Страница 128 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

15.15. Найдите производную функции:

1) $f(x) = \operatorname{arctg}2x + x^3$;

2) $f(x) = \operatorname{arccos}4x - x^4 + 2.$

1) Чтобы найти производную функции $f(x) = \arctan(2x) + x^3$, воспользуемся правилом дифференцирования суммы, согласно которому производная суммы функций равна сумме их производных: $f'(x) = (\arctan(2x) + x^3)' = (\arctan(2x))' + (x^3)'$.

Найдем производную каждого слагаемого по отдельности.

Первое слагаемое – это сложная функция. Для нахождения ее производной используем формулу производной сложной функции $(\arctan u)' = \frac{1}{1+u^2} \cdot u'$. В нашем случае $u = 2x$, поэтому $u' = (2x)' = 2$.

Таким образом, $(\arctan(2x))' = \frac{1}{1+(2x)^2} \cdot (2x)' = \frac{1}{1+4x^2} \cdot 2 = \frac{2}{1+4x^2}$.

Второе слагаемое – это степенная функция. Ее производная находится по формуле $(x^n)' = nx^{n-1}$.

$(x^3)' = 3x^{3-1} = 3x^2$.

Теперь сложим найденные производные:

$f'(x) = \frac{2}{1+4x^2} + 3x^2$.

Ответ: $f'(x) = \frac{2}{1+4x^2} + 3x^2$.

2) Чтобы найти производную функции $f(x) = \arccos(4x) - x^4 + 2$, применим правило дифференцирования суммы и разности: $f'(x) = (\arccos(4x) - x^4 + 2)' = (\arccos(4x))' - (x^4)' + (2)'$.

Найдем производную каждого члена функции.

Производная первого члена, $\arccos(4x)$, является производной сложной функции. Воспользуемся формулой $(\arccos u)' = -\frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \cdot u'$. Здесь $u = 4x$ и $u' = (4x)' = 4$.

Следовательно, $(\arccos(4x))' = -\frac{1}{\sqrt{1-(4x)^2}} \cdot (4x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-16x^2}} \cdot 4 = -\frac{4}{\sqrt{1-16x^2}}$.

Производная второго члена, $x^4$, находится по формуле производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$.

$(x^4)' = 4x^{4-1} = 4x^3$.

Производная третьего члена, константы 2, равна нулю: $(2)' = 0$.

Теперь объединим результаты:

$f'(x) = -\frac{4}{\sqrt{1-16x^2}} - 4x^3 + 0 = -\frac{4}{\sqrt{1-16x^2}} - 4x^3$.

Ответ: $f'(x) = -\frac{4}{\sqrt{1-16x^2}} - 4x^3$.

15.16. Постройте график функции и найдите ее множество значений:

1) $f(x) = 2x + x^2$,

2) $f(x) = 1 - \sqrt{4+x}$.

1) Функция $f(x) = 2x + x^2$ является квадратичной. Для удобства анализа перепишем ее в стандартном виде $f(x) = x^2 + 2x$. Графиком этой функции является парабола. Поскольку коэффициент при старшем члене $x^2$ равен $1$ (что больше нуля), ветви параболы направлены вверх.

Для построения графика найдем координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$. Используем формулу для нахождения абсциссы вершины $x_в = -\frac{b}{2a}$, где $a=1$ и $b=2$.

$x_в = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$.

Теперь найдем ординату вершины, подставив $x_в$ в функцию:

$y_в = f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) = 1 - 2 = -1$.

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(-1; -1)$.

Найдем точки пересечения графика с осями координат.

Для нахождения точки пересечения с осью Oy, подставим $x=0$:

$f(0) = 0^2 + 2(0) = 0$. График проходит через начало координат $(0; 0)$.

Для нахождения точек пересечения с осью Ox, решим уравнение $f(x)=0$:

$x^2 + 2x = 0$

$x(x+2) = 0$

Корни уравнения: $x_1=0$ и $x_2=-2$. Точки пересечения с осью Ox: $(0; 0)$ и $(-2; 0)$.

Итак, мы имеем параболу с вершиной в точке $(-1; -1)$, ветвями вверх, проходящую через точки $(-2; 0)$ и $(0; 0)$.

Множество значений функции — это все возможные значения, которые может принимать $y$. Поскольку вершина параболы $(-1; -1)$ является точкой минимума функции, а ветви направлены вверх, функция принимает все значения от $-1$ включительно и до бесконечности.

