем замену. Пусть $y = x^{3/10}$. Тогда $y^2 = (x^{3/10})^2 = x^{6/10} = x^{3/5}$. Так как $x > 0$, то $y > 0$.

Получаем квадратное уравнение:

$y^2 - y - 56 = 0$

По теореме Виета, корни уравнения: $y_1 = 8$ и $y_2 = -7$.

Поскольку $y > 0$, корень $y_2 = -7$ является посторонним. Остается $y=8$.

Выполним обратную замену:

$x^{3/10} = 8$

$x = 8^{10/3} = (2^3)^{10/3} = 2^{3 \cdot (10/3)} = 2^{10} = 1024$

Проверка: $x=1024$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 1024

3) Исходное уравнение: $\sqrt[3]{x+2} - \sqrt[3]{x+17} = 1$.

ОДЗ: $x \in R$.

Сделаем замену. Пусть $a = \sqrt[3]{x+2}$ и $b = \sqrt[3]{x+17}$.

Тогда уравнение примет вид $a - b = 1$.

Выразим разность кубов этих величин:

$a^3 = x+2$

$b^3 = x+17$

$a^3 - b^3 = (x+2) - (x+17) = -15$.

Воспользуемся формулой разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$.

Подставим известные значения:

$-15 = 1 \cdot (a^2+ab+b^2)$, откуда $a^2+ab+b^2 = -15$.

Используем также формулу $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$. Из $a-b=1$ следует $(a-b)^2=1$.

$a^2-2ab+b^2=1$.

Теперь у нас есть система:

$a^2+ab+b^2 = -15$

$a^2-2ab+b^2 = 1$

Вычтем из первого уравнения второе: $(a^2+ab+b^2) - (a^2-2ab+b^2) = -15 - 1$, что дает $3ab = -16$, или $ab = -16/3$.

Теперь решаем систему: $a-b=1$ и $ab = -16/3$.

Из первого уравнения $a=b+1$. Подставим во второе: $(b+1)b = -16/3$.

$b^2 + b + 16/3 = 0$.

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (16/3) = 1 - 64/3 = -61/3$.

Так как $D < 0$, действительных решений для $b$ не существует. Следовательно, исходное уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: решений нет

4) Исходное уравнение: $\sqrt[3]{24+\sqrt{x}} - \sqrt[3]{5+\sqrt{x}} = 1$.

ОДЗ: $x \ge 0$.

Этот пример решается аналогично предыдущему. Пусть $u = \sqrt{x}$, где $u \ge 0$.

Уравнение принимает вид: $\sqrt[3]{24+u} - \sqrt[3]{5+u} = 1$.

Введем замены: $a = \sqrt[3]{24+u}$ и $b = \sqrt[3]{5+u}$.

Получаем систему:

$a-b = 1$

$a^3 - b^3 = (24+u) - (5+u) = 19$

Используем тождество $(a-b)^3 = a^3 - b^3 - 3ab(a-b)$.

Подставим известные значения: $1^3 = 19 - 3ab(1)$.

$1 = 19 - 3ab \implies 3ab = 18 \implies ab = 6$.

Решаем систему: $a-b=1$ и $ab=6$.

Из первого уравнения $a=b+1$. Подставляем во второе: $(b+1)b = 6$.

$b^2+b-6=0$

По теореме Виета, корни: $b_1 = 2$ и $b_2 = -3$.

Рассмотрим оба случая для $b = \sqrt[3]{5+u}$:

1) Если $b=2$: $\sqrt[3]{5+u} = 2 \implies 5+u = 2^3 = 8 \implies u=3$.

2) Если $b=-3$: $\sqrt[3]{5+u} = -3 \implies 5+u = (-3)^3 = -27 \implies u=-32$.

По условию $u=\sqrt{x} \ge 0$, поэтому решение $u=-32$ является посторонним. Остается $u=3$.

Производим обратную замену: $\sqrt{x} = 3 \implies x = 3^2 = 9$.

Проверка: $\sqrt[3]{24+\sqrt{9}} - \sqrt[3]{5+\sqrt{9}} = \sqrt[3]{24+3} - \sqrt[3]{5+3} = \sqrt[3]{27} - \sqrt[3]{8} = 3-2=1$. Верно.

Ответ: 9