Номер 7, страница 128 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

7. Решите систему уравнений

$\begin{cases} \sqrt{x} + y = 4, \\ x^2 - y + 5x = 0 \end{cases}$

A) (2; 14), (8; -24);

B) (-2; 18), (8; -24);

C) (2; 14), (-8; 24);

D) (2; -18), (-8; 24).

Дана система уравнений:$\begin{cases} \sqrt{x + y} = 4, \\ x^2 - y + 5x = 0\end{cases}$

Из первого уравнения $\sqrt{x + y} = 4$ следует, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным ($x + y \ge 0$). Возведем обе части этого уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$(\sqrt{x + y})^2 = 4^2$

$x + y = 16$

Теперь мы можем выразить $y$ через $x$ из полученного уравнения: $y = 16 - x$.

Подставим это выражение для $y$ во второе уравнение исходной системы:

$x^2 - (16 - x) + 5x = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение относительно $x$:

$x^2 - 16 + x + 5x = 0$

$x^2 + 6x - 16 = 0$

Мы получили стандартное квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 36 + 64 = 100$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 - 10}{2} = \frac{-16}{2} = -8$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 + 10}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого найденного значения $x$, используя ранее выведенную формулу $y = 16 - x$.

Если $x_1 = -8$, то $y_1 = 16 - (-8) = 16 + 8 = 24$. Получаем первую пару решений: $(-8; 24)$.

Если $x_2 = 2$, то $y_2 = 16 - 2 = 14$. Получаем вторую пару решений: $(2; 14)$.

Проведем проверку, подставив найденные пары в исходную систему уравнений.

Для пары $(2; 14)$:

$\sqrt{2 + 14} = \sqrt{16} = 4$ (верно).

$2^2 - 14 + 5(2) = 4 - 14 + 10 = 0$ (верно).

Для пары $(-8; 24)$:

$\sqrt{-8 + 24} = \sqrt{16} = 4$ (верно).

$(-8)^2 - 24 + 5(-8) = 64 - 24 - 40 = 0$ (верно).

Обе пары являются решениями системы. Таким образом, решениями являются $(2; 14)$ и $(-8; 24)$. Сравнивая с вариантами ответа, мы видим, что это соответствует варианту C.

Ответ: C) $(2; 14), (-8; 24)$