Номер 14.9, страница 117 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

14.9. 1) $\frac{x - 4}{\sqrt{x - 2}} = x + 2$;

2) $\frac{x - 9}{\sqrt{x} + 3} = 27 - x$;

3) $\frac{x + 1}{\sqrt{x - 1}} = (2x - 1)^{\frac{1}{2}}$;

4) $\frac{x + 6}{(x - 6)^{\frac{1}{2}}} = \sqrt{3x + 2}$.

1) Исходное уравнение: $\frac{x-4}{\sqrt{x}-2} = x+2$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным, а знаменатель не должен быть равен нулю.

1. $x \ge 0$

2. $\sqrt{x}-2 \neq 0 \implies \sqrt{x} \neq 2 \implies x \neq 4$

ОДЗ: $x \in [0, 4) \cup (4, \infty)$.

Преобразуем числитель левой части, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:

$x - 4 = (\sqrt{x})^2 - 2^2 = (\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$\frac{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}{\sqrt{x}-2} = x+2$.

Сократим дробь на $(\sqrt{x}-2)$, так как по ОДЗ $x \neq 4$:

$\sqrt{x}+2 = x+2$.

Вычтем 2 из обеих частей уравнения:

$\sqrt{x} = x$.

Возведем обе части уравнения в квадрат. При этом нужно помнить, что $x \ge 0$, что уже учтено в ОДЗ.

$(\sqrt{x})^2 = x^2$

$x = x^2$

$x^2 - x = 0$

$x(x-1) = 0$.

Получаем два возможных корня:

$x_1 = 0$

$x_2 = 1$

Оба корня принадлежат ОДЗ. Проверим их, подставив в исходное уравнение.

Для $x=0$: $\frac{0-4}{\sqrt{0}-2} = \frac{-4}{-2} = 2$. Правая часть: $0+2=2$. Верно.

Для $x=1$: $\frac{1-4}{\sqrt{1}-2} = \frac{-3}{1-2} = 3$. Правая часть: $1+2=3$. Верно.

Ответ: $0; 1$.

2) Исходное уравнение: $\frac{x-9}{\sqrt{x}+3} = 27-x$.

Найдем ОДЗ. Выражение под корнем должно быть неотрицательным.

$x \ge 0$.

Знаменатель $\sqrt{x}+3$ всегда положителен при $x \ge 0$, так как $\sqrt{x} \ge 0$, следовательно $\sqrt{x}+3 \ge 3$.

ОДЗ: $x \ge 0$.

Преобразуем числитель левой части по формуле разности квадратов:

$x - 9 = (\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)$.

Подставим в уравнение:

$\frac{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}{\sqrt{x}+3} = 27-x$.

Сократим дробь на $(\sqrt{x}+3)$:

$\sqrt{x}-3 = 27-x$.

Перенесем все члены с $x$ в одну сторону, а константы в другую:

$\sqrt{x}+x = 27+3$

$\sqrt{x}+x = 30$.

Введем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{x}$. Так как $\sqrt{x} \ge 0$, то $t \ge 0$. Тогда $x = t^2$.

Уравнение примет вид:

$t + t^2 = 30$

$t^2 + t - 30 = 0$.

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -1, а произведение -30. Корни: $t_1=5$ и $t_2=-6$.

Так как $t \ge 0$, корень $t_2=-6$ является посторонним.

Остается $t=5$.

Вернемся к замене:

$\sqrt{x} = 5$

$x = 5^2 = 25$.

Корень $x=25$ удовлетворяет ОДЗ ($25 \ge 0$).

Проверка: $\frac{25-9}{\sqrt{25}+3} = \frac{16}{5+3} = \frac{16}{8} = 2$. Правая часть: $27-25=2$. Верно.

Ответ: $25$.

3) Исходное уравнение: $\frac{x+1}{\sqrt{x-1}} = (2x-1)^{\frac{1}{2}}$.

