Номер 15.4, страница 126 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

Решите неравенства (15.4—15.6):

15.4. 1) $\sqrt{x^2+x-2} < 2;$

2) $\sqrt{x^2+x+1} < 1;$

3) $\sqrt{x^2+3x} > 4;$

4) $\sqrt{x^2-5x} > 3.$

1) Исходное неравенство: $\sqrt{x^2 + x - 2} < 2$.

Данное неравенство вида $\sqrt{f(x)} < c$, где $c > 0$, равносильно системе неравенств: $\begin{cases} f(x) \ge 0 \\ f(x) < c^2 \end{cases}$.

В нашем случае система выглядит так:

$\begin{cases} x^2 + x - 2 \ge 0 \\ x^2 + x - 2 < 2^2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x^2 + x - 2 \ge 0 \\ x^2 + x - 6 < 0 \end{cases}$.

Решим первое неравенство: $x^2 + x - 2 \ge 0$.

Корни уравнения $x^2 + x - 2 = 0$ это $x_1 = -2$ и $x_2 = 1$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение неравенства: $x \in (-\infty, -2] \cup [1, +\infty)$.

Решим второе неравенство: $x^2 + x - 6 < 0$.

Корни уравнения $x^2 + x - 6 = 0$ это $x_1 = -3$ и $x_2 = 2$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение неравенства: $x \in (-3, 2)$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств: $(-\infty, -2] \cup [1, +\infty)$ и $(-3, 2)$.

Пересечение дает нам два интервала: $(-3, -2]$ и $[1, 2)$. Объединяя их, получаем итоговое решение.

Ответ: $x \in (-3, -2] \cup [1, 2)$.

2) Исходное неравенство: $\sqrt{x^2 + x + 1} < 1$.

Это неравенство также вида $\sqrt{f(x)} < c$, где $c > 0$, и оно равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 + x + 1 \ge 0 \\ x^2 + x + 1 < 1^2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x^2 + x + 1 \ge 0 \\ x^2 + x < 0 \end{cases}$.

Решим первое неравенство: $x^2 + x + 1 \ge 0$.

Дискриминант квадратного трехчлена $x^2 + x + 1$ равен $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3$. Так как $D < 0$ и старший коэффициент $a=1 > 0$, выражение $x^2 + x + 1$ положительно при любых значениях $x$. Решение: $x \in (-\infty, +\infty)$.

Решим второе неравенство: $x^2 + x < 0$, или $x(x+1) < 0$.

Корни уравнения $x(x+1) = 0$ это $x_1 = -1$ и $x_2 = 0$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение неравенства: $x \in (-1, 0)$.

Пересечение решений $(-\infty, +\infty)$ и $(-1, 0)$ дает итоговый интервал.

Ответ: $x \in (-1, 0)$.

3) Исходное неравенство: $\sqrt{x^2 + 3x} > 4$.

Так как обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат. Неравенство вида $\sqrt{f(x)} > c$, где $c > 0$, равносильно неравенству $f(x) > c^2$.

$x^2 + 3x > 4^2$

$x^2 + 3x - 16 > 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 3x - 16 = 0$ по формуле:

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16)}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 64}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{73}}{2}$.

Корни: $x_1 = \frac{-3 - \sqrt{73}}{2}$ и $x_2 = \frac{-3 + \sqrt{73}}{2}$.

Ветви параболы $y = x^2 + 3x - 16$ направлены вверх, поэтому неравенство $x^2 + 3x - 16 > 0$ выполняется при значениях $x$ вне интервала между корнями.

Ответ: $x \in \left(-\infty, \frac{-3 - \sqrt{73}}{2}\right) \cup \left(\frac{-3 + \sqrt{73}}{2}, +\infty\right)$.

4) Исходное неравенство: $\sqrt{x^2 - 5x} > 3$.

Это неравенство вида $\sqrt{f(x)} > c$, где $c > 0$. Оно равносильно неравенству $f(x) > c^2$, так как обе части можно возвести в квадрат.

$x^2 - 5x > 3^2$

$x^2 - 5x - 9 > 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 5x - 9 = 0$ с помощью формулы корней:

$x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9)}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 36}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{61}}{2}$.

Корни: $x_1 = \frac{5 - \sqrt{61}}{2}$ и $x_2 = \frac{5 + \sqrt{61}}{2}$.

Ветви параболы $y = x^2 - 5x - 9$ направлены вверх, значит, неравенство $x^2 - 5x - 9 > 0$ справедливо для значений $x$ за пределами интервала между корнями.

Ответ: $x \in \left(-\infty, \frac{5 - \sqrt{61}}{2}\right) \cup \left(\frac{5 + \sqrt{61}}{2}, +\infty\right)$.