Номер 2, страница 128 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

2. Найдите область допустимых значений переменных в выражении

$\sqrt{x^2 - 6x} + \frac{1}{x-5}$:

A) $[0; 6];$

B) $[0; 5) \cup (5; 6];$

C) $(-\infty; 0] \cup [6; +\infty);$

D) $(-\infty; 0) \cup (6; +\infty).$

Область допустимых значений (ОДЗ) для данного выражения определяется совокупностью условий, при которых каждый его компонент имеет смысл.

1. Выражение под знаком квадратного корня, $x^2 - 6x$, должно быть неотрицательным, так как извлекать квадратный корень в действительных числах можно только из неотрицательных чисел. Это приводит к неравенству:

$x^2 - 6x \ge 0$

Для решения этого неравенства найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 6x = 0$.

$x(x - 6) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 6$.

Графиком функции $y = x^2 - 6x$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции будут неотрицательными (больше или равны нулю) на участках, где график находится на или выше оси абсцисс. Это соответствует промежуткам слева от меньшего корня и справа от большего корня, включая сами корни.

Следовательно, решение первого неравенства: $x \in (-\infty; 0] \cup [6; +\infty)$.

2. Знаменатель дроби $\frac{1}{x-5}$ не должен равняться нулю, так как деление на ноль не определено. Это приводит к условию:

$x - 5 \neq 0$

$x \neq 5$

3. Область допустимых значений для всего выражения является пересечением множеств, найденных в пунктах 1 и 2. Мы должны найти все значения $x$, которые удовлетворяют обоим условиям одновременно:

$x \in (-\infty; 0] \cup [6; +\infty)$ и $x \neq 5$.

Проверим, входит ли точка $x=5$ в найденное на первом шаге множество. Интервал $(0; 6)$ не входит в это множество, а точка $x=5$ как раз находится внутри этого интервала. Следовательно, условие $x \neq 5$ уже выполняется для множества $(-\infty; 0] \cup [6; +\infty)$ и не накладывает на него дополнительных ограничений.

Таким образом, итоговая область допустимых значений переменных в выражении есть $x \in (-\infty; 0] \cup [6; +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; 0] \cup [6; +\infty)$.