Номер 14.20, страница 119 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

14.20. Найдите область определения функции:

1) $y = \sqrt{2x^2 - 3x + 1} + \sqrt{x^2 - 16}$;

2) $y = \sqrt{x^2 - 4x + 3} + \frac{1}{\sqrt{2x^2 - 8}}$.

1) Область определения функции $y = \sqrt{2x^2 - 3x + 1} + \sqrt{x^2 - 16}$ находится из условия, что подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Это приводит к системе неравенств:

$\begin{cases} 2x^2 - 3x + 1 \ge 0 \\ x^2 - 16 \ge 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $2x^2 - 3x + 1 \ge 0$.

Сначала найдем корни квадратного уравнения $2x^2 - 3x + 1 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-(-3) - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$; $x_2 = \frac{-(-3) + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 1}{4} = \frac{4}{4} = 1$.

Так как коэффициент при $x^2$ положителен ($2 > 0$), ветви параболы $y = 2x^2 - 3x + 1$ направлены вверх. Следовательно, неравенство $2x^2 - 3x + 1 \ge 0$ выполняется, когда $x$ находится вне интервала между корнями.

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty; \frac{1}{2}] \cup [1; +\infty)$.

Решим второе неравенство: $x^2 - 16 \ge 0$.

Это неравенство можно переписать как $(x-4)(x+4) \ge 0$.

Корни уравнения $x^2 - 16 = 0$ это $x_1 = -4$ и $x_2 = 4$.

Ветви параболы $y = x^2 - 16$ направлены вверх, поэтому неравенство $x^2 - 16 \ge 0$ выполняется вне интервала между корнями.

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty; -4] \cup [4; +\infty)$.

Теперь найдем пересечение областей решений обоих неравенств. Область определения исходной функции — это множество значений $x$, удовлетворяющих обоим неравенствам одновременно.

Пересечением множеств $(-\infty; \frac{1}{2}] \cup [1; +\infty)$ и $(-\infty; -4] \cup [4; +\infty)$ является множество $(-\infty; -4] \cup [4; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -4] \cup [4; +\infty)$.

2) Область определения функции $y = \sqrt{x^2 - 4x + 3} + \frac{1}{\sqrt{2x^2 - 8}}$ находится из следующих условий: выражение под первым квадратным корнем должно быть неотрицательным, а выражение под вторым квадратным корнем, находящимся в знаменателе, должно быть строго положительным. Это приводит к системе неравенств:

$\begin{cases} x^2 - 4x + 3 \ge 0 \\ 2x^2 - 8 > 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $x^2 - 4x + 3 \ge 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 4, а произведение равно 3, следовательно, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.

Неравенство можно записать как $(x-1)(x-3) \ge 0$. Ветви параболы $y = x^2 - 4x + 3$ направлены вверх, поэтому решение неравенства: $x \in (-\infty; 1] \cup [3; +\infty)$.

Решим второе неравенство: $2x^2 - 8 > 0$.

Разделим обе части на 2: $x^2 - 4 > 0$.

Разложим на множители: $(x-2)(x+2) > 0$.

Корни уравнения $x^2 - 4 = 0$ это $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$.

Ветви параболы $y = x^2 - 4$ направлены вверх, поэтому решение неравенства: $x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$.

Теперь найдем пересечение решений двух неравенств.

Пересечением множеств $(-\infty; 1] \cup [3; +\infty)$ и $(-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$ является множество $(-\infty; -2) \cup [3; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup [3; +\infty)$.