Номер 14.4, страница 116 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

14.4. 1) $\sqrt{x} + \sqrt[4]{x} - 6 = 0;$

2) $\sqrt[3]{x} + \sqrt[6]{x} - 2 = 0;$

3) $\sqrt{x} - 3\sqrt[4]{x} - 10 = 0;$

4) $\sqrt[3]{x} - 3\sqrt[6]{x} - 18 = 0.$

1) $\sqrt{x} + \sqrt[4]{x} - 6 = 0$

Данное уравнение определено при $x \ge 0$.

Введем новую переменную. Пусть $t = \sqrt[4]{x}$. Тогда $\sqrt{x} = (\sqrt[4]{x})^2 = t^2$. Так как корень четной степени является неотрицательным числом, то $t \ge 0$.

Подставим новую переменную в исходное уравнение:

$t^2 + t - 6 = 0$

Это квадратное уравнение. Решим его с помощью теоремы Виета:

Сумма корней: $t_1 + t_2 = -1$

Произведение корней: $t_1 \cdot t_2 = -6$

Отсюда находим корни: $t_1 = -3$ и $t_2 = 2$.

Корень $t_1 = -3$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, следовательно, он является посторонним.

Корень $t_2 = 2$ удовлетворяет условию $t \ge 0$.

Вернемся к исходной переменной:

$\sqrt[4]{x} = 2$

Чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения в четвертую степень:

$x = 2^4$

$x = 16$

Проверка: $\sqrt{16} + \sqrt[4]{16} - 6 = 4 + 2 - 6 = 0$. $0=0$. Решение верное.

Ответ: $16$

2) $\sqrt[3]{x} + \sqrt[6]{x} - 2 = 0$

Данное уравнение определено при $x \ge 0$.

Введем новую переменную. Пусть $t = \sqrt[6]{x}$. Тогда $\sqrt[3]{x} = (\sqrt[6]{x})^2 = t^2$. Условие для новой переменной: $t \ge 0$.

Подставим новую переменную в уравнение:

$t^2 + t - 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение по теореме Виета:

$t_1 + t_2 = -1$

$t_1 \cdot t_2 = -2$

Корни: $t_1 = -2$ и $t_2 = 1$.

Корень $t_1 = -2$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, значит, он посторонний.

Корень $t_2 = 1$ удовлетворяет условию $t \ge 0$.

Произведем обратную замену:

$\sqrt[6]{x} = 1$

Возведем обе части уравнения в шестую степень:

$x = 1^6$

$x = 1$

Проверка: $\sqrt[3]{1} + \sqrt[6]{1} - 2 = 1 + 1 - 2 = 0$. $0=0$. Решение верное.

Ответ: $1$

3) $\sqrt{x} - 3\sqrt[4]{x} - 10 = 0$

Данное уравнение определено при $x \ge 0$.

Введем замену. Пусть $t = \sqrt[4]{x}$, тогда $\sqrt{x} = t^2$. Условие: $t \ge 0$.

Получаем квадратное уравнение:

$t^2 - 3t - 10 = 0$

Найдем дискриминант: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$.

Найдем корни для $t$:

$t_1 = \frac{3 - \sqrt{49}}{2} = \frac{3 - 7}{2} = -2$

$t_2 = \frac{3 + \sqrt{49}}{2} = \frac{3 + 7}{2} = 5$

Корень $t_1 = -2$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому является посторонним.

Корень $t_2 = 5$ удовлетворяет условию.

Вернемся к переменной $x$:

$\sqrt[4]{x} = 5$

Возведем обе части в четвертую степень:

$x = 5^4$

$x = 625$

Проверка: $\sqrt{625} - 3\sqrt[4]{625} - 10 = 25 - 3 \cdot 5 - 10 = 25 - 15 - 10 = 0$. $0=0$. Решение верное.

Ответ: $625$

4) $\sqrt[3]{x} - 3\sqrt[6]{x} - 18 = 0$

Данное уравнение определено при $x \ge 0$.

Выполним замену переменной. Пусть $t = \sqrt[6]{x}$, тогда $\sqrt[3]{x} = t^2$. Условие: $t \ge 0$.

Подставим в уравнение:

$t^2 - 3t - 18 = 0$

Решим квадратное уравнение по теореме Виета:

$t_1 + t_2 = 3$

$t_1 \cdot t_2 = -18$

Корни: $t_1 = 6$ и $t_2 = -3$.

Корень $t_2 = -3$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, значит, это посторонний корень.

Корень $t_1 = 6$ удовлетворяет условию.

Выполним обратную замену:

$\sqrt[6]{x} = 6$

Возведем обе части в шестую степень:

$x = 6^6$

$x = 46656$

Проверка: $\sqrt[3]{46656} - 3\sqrt[6]{46656} - 18 = 36 - 3 \cdot 6 - 18 = 36 - 18 - 18 = 0$. $0=0$. Решение верное.

Ответ: $46656$