Номер 14.8, страница 117 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

14.8. 1) $\sqrt{16 - \sqrt{x} + 1} = 1$;

2) $\sqrt[3]{5 - \sqrt{x + 15}} = 1$;

3) $\frac{x + 3}{\sqrt{x - 1}} = \sqrt{3x + 1}$;

4) $\frac{2x - 5}{\sqrt{x + 2}} = \sqrt{x + 2}$.

1) Исходное уравнение: $\sqrt{16 - \sqrt{x + 1}} = 1$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под внутренним корнем должно быть неотрицательным: $x + 1 \ge 0$, откуда $x \ge -1$. Выражение под внешним корнем также должно быть неотрицательным: $16 - \sqrt{x + 1} \ge 0$, что означает $\sqrt{x + 1} \le 16$. Возведя в квадрат обе части, получаем $x + 1 \le 256$, то есть $x \le 255$. Таким образом, ОДЗ: $-1 \le x \le 255$.

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от внешнего корня:

$(\sqrt{16 - \sqrt{x + 1}})^2 = 1^2$

$16 - \sqrt{x + 1} = 1$

Выразим корень:

$\sqrt{x + 1} = 16 - 1$

$\sqrt{x + 1} = 15$

Снова возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{x + 1})^2 = 15^2$

$x + 1 = 225$

$x = 224$

Найденное значение $x = 224$ входит в ОДЗ ($-1 \le 224 \le 255$).

Выполним проверку: $\sqrt{16 - \sqrt{224 + 1}} = \sqrt{16 - \sqrt{225}} = \sqrt{16 - 15} = \sqrt{1} = 1$. Равенство верно.

Ответ: $224$.

2) Исходное уравнение: $\sqrt[3]{5 - \sqrt{x + 15}} = 1$.

Найдем ОДЗ. Так как корень кубический, подкоренное выражение может быть любым действительным числом. Ограничение накладывает только квадратный корень: $x + 15 \ge 0$, откуда $x \ge -15$.

Возведем обе части уравнения в куб:

$(\sqrt[3]{5 - \sqrt{x + 15}})^3 = 1^3$

$5 - \sqrt{x + 15} = 1$

Выразим корень:

$\sqrt{x + 15} = 5 - 1$

$\sqrt{x + 15} = 4$

Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{x + 15})^2 = 4^2$

$x + 15 = 16$

$x = 1$

Найденное значение $x = 1$ входит в ОДЗ ($1 \ge -15$).

Выполним проверку: $\sqrt[3]{5 - \sqrt{1 + 15}} = \sqrt[3]{5 - \sqrt{16}} = \sqrt[3]{5 - 4} = \sqrt[3]{1} = 1$. Равенство верно.

Ответ: $1$.

3) Исходное уравнение: $\frac{x + 3}{\sqrt{x - 1}} = \sqrt{3x + 1}$.

Найдем ОДЗ. Знаменатель не может быть равен нулю, а подкоренное выражение в нем должно быть неотрицательно, поэтому $x - 1 > 0$, то есть $x > 1$. Подкоренное выражение в правой части также должно быть неотрицательным: $3x + 1 \ge 0$, то есть $x \ge -1/3$. Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x > 1$.

Умножим обе части уравнения на $\sqrt{x - 1}$ (что возможно, так как в ОДЗ $\sqrt{x - 1} \ne 0$):

$x + 3 = \sqrt{3x + 1} \cdot \sqrt{x - 1}$

$x + 3 = \sqrt{(3x + 1)(x - 1)}$

$x + 3 = \sqrt{3x^2 - 3x + x - 1}$

$x + 3 = \sqrt{3x^2 - 2x - 1}$

Поскольку в ОДЗ ($x > 1$) левая часть $x + 3$ положительна, можно возвести обе части в квадрат:

$(x + 3)^2 = 3x^2 - 2x - 1$

$x^2 + 6x + 9 = 3x^2 - 2x - 1$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$2x^2 - 8x - 10 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$x^2 - 4x - 5 = 0$

Решим уравнение с помощью теоремы Виета или через дискриминант. Корни: $x_1 = 5$ и $x_2 = -1$.

Проверим корни по ОДЗ ($x > 1$). Корень $x_1 = 5$ удовлетворяет условию. Корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет условию и является посторонним.

Выполним проверку для $x=5$: $\frac{5 + 3}{\sqrt{5 - 1}} = \frac{8}{\sqrt{4}} = \frac{8}{2} = 4$. Правая часть: $\sqrt{3 \cdot 5 + 1} = \sqrt{16} = 4$. Равенство верно.

Ответ: $5$.

4) Исходное уравнение: $\frac{2x - 5}{\sqrt{x + 2}} = \sqrt{x + 2}$.

Найдем ОДЗ. Выражение под корнем должно быть неотрицательным, и, так как оно в знаменателе, оно не может быть равно нулю: $x + 2 > 0$, откуда $x > -2$.

Умножим обе части уравнения на $\sqrt{x + 2}$ (что возможно, так как в ОДЗ $\sqrt{x + 2} \ne 0$):

$2x - 5 = \sqrt{x + 2} \cdot \sqrt{x + 2}$

$2x - 5 = (\sqrt{x + 2})^2$

$2x - 5 = x + 2$

Решим полученное линейное уравнение:

$2x - x = 2 + 5$

$x = 7$

Найденное значение $x = 7$ входит в ОДЗ ($7 > -2$).

Выполним проверку: $\frac{2 \cdot 7 - 5}{\sqrt{7 + 2}} = \frac{14 - 5}{\sqrt{9}} = \frac{9}{3} = 3$. Правая часть: $\sqrt{7 + 2} = \sqrt{9} = 3$. Равенство верно.

Ответ: $7$.