Ответ: Множество значений: $E(f) = [-1; +\infty)$.

2) Рассмотрим функцию $f(x) = 1 - \sqrt{4+x}$.

Сначала найдем область определения функции. Выражение, стоящее под знаком квадратного корня, должно быть неотрицательным:

$4+x \ge 0$

$x \ge -4$

Следовательно, область определения функции: $D(f) = [-4; +\infty)$.

График данной функции можно получить из графика базовой функции $y=\sqrt{x}$ с помощью последовательных преобразований:

1. Сдвиг графика $y=\sqrt{x}$ на 4 единицы влево по оси Ox, чтобы получить $y=\sqrt{x+4}$.

2. Симметричное отражение графика $y=\sqrt{x+4}$ относительно оси Ox, чтобы получить $y=-\sqrt{x+4}$.

3. Сдвиг графика $y=-\sqrt{x+4}$ на 1 единицу вверх по оси Oy, чтобы получить $y=1-\sqrt{x+4}$.

График представляет собой ветвь параболы, выходящую из начальной точки и идущую вправо и вниз.

Найдем ключевые точки для построения графика:

Начальная точка графика соответствует наименьшему значению $x$ из области определения, т.е. $x=-4$:

$f(-4) = 1 - \sqrt{4+(-4)} = 1 - 0 = 1$. Начальная точка: $(-4; 1)$.

Точка пересечения с осью Oy ($x=0$):

$f(0) = 1 - \sqrt{4+0} = 1 - 2 = -1$. Точка $(0; -1)$.

Точка пересечения с осью Ox ($f(x)=0$):

$1 - \sqrt{4+x} = 0$

$\sqrt{4+x} = 1$

$4+x = 1^2$

$x = -3$. Точка $(-3; 0)$.

Теперь найдем множество значений функции. По определению арифметического квадратного корня, $\sqrt{4+x} \ge 0$. Умножим неравенство на $-1$, изменив знак на противоположный: $-\sqrt{4+x} \le 0$. Теперь прибавим $1$ к обеим частям: $1 - \sqrt{4+x} \le 1$. Это означает, что $f(x) \le 1$. Максимальное значение, равное 1, функция достигает в своей начальной точке при $x=-4$. При увеличении $x$ значение функции неограниченно убывает.

Ответ: Множество значений: $E(f) = (-\infty; 1]$.

1. Найдите область определения функции $y = \sqrt{x^3 - 5x^2 + 6x}$:

A) $(-\infty; 0] \cup [2; 3];$

B) $[0; 2) \cup (3; +\infty);$

C) $[0; 2] \cup [3; +\infty);$

D) $(-\infty; 0) \cup [2; 3].$

1. Область определения функции $y = \sqrt{x^3 - 5x^2 + 6x}$ находится из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть большим или равным нулю.

Для нахождения области определения необходимо решить неравенство:

$x^3 - 5x^2 + 6x \ge 0$

Сначала вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^2 - 5x + 6) \ge 0$

Теперь разложим на множители квадратный трехчлен $x^2 - 5x + 6$. Для этого найдем его корни. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 6. Отсюда корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.

Таким образом, квадратный трехчлен можно представить в виде $(x - 2)(x - 3)$.

Теперь исходное неравенство принимает вид:

$x(x - 2)(x - 3) \ge 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Нулями выражения в левой части являются точки $x = 0$, $x = 2$ и $x = 3$. Нанесем эти точки на числовую ось, они разделят ее на четыре интервала.

Определим знак выражения $x(x - 2)(x - 3)$ в каждом из интервалов:

1. Интервал $(3; +\infty)$: возьмем $x=4$. $4(4 - 2)(4 - 3) = 4 \cdot 2 \cdot 1 = 8 > 0$. Знак "+".

2. Интервал $(2; 3)$: возьмем $x=2.5$. $2.5(2.5 - 2)(2.5 - 3) = 2.5 \cdot 0.5 \cdot (-0.5) < 0$. Знак "-".

3. Интервал $(0; 2)$: возьмем $x=1$. $1(1 - 2)(1 - 3) = 1 \cdot (-1) \cdot (-2) = 2 > 0$. Знак "+".

