Номер 15.15, страница 128 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

15.15. Найдите производную функции:

1) $f(x) = \operatorname{arctg}2x + x^3$;

2) $f(x) = \operatorname{arccos}4x - x^4 + 2.$

1) Чтобы найти производную функции $f(x) = \arctan(2x) + x^3$, воспользуемся правилом дифференцирования суммы, согласно которому производная суммы функций равна сумме их производных: $f'(x) = (\arctan(2x) + x^3)' = (\arctan(2x))' + (x^3)'$.

Найдем производную каждого слагаемого по отдельности.

Первое слагаемое – это сложная функция. Для нахождения ее производной используем формулу производной сложной функции $(\arctan u)' = \frac{1}{1+u^2} \cdot u'$. В нашем случае $u = 2x$, поэтому $u' = (2x)' = 2$.

Таким образом, $(\arctan(2x))' = \frac{1}{1+(2x)^2} \cdot (2x)' = \frac{1}{1+4x^2} \cdot 2 = \frac{2}{1+4x^2}$.

Второе слагаемое – это степенная функция. Ее производная находится по формуле $(x^n)' = nx^{n-1}$.

$(x^3)' = 3x^{3-1} = 3x^2$.

Теперь сложим найденные производные:

$f'(x) = \frac{2}{1+4x^2} + 3x^2$.

Ответ: $f'(x) = \frac{2}{1+4x^2} + 3x^2$.

2) Чтобы найти производную функции $f(x) = \arccos(4x) - x^4 + 2$, применим правило дифференцирования суммы и разности: $f'(x) = (\arccos(4x) - x^4 + 2)' = (\arccos(4x))' - (x^4)' + (2)'$.

Найдем производную каждого члена функции.

Производная первого члена, $\arccos(4x)$, является производной сложной функции. Воспользуемся формулой $(\arccos u)' = -\frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \cdot u'$. Здесь $u = 4x$ и $u' = (4x)' = 4$.

Следовательно, $(\arccos(4x))' = -\frac{1}{\sqrt{1-(4x)^2}} \cdot (4x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-16x^2}} \cdot 4 = -\frac{4}{\sqrt{1-16x^2}}$.

Производная второго члена, $x^4$, находится по формуле производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$.

$(x^4)' = 4x^{4-1} = 4x^3$.

Производная третьего члена, константы 2, равна нулю: $(2)' = 0$.

Теперь объединим результаты:

$f'(x) = -\frac{4}{\sqrt{1-16x^2}} - 4x^3 + 0 = -\frac{4}{\sqrt{1-16x^2}} - 4x^3$.

Ответ: $f'(x) = -\frac{4}{\sqrt{1-16x^2}} - 4x^3$.