Номер 14.3, страница 116 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

14.3. 1) $x - \sqrt{x} - 6 = 0;$

2) $x + \sqrt{2x} - 4 = 0;$

3) $(x^2 - 4) \cdot \sqrt{x + 5} = 0;$

4) $(x^2 - 9) \cdot \sqrt{x + 5} = 0.$

1) $x - \sqrt{x} - 6 = 0$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{x}$. Так как корень арифметический, то $t \ge 0$. Тогда $x = t^2$.

Подставим замену в исходное уравнение:

$t^2 - t - 6 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью теоремы Виета:

$t_1 + t_2 = 1$

$t_1 \cdot t_2 = -6$

Отсюда корни $t_1 = 3$ и $t_2 = -2$.

Вернемся к условию замены $t \ge 0$. Корень $t_2 = -2$ не удовлетворяет этому условию, поэтому он является посторонним. Остается только $t_1 = 3$.

Выполним обратную замену:

$\sqrt{x} = 3$

Возведем обе части в квадрат:

$x = 3^2 = 9$

Корень $x = 9$ удовлетворяет ОДЗ ($9 \ge 0$).

Ответ: 9

2) $x + \sqrt{2x} - 4 = 0$

Найдем ОДЗ: $2x \ge 0$, откуда $x \ge 0$.

Уединим радикал в одной части уравнения:

$\sqrt{2x} = 4 - x$

Так как левая часть уравнения (арифметический квадратный корень) неотрицательна, то и правая часть должна быть неотрицательной: $4 - x \ge 0$, что означает $x \le 4$.

Объединяя с ОДЗ, получаем систему ограничений: $0 \le x \le 4$.

Теперь возведем обе части уравнения $\sqrt{2x} = 4 - x$ в квадрат:

$(\sqrt{2x})^2 = (4 - x)^2$

$2x = 16 - 8x + x^2$

$x^2 - 10x + 16 = 0$

Решим квадратное уравнение по теореме Виета:

$x_1 + x_2 = 10$

$x_1 \cdot x_2 = 16$

Корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = 8$.

Проверим найденные корни на соответствие условию $0 \le x \le 4$.

$x_1 = 2$ удовлетворяет условию, так как $0 \le 2 \le 4$.

$x_2 = 8$ не удовлетворяет условию, так как $8 > 4$. Это посторонний корень.

Ответ: 2

3) $(x^2 - 4) \cdot \sqrt{x + 5} = 0$

Найдем ОДЗ: $x + 5 \ge 0$, откуда $x \ge -5$.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом существует.

Получаем совокупность двух уравнений:

1) $x^2 - 4 = 0$

$x^2 = 4$

$x_1 = 2$, $x_2 = -2$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($2 \ge -5$ и $-2 \ge -5$).

2) $\sqrt{x + 5} = 0$

$x + 5 = 0$

$x_3 = -5$

Этот корень также удовлетворяет ОДЗ ($-5 \ge -5$).

Решениями исходного уравнения являются все три найденных значения.

Ответ: -5; -2; 2

4) $(x^2 - 9) \cdot \sqrt{x + 5} = 0$

Найдем ОДЗ: $x + 5 \ge 0$, откуда $x \ge -5$.

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, а другие существуют.

Рассмотрим два случая:

1) $x^2 - 9 = 0$

$x^2 = 9$

$x_1 = 3$, $x_2 = -3$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($3 \ge -5$ и $-3 \ge -5$).

2) $\sqrt{x + 5} = 0$

$x + 5 = 0$

$x_3 = -5$

Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($-5 \ge -5$).

Решениями уравнения являются все три найденных значения.

Ответ: -5; -3; 3