4. Интервал $(-\infty; 0)$: возьмем $x=-1$. $-1(-1 - 2)(-1 - 3) = -1 \cdot (-3) \cdot (-4) < 0$. Знак "-".

Поскольку неравенство нестрогое ($\ge 0$), мы ищем промежутки, где выражение положительно или равно нулю. Это интервалы со знаком "+" и сами точки $0, 2, 3$.

Объединяя эти промежутки, получаем область определения функции:

$x \in [0; 2] \cup [3; +\infty)$

Это решение соответствует варианту C).

Ответ: C) $[0; 2] \cup [3; +\infty)$.

2. Найдите область допустимых значений переменных в выражении

$\sqrt{x^2 - 6x} + \frac{1}{x-5}$:

A) $[0; 6];$

B) $[0; 5) \cup (5; 6];$

C) $(-\infty; 0] \cup [6; +\infty);$

D) $(-\infty; 0) \cup (6; +\infty).$

Область допустимых значений (ОДЗ) для данного выражения определяется совокупностью условий, при которых каждый его компонент имеет смысл.

1. Выражение под знаком квадратного корня, $x^2 - 6x$, должно быть неотрицательным, так как извлекать квадратный корень в действительных числах можно только из неотрицательных чисел. Это приводит к неравенству:

$x^2 - 6x \ge 0$

Для решения этого неравенства найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 6x = 0$.

$x(x - 6) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 6$.

Графиком функции $y = x^2 - 6x$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции будут неотрицательными (больше или равны нулю) на участках, где график находится на или выше оси абсцисс. Это соответствует промежуткам слева от меньшего корня и справа от большего корня, включая сами корни.

Следовательно, решение первого неравенства: $x \in (-\infty; 0] \cup [6; +\infty)$.

2. Знаменатель дроби $\frac{1}{x-5}$ не должен равняться нулю, так как деление на ноль не определено. Это приводит к условию:

$x - 5 \neq 0$

$x \neq 5$

3. Область допустимых значений для всего выражения является пересечением множеств, найденных в пунктах 1 и 2. Мы должны найти все значения $x$, которые удовлетворяют обоим условиям одновременно:

$x \in (-\infty; 0] \cup [6; +\infty)$ и $x \neq 5$.

Проверим, входит ли точка $x=5$ в найденное на первом шаге множество. Интервал $(0; 6)$ не входит в это множество, а точка $x=5$ как раз находится внутри этого интервала. Следовательно, условие $x \neq 5$ уже выполняется для множества $(-\infty; 0] \cup [6; +\infty)$ и не накладывает на него дополнительных ограничений.

Таким образом, итоговая область допустимых значений переменных в выражении есть $x \in (-\infty; 0] \cup [6; +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; 0] \cup [6; +\infty)$.

3. Решите уравнение $\sqrt{x^2 + 5} = -9$:

A) 2;

B) $\pm 2$;

C) -2;

D) $\emptyset$.

3. Рассмотрим данное уравнение: $\sqrt{x^2 + 5} = -9$.

По определению, арифметический квадратный корень (обозначаемый символом $\sqrt{}$) из любого действительного неотрицательного числа является неотрицательным числом. Это означает, что левая часть уравнения, $\sqrt{x^2 + 5}$, для любых действительных значений $x$ должна быть больше или равна нулю.

Проверим область определения. Выражение под корнем $x^2 + 5$ всегда положительно, так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, а значит $x^2 + 5 \ge 5$. Таким образом, корень определён для всех $x$.

Следовательно, левая часть уравнения $\sqrt{x^2 + 5}$ всегда принимает неотрицательные значения ($\ge \sqrt{5}$).

Правая часть уравнения равна $-9$, что является отрицательным числом.

Таким образом, мы имеем равенство, в котором неотрицательное число приравнивается к отрицательному числу. Такое равенство невозможно в области действительных чисел.

Следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: D) $\emptyset$.

4. Найдите наибольший корень уравнения $ \sqrt{x^2-5} = \sqrt{4x} $:

A) -5;

B) 5;

C) -1;

D) 1.

Для решения данного иррационального уравнения необходимо сначала найти область допустимых значений (ОДЗ), так как выражения под знаком квадратного корня должны быть неотрицательными.

1. Определение ОДЗ:

Система неравенств, определяющая ОДЗ, выглядит следующим образом:

$\begin{cases}x^2 - 5 \ge 0 \\4x \ge 0\end{cases}$

Решим каждое неравенство:

Из второго неравенства $4x \ge 0$ следует, что $x \ge 0$.

