Номер 14.1, страница 116 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

Решите уравнения (14.1–14.4):

14.1. 1) $\sqrt{x} = 3;$

2) $\sqrt{x - 3} = 2;$

3) $\sqrt{x} = 2 - x;$

4) $\sqrt{x - 2} = \frac{x}{3}.$

1) Дано иррациональное уравнение $\sqrt{x} = 3$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.

Чтобы найти решение, возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x})^2 = 3^2$

$x = 9$

Полученное значение $x=9$ удовлетворяет ОДЗ, так как $9 \ge 0$.

Выполним проверку подстановкой в исходное уравнение: $\sqrt{9} = 3$, то есть $3 = 3$. Равенство верное.

Ответ: 9.

2) Дано уравнение $\sqrt{x-3} = 2$.

Найдем ОДЗ: подкоренное выражение должно быть неотрицательно, то есть $x - 3 \ge 0$, откуда $x \ge 3$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x-3})^2 = 2^2$

$x - 3 = 4$

$x = 4 + 3$

$x = 7$

Значение $x=7$ входит в область допустимых значений, так как $7 \ge 3$.

Проверка: $\sqrt{7-3} = \sqrt{4} = 2$. Равенство $2 = 2$ верное.

Ответ: 7.

3) Дано уравнение $\sqrt{x} = 2 - x$.

ОДЗ для этого уравнения определяется системой из двух условий:

1. Выражение под корнем неотрицательно: $x \ge 0$.

2. Правая часть уравнения также должна быть неотрицательной, так как значение арифметического квадратного корня не может быть отрицательным числом: $2 - x \ge 0$, откуда $x \le 2$.

Объединяя эти два условия, получаем ОДЗ: $0 \le x \le 2$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x})^2 = (2 - x)^2$

$x = 4 - 4x + x^2$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:

$x^2 - 5x + 4 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = 5$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 4$. Подбором находим корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ ($0 \le x \le 2$):

- Корень $x_1 = 1$ удовлетворяет ОДЗ, так как $0 \le 1 \le 2$.

- Корень $x_2 = 4$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $4 > 2$. Следовательно, $x=4$ является посторонним корнем.

Единственным решением является $x=1$. Проверка: $\sqrt{1} = 2 - 1 \Rightarrow 1 = 1$. Верно.

Ответ: 1.

4) Дано уравнение $\sqrt{x-2} = \frac{x}{3}$.

Найдем ОДЗ из системы условий:

1. $x - 2 \ge 0 \Rightarrow x \ge 2$.

2. $\frac{x}{3} \ge 0 \Rightarrow x \ge 0$.

Итоговая ОДЗ: $x \ge 2$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x-2})^2 = (\frac{x}{3})^2$

$x - 2 = \frac{x^2}{9}$

Умножим обе части на 9, чтобы избавиться от дроби:

$9(x - 2) = x^2$

$9x - 18 = x^2$

$x^2 - 9x + 18 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 81 - 72 = 9$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{9 - \sqrt{9}}{2} = \frac{9-3}{2} = 3$ и $x_2 = \frac{9 + \sqrt{9}}{2} = \frac{9+3}{2} = 6$.

Проверим оба корня на принадлежность ОДЗ ($x \ge 2$):

- $x_1 = 3$ удовлетворяет ОДЗ ($3 \ge 2$).

- $x_2 = 6$ удовлетворяет ОДЗ ($6 \ge 2$).

Оба корня являются решениями. Выполним проверку:

При $x=3$: $\sqrt{3-2} = \frac{3}{3} \Rightarrow \sqrt{1} = 1 \Rightarrow 1=1$. Верно.

При $x=6$: $\sqrt{6-2} = \frac{6}{3} \Rightarrow \sqrt{4} = 2 \Rightarrow 2=2$. Верно.

Ответ: 3; 6.