Номер 15.9, страница 127 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

15.9. 1) Разложите положительное число a на два положительных слагаемых так, чтобы их произведение было наибольшим.

Указание. Нужно использовать неравенство Коши.

2) Докажите, что $(a+b+c) \cdot (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) > 9$ при положительных $a, b$ и $c$;

3) Докажите, что если $x, y, a$ и $b$ неотрицательные числа, то $\frac{x+y+a+b}{4} \geq \sqrt[4]{xyab}$.

1)Пусть положительное число $a$ представлено в виде суммы двух положительных слагаемых $x$ и $y$. Это означает, что $x > 0$, $y > 0$ и $x+y=a$. Нам необходимо найти максимальное значение их произведения $P = xy$.

Для решения этой задачи воспользуемся неравенством Коши (неравенством о среднем арифметическом и среднем геометрическом) для двух неотрицательных чисел:

$\frac{x+y}{2} \ge \sqrt{xy}$

Подставим в него известное нам условие $x+y=a$:

$\frac{a}{2} \ge \sqrt{xy}$

Поскольку обе части неравенства положительны, мы можем возвести их в квадрат, не меняя знака неравенства:

$(\frac{a}{2})^2 \ge xy$, или $xy \le \frac{a^2}{4}$

Это означает, что произведение $xy$ имеет максимальное значение, равное $\frac{a^2}{4}$. Максимум достигается в том случае, когда неравенство Коши обращается в равенство, то есть когда числа, для которых оно записано, равны между собой: $x = y$.

Чтобы найти значения $x$ и $y$, решим систему уравнений:

$x+y=a$

$x=y$

Подставляя второе уравнение в первое, получаем $x+x=a$, откуда $2x=a$ и, следовательно, $x = \frac{a}{2}$. Так как $x=y$, то и $y = \frac{a}{2}$.

Ответ: Чтобы произведение было наибольшим, число $a$ нужно разложить на два равных слагаемых, каждое из которых равно $\frac{a}{2}$.

2)Для доказательства данного неравенства применим неравенство Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическом для трех положительных чисел $a, b, c$.

С одной стороны, для чисел $a, b, c$ справедливо неравенство:

$\frac{a+b+c}{3} \ge \sqrt[3]{abc}$

С другой стороны, для чисел $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ также справедливо неравенство:

$\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}{3} \ge \sqrt[3]{\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{b} \cdot \frac{1}{c}} = \sqrt[3]{\frac{1}{abc}} = \frac{1}{\sqrt[3]{abc}}$

Перемножим левые и правые части этих двух неравенств. Так как все части являются положительными, знак неравенства сохранится:

$(\frac{a+b+c}{3}) \cdot (\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}{3}) \ge \sqrt[3]{abc} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{abc}}$

$\frac{(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})}{9} \ge 1$

Умножив обе части на 9, получаем искомое неравенство:

$(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \ge 9$

Равенство достигается тогда и только тогда, когда в обоих исходных неравенствах Коши достигается равенство, то есть при $a=b=c$. Если же числа $a, b, c$ не все равны между собой, то неравенство будет строгим, то есть $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) > 9$. Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Неравенство доказывается путем перемножения двух неравенств Коши: одного для чисел $a,b,c$ и другого для чисел $\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}$.

3)Данное неравенство является классическим примером неравенства Коши (неравенства о среднем арифметическом и среднем геометрическом), примененного к четырем неотрицательным числам.

Общая формулировка неравенства Коши для $n$ неотрицательных чисел $x_1, x_2, \dots, x_n$ гласит, что их среднее арифметическое не меньше их среднего геометрического:

$\frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} \ge \sqrt[n]{x_1 x_2 \dots x_n}$

В данной задаче у нас есть четыре неотрицательных числа: $x, y, a, b$. Применим к ним неравенство Коши для случая $n=4$:

$\frac{x+y+a+b}{4} \ge \sqrt[4]{xyab}$

Это в точности то неравенство, которое требовалось доказать. Равенство в данном неравенстве достигается только в том случае, когда все числа равны между собой, то есть при $x=y=a=b$.

Ответ: Данное утверждение является прямым следствием и частным случаем неравенства Коши для четырех неотрицательных чисел.