Номер 15.2, страница 126 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

15.2.1) $\sqrt{x+1} > 2$;

2) $\sqrt{1-x} < 4$;

3) $\sqrt{3x+1} > 1$;

4) $\sqrt{2x-1} < 3$.

1)Решим неравенство $\sqrt{x+1} > 2$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:$x + 1 \ge 0$, откуда получаем $x \ge -1$.

Поскольку обе части неравенства ($\sqrt{x+1}$ и $2$) являются неотрицательными, мы можем возвести их в квадрат, не меняя знака неравенства:$(\sqrt{x+1})^2 > 2^2$

$x + 1 > 4$

$x > 3$.

Теперь необходимо учесть ОДЗ. Решение должно удовлетворять обоим условиям: $x > 3$ и $x \ge -1$. Пересечением этих двух множеств является промежуток $x > 3$.

Ответ: $x \in (3; +\infty)$.

2)Решим неравенство $\sqrt{1-x} < 4$.

Найдем ОДЗ: подкоренное выражение должно быть неотрицательным.$1 - x \ge 0$, что равносильно $x \le 1$.

Левая часть неравенства, $\sqrt{1-x}$, по определению неотрицательна. Правая часть, $4$, положительна. Таким образом, неравенство имеет смысл и мы можем возвести обе его части в квадрат:$(\sqrt{1-x})^2 < 4^2$

$1 - x < 16$

$-x < 15$.

Умножим обе части на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный:$x > -15$.

Совместим полученное решение с ОДЗ: $x \le 1$ и $x > -15$. Это можно записать в виде двойного неравенства: $-15 < x \le 1$.

Ответ: $x \in (-15; 1]$.

3)Решим неравенство $\sqrt{3x+1} > 1$.

Найдем ОДЗ: $3x + 1 \ge 0$.$3x \ge -1$

$x \ge -\frac{1}{3}$.

Обе части исходного неравенства положительны, поэтому можно возвести их в квадрат:$(\sqrt{3x+1})^2 > 1^2$

$3x + 1 > 1$

$3x > 0$

$x > 0$.

Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ: $x > 0$ и $x \ge -\frac{1}{3}$. Общим решением является $x > 0$.

Ответ: $x \in (0; +\infty)$.

4)Решим неравенство $\sqrt{2x-1} < 3$.

Найдем ОДЗ: $2x - 1 \ge 0$.$2x \ge 1$

$x \ge \frac{1}{2}$.

Так как левая часть неравенства ($\sqrt{2x-1}$) неотрицательна, а правая ($3$) положительна, мы можем возвести обе части в квадрат:$(\sqrt{2x-1})^2 < 3^2$

$2x - 1 < 9$

$2x < 10$

$x < 5$.

Совместим это решение с ОДЗ. Нам нужны значения $x$, которые удовлетворяют условиям $x < 5$ и $x \ge \frac{1}{2}$. Это соответствует интервалу $\frac{1}{2} \le x < 5$.

Ответ: $x \in [\frac{1}{2}; 5)$.