Номер 14.16, страница 118 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

Решите системы уравнений (14.16–14.18):

14.16. 1) $\begin{cases} \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{y}} = \frac{4}{3}, \\ x \cdot y = 9; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}} = \frac{5}{2}, \\ x + y = 10. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{y}} = \frac{4}{3} \\x \cdot y = 9 \end{cases}$

Область допустимых значений для переменных $x$ и $y$ определяется наличием квадратных корней и их нахождением в знаменателе, поэтому $x > 0$ и $y > 0$.

Преобразуем первое уравнение, приведя левую часть к общему знаменателю:

$\frac{\sqrt{y} + \sqrt{x}}{\sqrt{x}\sqrt{y}} = \frac{4}{3}$

$\frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{\sqrt{xy}} = \frac{4}{3}$

Из второго уравнения системы мы знаем, что $xy = 9$. Подставим это значение в преобразованное первое уравнение:

$\frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{\sqrt{9}} = \frac{4}{3}$

$\frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{3} = \frac{4}{3}$

Умножим обе части уравнения на 3:

$\sqrt{x} + \sqrt{y} = 4$

Теперь мы имеем новую, более простую систему. Сделаем замену переменных: пусть $a = \sqrt{x}$ и $b = \sqrt{y}$, где $a > 0$ и $b > 0$.

$\begin{cases} a + b = 4 \\ab = \sqrt{xy} = \sqrt{9} = 3 \end{cases}$

Согласно теореме Виета, $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 4t + 3 = 0$.

Решим это уравнение:

$(t-1)(t-3) = 0$

Корни уравнения: $t_1 = 1$ и $t_2 = 3$.

Это дает нам два возможных набора решений для $(a, b)$: $(1, 3)$ и $(3, 1)$.

Вернемся к исходным переменным $x$ и $y$.

Случай 1: $a = 1, b = 3$

$\sqrt{x} = 1 \implies x = 1^2 = 1$

$\sqrt{y} = 3 \implies y = 3^2 = 9$

Получаем решение $(1, 9)$.

Случай 2: $a = 3, b = 1$

$\sqrt{x} = 3 \implies x = 3^2 = 9$

$\sqrt{y} = 1 \implies y = 1^2 = 1$

Получаем решение $(9, 1)$.

Проверка показывает, что оба решения удовлетворяют исходной системе.

Ответ: $(1, 9), (9, 1)$.

2)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} \sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}} = \frac{5}{2} \\x + y = 10 \end{cases}$

Область допустимых значений: $x > 0$ и $y > 0$.

Рассмотрим первое уравнение. Сделаем замену: пусть $t = \sqrt{\frac{x}{y}}$. Так как $x > 0$ и $y > 0$, то $t > 0$.

Тогда $\sqrt{\frac{y}{x}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{x}{y}}} = \frac{1}{t}$.

Первое уравнение принимает вид:

$t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2}$

Умножим обе части уравнения на $2t$ (так как $t \neq 0$), чтобы избавиться от знаменателей:

$2t^2 + 2 = 5t$

$2t^2 - 5t + 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$

$t_1 = \frac{5 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$t_2 = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$

Оба корня положительны, поэтому оба подходят. Теперь вернемся к исходным переменным.

Случай 1: $t = 2$

$\sqrt{\frac{x}{y}} = 2 \implies \frac{x}{y} = 4 \implies x = 4y$

Подставим это выражение во второе уравнение системы $x + y = 10$:

$4y + y = 10 \implies 5y = 10 \implies y = 2$

Тогда $x = 4y = 4 \cdot 2 = 8$.

Получаем решение $(8, 2)$.

Случай 2: $t = \frac{1}{2}$

$\sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{1}{2} \implies \frac{x}{y} = \frac{1}{4} \implies y = 4x$

Подставим это выражение во второе уравнение системы $x + y = 10$:

$x + 4x = 10 \implies 5x = 10 \implies x = 2$

Тогда $y = 4x = 4 \cdot 2 = 8$.

Получаем решение $(2, 8)$.

Проверка показывает, что оба решения удовлетворяют исходной системе.

Ответ: $(8, 2), (2, 8)$.