Номер 15.16, страница 128 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

15.16. Постройте график функции и найдите ее множество значений:

1) $f(x) = 2x + x^2$,

2) $f(x) = 1 - \sqrt{4+x}$.

1) Функция $f(x) = 2x + x^2$ является квадратичной. Для удобства анализа перепишем ее в стандартном виде $f(x) = x^2 + 2x$. Графиком этой функции является парабола. Поскольку коэффициент при старшем члене $x^2$ равен $1$ (что больше нуля), ветви параболы направлены вверх.

Для построения графика найдем координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$. Используем формулу для нахождения абсциссы вершины $x_в = -\frac{b}{2a}$, где $a=1$ и $b=2$.

$x_в = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$.

Теперь найдем ординату вершины, подставив $x_в$ в функцию:

$y_в = f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) = 1 - 2 = -1$.

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(-1; -1)$.

Найдем точки пересечения графика с осями координат.

Для нахождения точки пересечения с осью Oy, подставим $x=0$:

$f(0) = 0^2 + 2(0) = 0$. График проходит через начало координат $(0; 0)$.

Для нахождения точек пересечения с осью Ox, решим уравнение $f(x)=0$:

$x^2 + 2x = 0$

$x(x+2) = 0$

Корни уравнения: $x_1=0$ и $x_2=-2$. Точки пересечения с осью Ox: $(0; 0)$ и $(-2; 0)$.

Итак, мы имеем параболу с вершиной в точке $(-1; -1)$, ветвями вверх, проходящую через точки $(-2; 0)$ и $(0; 0)$.

Множество значений функции — это все возможные значения, которые может принимать $y$. Поскольку вершина параболы $(-1; -1)$ является точкой минимума функции, а ветви направлены вверх, функция принимает все значения от $-1$ включительно и до бесконечности.

Ответ: Множество значений: $E(f) = [-1; +\infty)$.

2) Рассмотрим функцию $f(x) = 1 - \sqrt{4+x}$.

Сначала найдем область определения функции. Выражение, стоящее под знаком квадратного корня, должно быть неотрицательным:

$4+x \ge 0$

$x \ge -4$

Следовательно, область определения функции: $D(f) = [-4; +\infty)$.

График данной функции можно получить из графика базовой функции $y=\sqrt{x}$ с помощью последовательных преобразований:

1. Сдвиг графика $y=\sqrt{x}$ на 4 единицы влево по оси Ox, чтобы получить $y=\sqrt{x+4}$.

2. Симметричное отражение графика $y=\sqrt{x+4}$ относительно оси Ox, чтобы получить $y=-\sqrt{x+4}$.

3. Сдвиг графика $y=-\sqrt{x+4}$ на 1 единицу вверх по оси Oy, чтобы получить $y=1-\sqrt{x+4}$.

График представляет собой ветвь параболы, выходящую из начальной точки и идущую вправо и вниз.

Найдем ключевые точки для построения графика:

Начальная точка графика соответствует наименьшему значению $x$ из области определения, т.е. $x=-4$:

$f(-4) = 1 - \sqrt{4+(-4)} = 1 - 0 = 1$. Начальная точка: $(-4; 1)$.

Точка пересечения с осью Oy ($x=0$):

$f(0) = 1 - \sqrt{4+0} = 1 - 2 = -1$. Точка $(0; -1)$.

Точка пересечения с осью Ox ($f(x)=0$):

$1 - \sqrt{4+x} = 0$

$\sqrt{4+x} = 1$

$4+x = 1^2$

$x = -3$. Точка $(-3; 0)$.

Теперь найдем множество значений функции. По определению арифметического квадратного корня, $\sqrt{4+x} \ge 0$. Умножим неравенство на $-1$, изменив знак на противоположный: $-\sqrt{4+x} \le 0$. Теперь прибавим $1$ к обеим частям: $1 - \sqrt{4+x} \le 1$. Это означает, что $f(x) \le 1$. Максимальное значение, равное 1, функция достигает в своей начальной точке при $x=-4$. При увеличении $x$ значение функции неограниченно убывает.

Ответ: Множество значений: $E(f) = (-\infty; 1]$.