Номер 15.10, страница 127 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

15.10. Докажите неравенство $\sqrt[3]{\frac{x^3 + y^3}{2}} > \frac{x+y}{2}$ $(x > 0, y > 0)$.

Для доказательства неравенства $\sqrt[3]{\frac{x^3 + y^3}{2}} > \frac{x+y}{2}$ при $x > 0, y > 0$, произведем равносильные преобразования.

Поскольку обе части неравенства положительны (так как $x > 0$ и $y > 0$), мы можем возвести обе части в третью степень. Знак неравенства при этом не изменится.

$\left(\sqrt[3]{\frac{x^3 + y^3}{2}}\right)^3 > \left(\frac{x+y}{2}\right)^3$

$\frac{x^3 + y^3}{2} > \frac{(x+y)^3}{8}$

Умножим обе части неравенства на 8, чтобы избавиться от знаменателей:

$4(x^3 + y^3) > (x+y)^3$

Раскроем скобки в правой части, используя формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$:

$4x^3 + 4y^3 > x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные:

$(4x^3 - x^3) + (4y^3 - y^3) - 3x^2y - 3xy^2 > 0$

$3x^3 - 3x^2y - 3xy^2 + 3y^3 > 0$

Разделим обе части на 3:

$x^3 - x^2y - xy^2 + y^3 > 0$

Теперь сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки:

$(x^3 - x^2y) - (xy^2 - y^3) > 0$

$x^2(x-y) - y^2(x-y) > 0$

$(x^2 - y^2)(x-y) > 0$

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(x - y)(x + y)(x - y) > 0$

$(x+y)(x-y)^2 > 0$

Проанализируем полученное неравенство. По условию $x > 0$ и $y > 0$, следовательно, их сумма $x+y$ является строго положительным числом: $x+y > 0$.

Выражение $(x-y)^2$ — это квадрат действительного числа, поэтому оно всегда неотрицательно, то есть $(x-y)^2 \ge 0$.

Произведение положительного числа $(x+y)$ и неотрицательного числа $(x-y)^2$ будет строго больше нуля тогда и только тогда, когда $(x-y)^2 > 0$. Это условие выполняется, если $x-y \neq 0$, то есть $x \neq y$.

Если же $x=y$, то $(x-y)^2 = 0$, и левая часть неравенства $(x+y)(x-y)^2$ обращается в ноль, что приводит к неверному утверждению $0 > 0$. В этом случае исходное неравенство обращается в верное равенство, так как все преобразования были равносильными.

Таким образом, исходное строгое неравенство справедливо для всех положительных $x$ и $y$ при условии, что $x \neq y$.

Ответ: Неравенство доказано. Оно является строгим при $x \neq y$ и обращается в равенство при $x = y$.