Первое неравенство $x^2 - 5 \ge 0$ эквивалентно $x^2 \ge 5$, что дает нам $x \in (-\infty; -\sqrt{5}] \cup [\sqrt{5}; \infty)$.

Найдем пересечение решений обоих неравенств: $x \ge 0$ и $x \in (-\infty; -\sqrt{5}] \cup [\sqrt{5}; \infty)$. Общим решением является промежуток $x \ge \sqrt{5}$.

Таким образом, ОДЗ: $x \in [\sqrt{5}; +\infty)$.

2. Решение уравнения:

Исходное уравнение: $\sqrt{x^2 - 5} = \sqrt{4x}$.

Поскольку обе части уравнения неотрицательны в ОДЗ, мы можем возвести их в квадрат, чтобы избавиться от корней:

$(\sqrt{x^2 - 5})^2 = (\sqrt{4x})^2$

$x^2 - 5 = 4x$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 4x - 5 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета. Сумма корней равна 4, а их произведение равно -5. Легко подобрать корни:

$x_1 = 5$

$x_2 = -1$

3. Проверка корней:

Теперь необходимо проверить, принадлежат ли найденные корни ОДЗ ($x \ge \sqrt{5}$).

Для $x_1 = 5$: $5 \ge \sqrt{5}$, так как $25 \ge 5$. Это верное неравенство, значит, $x=5$ является корнем уравнения.

Для $x_2 = -1$: $-1 \ge \sqrt{5}$. Это неверное неравенство, так как отрицательное число не может быть больше положительного. Следовательно, $x=-1$ — посторонний корень.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень $x=5$. Так как корень один, он же является и наибольшим.

Ответ: 5

5. Решите уравнение $\sqrt{\frac{x}{x-2}} + 6\sqrt{\frac{x-2}{2}} = 5$:

A) 2; 3;

B) 1; 6;

C) $\frac{9}{4}$; $\frac{8}{3}$;

D) $\frac{4}{9}$; $\frac{3}{8}$;

Данное уравнение: $\sqrt{\frac{x}{x-2}} + 6\sqrt{\frac{x-2}{2}} = 5$.

Заметим, что структура задачи и предложенные варианты ответов позволяют предположить, что в условии допущена опечатка, и уравнение должно иметь вид: $\sqrt{\frac{x}{x-2}} + 6\sqrt{\frac{x-2}{x}} = 5$. В таком виде слагаемые под корнем являются взаимно обратными величинами, что является стандартным приемом для решения подобных уравнений. Решим скорректированное уравнение.

1. Определение области допустимых значений (ОДЗ)

Подкоренные выражения должны быть неотрицательными, а знаменатели дробей не должны быть равны нулю.$\frac{x}{x-2} \ge 0$ и $\frac{x-2}{x} \ge 0$.Эти два неравенства эквивалентны. Решим первое из них методом интервалов.На числовой оси отмечаем точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль: $x=0$ и $x=2$.Определяем знаки выражения $\frac{x}{x-2}$ на интервалах $(-\infty, 0)$, $(0, 2)$ и $(2, \infty)$.

• При $x > 2$, $x>0$ и $x-2>0$, дробь положительна.
• При $0 < x < 2$, $x>0$ и $x-2<0$, дробь отрицательна.
• При $x < 0$, $x<0$ и $x-2<0$, дробь положительна.

2. Введение новой переменной

Сделаем замену, чтобы упростить уравнение.Пусть $y = \sqrt{\frac{x}{x-2}}$. Поскольку значение арифметического корня не может быть отрицательным и $x \neq 0$, то $y > 0$.Тогда второе слагаемое можно выразить через $y$:$\sqrt{\frac{x-2}{x}} = \sqrt{\frac{1}{\frac{x}{x-2}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{x}{x-2}}} = \frac{1}{y}$.Подставим $y$ в уравнение:$y + 6 \cdot \frac{1}{y} = 5$

3. Решение уравнения относительно новой переменной

Умножим все члены уравнения на $y$ (так как $y \neq 0$):$y^2 + 6 = 5y$Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:$y^2 - 5y + 6 = 0$Найдем корни этого уравнения, например, по теореме Виета:Сумма корней: $y_1 + y_2 = 5$Произведение корней: $y_1 \cdot y_2 = 6$Корнями являются $y_1 = 2$ и $y_2 = 3$. Оба корня положительны, поэтому они являются допустимыми значениями для $y$.

