Номер 15.3, страница 126 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

15.3. 1) $\sqrt{3x - 8} < -2;$

2) $\sqrt[3]{x + 2} < -5;$

3) $\sqrt{2x + 1} > 8;$

4) $(x - 12)\sqrt{x - 3} < 0.$

1) $\sqrt{3x-8} < -2$

По определению, арифметический квадратный корень $\sqrt{a}$ является неотрицательным числом, то есть $\sqrt{3x-8} \ge 0$ для всех допустимых значений $x$. Неравенство требует, чтобы неотрицательное число было меньше отрицательного числа $-2$, что невозможно. Следовательно, данное неравенство не имеет решений.

Ответ: нет решений.

2) $\sqrt[3]{x+2} < -5$

Область определения кубического корня — все действительные числа. Чтобы решить неравенство, возведем обе его части в третью степень. Так как функция $y=t^3$ является возрастающей на всей числовой оси, знак неравенства не изменится. $(\sqrt[3]{x+2})^3 < (-5)^3$ $x+2 < -125$ $x < -125 - 2$ $x < -127$

Ответ: $x \in (-\infty; -127)$.

3) $\sqrt{2x+1} > 8$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $2x+1 \ge 0$ $2x \ge -1$ $x \ge -0.5$ Обе части исходного неравенства неотрицательны, поэтому можно возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства: $(\sqrt{2x+1})^2 > 8^2$ $2x+1 > 64$ $2x > 63$ $x > 31.5$ Совмещая полученное решение с ОДЗ ($x \ge -0.5$), получаем итоговый результат. Так как $31.5 > -0.5$, решение $x > 31.5$ полностью удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x \in (31.5; +\infty)$.

4) $(x-12)\sqrt{x-3} \le 0$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ): $x-3 \ge 0 \implies x \ge 3$. В области допустимых значений множитель $\sqrt{x-3}$ всегда неотрицателен ($\sqrt{x-3} \ge 0$). Рассмотрим два случая, когда произведение нестрого меньше или равно нулю:

Случай 1: Произведение равно нулю. $(x-12)\sqrt{x-3} = 0$ Это возможно, если $x-12=0$ или $\sqrt{x-3}=0$. $x=12$ или $x=3$. Оба значения принадлежат ОДЗ.

Случай 2: Произведение строго меньше нуля. $(x-12)\sqrt{x-3} < 0$ Так как $\sqrt{x-3} > 0$ при $x>3$, для выполнения неравенства необходимо, чтобы второй множитель был отрицательным: $x-12 < 0 \implies x < 12$. При этом должно выполняться условие $x>3$, чтобы корень был определен и не равен нулю. Таким образом, решением для этого случая является интервал $3 < x < 12$.

Объединяя решения из обоих случаев ($x=3$, $x=12$ и $3 < x < 12$), получаем отрезок $[3; 12]$.

Ответ: $x \in [3; 12]$.