Перепишем уравнение в виде с квадратными корнями:

$\frac{x+1}{\sqrt{x-1}} = \sqrt{2x-1}$.

Найдем ОДЗ:

1. Из знаменателя $\sqrt{x-1}$: $x-1>0 \implies x>1$.

2. Из корня в правой части $\sqrt{2x-1}$: $2x-1 \ge 0 \implies x \ge \frac{1}{2}$.

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x>1$.

При $x>1$ обе части уравнения положительны. Умножим обе части на $\sqrt{x-1}$:

$x+1 = \sqrt{2x-1} \cdot \sqrt{x-1}$

$x+1 = \sqrt{(2x-1)(x-1)}$.

Возведем обе части в квадрат:

$(x+1)^2 = (2x-1)(x-1)$

$x^2+2x+1 = 2x^2 - 2x - x + 1$

$x^2+2x+1 = 2x^2 - 3x + 1$

Перенесем все члены в правую часть:

$2x^2 - x^2 - 3x - 2x + 1 - 1 = 0$

$x^2 - 5x = 0$

$x(x-5) = 0$.

Получаем два возможных корня:

$x_1=0$

$x_2=5$

Проверим корни по ОДЗ ($x>1$).

$x_1=0$ не удовлетворяет ОДЗ.

$x_2=5$ удовлетворяет ОДЗ.

Проверка для $x=5$: $\frac{5+1}{\sqrt{5-1}} = \frac{6}{\sqrt{4}} = \frac{6}{2} = 3$. Правая часть: $\sqrt{2(5)-1} = \sqrt{9} = 3$. Верно.

Ответ: $5$.

4) Исходное уравнение: $\frac{x+6}{(x-6)^{\frac{1}{2}}} = \sqrt{3x+2}$.

Перепишем уравнение в виде с квадратными корнями:

$\frac{x+6}{\sqrt{x-6}} = \sqrt{3x+2}$.

Найдем ОДЗ:

1. Из знаменателя $\sqrt{x-6}$: $x-6 > 0 \implies x > 6$.

2. Из корня в правой части $\sqrt{3x+2}$: $3x+2 \ge 0 \implies 3x \ge -2 \implies x \ge -\frac{2}{3}$.

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x > 6$.

При $x > 6$ обе части уравнения положительны. Умножим обе части на $\sqrt{x-6}$:

$x+6 = \sqrt{3x+2} \cdot \sqrt{x-6}$

$x+6 = \sqrt{(3x+2)(x-6)}$.

Возведем обе части в квадрат:

$(x+6)^2 = (3x+2)(x-6)$

$x^2+12x+36 = 3x^2 - 18x + 2x - 12$

$x^2+12x+36 = 3x^2 - 16x - 12$

Перенесем все члены в правую часть:

$3x^2 - x^2 - 16x - 12x - 12 - 36 = 0$

$2x^2 - 28x - 48 = 0$.

Разделим уравнение на 2:

$x^2 - 14x - 24 = 0$.

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-14)^2 - 4(1)(-24) = 196 + 96 = 292$.

$\sqrt{D} = \sqrt{292} = \sqrt{4 \cdot 73} = 2\sqrt{73}$.

Найдем корни:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 \pm 2\sqrt{73}}{2} = 7 \pm \sqrt{73}$.

Получаем два возможных корня:

$x_1 = 7 - \sqrt{73}$

$x_2 = 7 + \sqrt{73}$

Проверим корни по ОДЗ ($x > 6$).

Оценим $\sqrt{73}$. Так как $8^2=64$ и $9^2=81$, то $8 < \sqrt{73} < 9$.

$x_1 = 7 - \sqrt{73}$. Так как $\sqrt{73} > 7$, то $x_1 < 0$. Этот корень не удовлетворяет ОДЗ.

$x_2 = 7 + \sqrt{73}$. Так как $\sqrt{73} > 8$, то $7 + \sqrt{73} > 7+8=15$. $15 > 6$, значит корень $x_2$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $7+\sqrt{73}$.