4. Обратная замена и нахождение x

Теперь вернемся к исходной переменной $x$ для каждого найденного значения $y$.

Случай 1: $y = 2$$\sqrt{\frac{x}{x-2}} = 2$Возведем обе части уравнения в квадрат:$\frac{x}{x-2} = 4$$x = 4(x-2)$$x = 4x - 8$$3x = 8$$x_1 = \frac{8}{3}$

Случай 2: $y = 3$$\sqrt{\frac{x}{x-2}} = 3$Возведем обе части уравнения в квадрат:$\frac{x}{x-2} = 9$$x = 9(x-2)$$x = 9x - 18$$8x = 18$$x_2 = \frac{18}{8} = \frac{9}{4}$

5. Проверка корней

Проверим, входят ли найденные корни в ОДЗ ($x \in (-\infty, 0) \cup (2, \infty)$).$x_1 = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3}$. Это значение больше 2, следовательно, оно входит в ОДЗ.$x_2 = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4}$. Это значение также больше 2, следовательно, оно входит в ОДЗ.Оба корня являются решениями уравнения.

Ответ: $\frac{9}{4}; \frac{8}{3}$.

6. Найдите наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству

$\sqrt{4-3x} < 2$:

A) нет такого целого числа;

B) 1;

C) -1;

D) 0.

Для того чтобы решить неравенство $\sqrt{4-3x} < 2$, необходимо сначала определить область допустимых значений (ОДЗ), а затем решить само неравенство.

1. Найдём ОДЗ. Выражение, находящееся под знаком квадратного корня, должно быть неотрицательным:

$4 - 3x \ge 0$

Перенесём 4 в правую часть:

$-3x \ge -4$

При делении обеих частей неравенства на отрицательное число (-3) знак неравенства меняется на противоположный:

$x \le \frac{-4}{-3}$

$x \le \frac{4}{3}$

2. Теперь решим исходное неравенство. Так как обе части неравенства $\sqrt{4-3x} < 2$ неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, сохранив при этом знак неравенства:

$(\sqrt{4-3x})^2 < 2^2$

$4 - 3x < 4$

Вычтем 4 из обеих частей:

$-3x < 0$

Разделим обе части на -3 и снова изменим знак неравенства на противоположный:

$x > 0$

3. Объединим полученные условия. Решение должно удовлетворять как ОДЗ, так и результату решения самого неравенства. Составим систему:

$\begin{cases} x \le \frac{4}{3} \\ x > 0 \end{cases}$

Решением этой системы является числовой промежуток $x \in (0; \frac{4}{3}]$.

4. В задаче требуется найти наибольшее целое число, которое удовлетворяет данному неравенству. Мы ищем наибольшее целое число из промежутка $(0; \frac{4}{3}]$.

Поскольку $\frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$, наш промежуток — это $(0; 1\frac{1}{3}]$.

Единственное целое число, которое попадает в этот промежуток, — это 1.

Ответ: 1.

7. Решите систему уравнений

$\begin{cases} \sqrt{x} + y = 4, \\ x^2 - y + 5x = 0 \end{cases}$

A) (2; 14), (8; -24);

B) (-2; 18), (8; -24);

C) (2; 14), (-8; 24);

D) (2; -18), (-8; 24).

Дана система уравнений:$\begin{cases} \sqrt{x + y} = 4, \\ x^2 - y + 5x = 0\end{cases}$

Из первого уравнения $\sqrt{x + y} = 4$ следует, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным ($x + y \ge 0$). Возведем обе части этого уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$(\sqrt{x + y})^2 = 4^2$

$x + y = 16$

Теперь мы можем выразить $y$ через $x$ из полученного уравнения: $y = 16 - x$.

Подставим это выражение для $y$ во второе уравнение исходной системы:

$x^2 - (16 - x) + 5x = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение относительно $x$:

$x^2 - 16 + x + 5x = 0$

$x^2 + 6x - 16 = 0$

Мы получили стандартное квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 36 + 64 = 100$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 - 10}{2} = \frac{-16}{2} = -8$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 + 10}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого найденного значения $x$, используя ранее выведенную формулу $y = 16 - x$.

Если $x_1 = -8$, то $y_1 = 16 - (-8) = 16 + 8 = 24$. Получаем первую пару решений: $(-8; 24)$.

Если $x_2 = 2$, то $y_2 = 16 - 2 = 14$. Получаем вторую пару решений: $(2; 14)$.

Проведем проверку, подставив найденные пары в исходную систему уравнений.

Для пары $(2; 14)$:

$\sqrt{2 + 14} = \sqrt{16} = 4$ (верно).

$2^2 - 14 + 5(2) = 4 - 14 + 10 = 0$ (верно).

Для пары $(-8; 24)$:

$\sqrt{-8 + 24} = \sqrt{16} = 4$ (верно).

$(-8)^2 - 24 + 5(-8) = 64 - 24 - 40 = 0$ (верно).

Обе пары являются решениями системы. Таким образом, решениями являются $(2; 14)$ и $(-8; 24)$. Сравнивая с вариантами ответа, мы видим, что это соответствует варианту C.

Ответ: C) $(2; 14), (-8; 24)$

8. Найдите наименьшее натуральное число, удовлетворяющее неравенству

$\sqrt{x-3} < 4$

A) 3;

B) 5;

C) 19;

D) 18.

Для решения задачи необходимо найти наименьшее натуральное число $x$, которое удовлетворяет неравенству $\sqrt{x-3} < 4$. Решим это неравенство по шагам.

1. Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Поскольку подкоренное выражение не может быть отрицательным, должно выполняться условие:

$x - 3 \ge 0$

Перенеся -3 в правую часть, получаем:

$x \ge 3$

2. Теперь решим основное неравенство $\sqrt{x-3} < 4$. Обе части неравенства являются неотрицательными, поэтому мы можем возвести их в квадрат, не меняя знака неравенства:

$(\sqrt{x-3})^2 < 4^2$

$x - 3 < 16$

Прибавим 3 к обеим частям неравенства, чтобы выразить $x$:

$x < 16 + 3$

$x < 19$

3. Теперь объединим оба условия: условие из ОДЗ ($x \ge 3$) и результат решения неравенства ($x < 19$). Получаем систему неравенств:

$\begin{cases} x \ge 3 \\ x < 19 \end{cases}$

Решением этой системы является интервал $3 \le x < 19$.

4. В задаче требуется найти наименьшее натуральное число, удовлетворяющее этому условию. Натуральные числа — это целые положительные числа ($1, 2, 3, \dots$). В наш интервал $[3, 19)$ входят натуральные числа $3, 4, 5, \dots, 18$. Самым меньшим из них является число 3.

Проверим, подставив $x = 3$ в исходное неравенство:

$\sqrt{3 - 3} = \sqrt{0} = 0$

$0 < 4$

Неравенство выполняется. Таким образом, 3 — это наименьшее натуральное число, являющееся решением.

Ответ: 3.

9. Решите уравнение $(x - 5)\sqrt{9 - x^2} = 0:$

A) $\pm 3; 5;$

B) $\pm 3;$

C) $3; 5;$

D) $\pm 3; -5.$

Данное уравнение $(x - 5)\sqrt{9 - x^2} = 0$ представляет собой произведение двух множителей, равное нулю.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а второй при этом существует (определен).

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $9 - x^2 \ge 0$ $x^2 \le 9$ Решением этого неравенства является отрезок $x \in [-3, 3]$. Все корни уравнения должны принадлежать этому отрезку.

Теперь рассмотрим два случая, при которых произведение равно нулю:

1) Первый множитель равен нулю: $x - 5 = 0$ $x = 5$ Проверяем, принадлежит ли этот корень ОДЗ. Так как $5$ не входит в отрезок $[-3, 3]$, то $x = 5$ является посторонним корнем и не является решением уравнения.

2) Второй множитель равен нулю: $\sqrt{9 - x^2} = 0$ Возведем обе части уравнения в квадрат: $9 - x^2 = 0$ $x^2 = 9$ Отсюда получаем два корня: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$. Оба этих значения, $3$ и $-3$, принадлежат ОДЗ $x \in [-3, 3]$, следовательно, они являются решениями уравнения.

Таким образом, единственными решениями уравнения являются $x=3$ и $x=-3$.

Ответ: $\pm3$.