Страница 126 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

1. Почему считается важным предположить неотрицательными обе части иррационального неравенства?

2. В чем состоит принципиальное смысловое различие между двумя утверждениями, данными в начале параграфа и используемыми при решении иррациональных неравенств?

3. На каких свойствах функции основаны вышеприведенные 9 соотношений?

1. Почему считается важным предположить неотрицательными обе части иррационального неравенства?

Основным методом решения иррациональных неравенств является возведение обеих частей в квадрат с целью избавления от знака радикала. Эта операция является равносильным преобразованием, то есть сохраняет знак неравенства, только в том случае, когда обе части неравенства неотрицательны. Иными словами, для любых неотрицательных чисел $a$ и $b$ из неравенства $a > b$ следует неравенство $a^2 > b^2$, и наоборот.

Если же хотя бы одна из частей неравенства отрицательна, то при возведении в квадрат можно получить неверное неравенство и, как следствие, неверное решение. Например, неравенство $3 > -4$ является верным, однако после возведения обеих частей в квадрат мы получим $9 > 16$, что ложно. Таким образом, чтобы избежать появления посторонних решений или потери верных, необходимо строго контролировать знаки обеих частей неравенства перед возведением в квадрат. Если мы не можем гарантировать их неотрицательность, применять метод возведения в квадрат нельзя без рассмотрения дополнительных случаев.

Ответ: Предположение о неотрицательности обеих частей иррационального неравенства является ключевым условием для корректного применения метода возведения в квадрат, так как только для неотрицательных выражений возведение в квадрат является равносильным преобразованием, сохраняющим знак неравенства.

2. В чем состоит принципиальное смысловое различие между двумя утверждениями, данными в начале параграфа и используемыми при решении иррациональных неравенств?

Хотя сам параграф не предоставлен, можно с уверенностью предположить, что речь идет о стандартных схемах решения двух основных типов иррациональных неравенств: $\sqrt{f(x)} < g(x)$ и $\sqrt{f(x)} > g(x)$. Принципиальное различие между подходами к их решению заключается в анализе знака выражения $g(x)$, стоящего в части неравенства без радикала.

1. Для неравенства вида $\sqrt{f(x)} < g(x)$: левая часть по определению арифметического корня неотрицательна ($\sqrt{f(x)} \ge 0$). Чтобы неравенство имело решение, правая часть должна быть строго больше левой, а значит, обязательно положительной ($g(x) > 0$). Если $g(x) \le 0$, решений нет. Таким образом, решение сводится к одной системе условий, которые должны выполняться одновременно:

$\sqrt{f(x)} < g(x) \iff \begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) > 0 \\ f(x) < (g(x))^2 \end{cases}$

2. Для неравенства вида $\sqrt{f(x)} > g(x)$: здесь ситуация сложнее и требует рассмотрения двух независимых случаев, поскольку правая часть $g(x)$ может быть как отрицательной, так и неотрицательной. Решение является объединением (совокупностью) решений двух систем:

а) Случай 1: Если $g(x) < 0$. Неравенство выполняется для всех $x$, при которых левая часть определена (то есть $f(x) \ge 0$), так как любое неотрицательное число всегда больше любого отрицательного.

б) Случай 2: Если $g(x) \ge 0$. Обе части неравенства неотрицательны, и можно корректно возвести их в квадрат.

Это приводит к следующей равносильной совокупности:

$\sqrt{f(x)} > g(x) \iff \left[ \begin{array}{l} \begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) < 0 \end{cases} \\ \begin{cases} g(x) \ge 0 \\ f(x) > (g(x))^2 \end{cases} \end{array} \right.$

Таким образом, смысловое различие состоит в том, что решение неравенства типа "меньше" требует выполнения единого набора строгих условий (решается через систему), в то время как решение неравенства типа "больше" требует анализа двух отдельных случаев, решения которых затем объединяются (решается через совокупность).

Ответ: Принципиальное различие заключается в том, что решение неравенства $\sqrt{f(x)} < g(x)$ сводится к одной системе условий (логическое "И"), тогда как решение неравенства $\sqrt{f(x)} > g(x)$ является объединением решений двух отдельных случаев (логическое "ИЛИ"), которые зависят от знака выражения $g(x)$.

3. На каких свойствах функции основаны вышеприведенные 9 соотношений?

Хотя конкретные 9 соотношений не приведены, все стандартные методы решения иррациональных неравенств (которые, вероятно, и составляют эти соотношения) основаны на свойстве монотонности степенной функции.

Ключевым свойством, которое используется при решении неравенств с квадратными корнями, является то, что функция $y = x^2$ строго возрастает на множестве неотрицательных чисел, то есть на промежутке $[0, +\infty)$.

Это свойство означает, что для любых неотрицательных чисел $a$ и $b$ справедливо равносильное утверждение (эквивалентность):

$a < b \iff a^2 < b^2$

Именно это свойство позволяет нам избавляться от знака корня путем возведения в квадрат обеих частей неравенства. Однако оно работает только при обязательном условии, что обе части неотрицательны. Если это условие не выполняется, преобразование не является равносильным, поскольку на всей числовой прямой функция $y = x^2$ не монотонна (она убывает на $(-\infty, 0]$ и возрастает на $[0, +\infty)$).

Аналогично, решение неравенств вида $\sqrt[2k]{f(x)} < \sqrt[2k]{g(x)}$ основано на свойстве строгой монотонности функции $y = \sqrt[2k]{x}$ на всей ее области определения $[0, +\infty)$.

Ответ: Равносильные преобразования, используемые при решении иррациональных неравенств, основаны на свойстве строгой монотонности (возрастания) степенной функции $y=x^n$ (при четном натуральном $n$) на промежутке $[0, +\infty)$.

Решите неравенства (15.1–15.3):

15.1. 1) $\sqrt{x} > 2$; 2) $\sqrt{x} < 5$; 3) $\sqrt[3]{x} > 3$; 4) $\sqrt[3]{x} < 2$.

1) Дано неравенство $\sqrt{x} > 2$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для квадратного корня определяется условием, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.

Поскольку обе части неравенства ($ \sqrt{x} $ и $2$) неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, сохранив при этом знак неравенства:

$(\sqrt{x})^2 > 2^2$

$x > 4$

Теперь найдём пересечение полученного решения с ОДЗ. Условия $x \ge 0$ и $x > 4$ одновременно выполняются при $x > 4$.

Ответ: $x \in (4; +\infty)$.

2) Дано неравенство $\sqrt{x} < 5$.

ОДЗ для данного неравенства: $x \ge 0$.

Обе части неравенства неотрицательны, поэтому можно возвести их в квадрат:

$(\sqrt{x})^2 < 5^2$

$x < 25$

Совмещая полученное условие с ОДЗ ($x \ge 0$), получаем решение: $0 \le x < 25$.

Ответ: $x \in [0; 25)$.

3) Дано неравенство $\sqrt[3]{x} > 3$.

Кубический корень определён для любых действительных чисел, поэтому ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$.

Функция $y = \sqrt[3]{x}$ является монотонно возрастающей на всей числовой прямой. Следовательно, можно возвести обе части неравенства в третью степень, сохранив знак неравенства:

$(\sqrt[3]{x})^3 > 3^3$

$x > 27$

Ответ: $x \in (27; +\infty)$.

4) Дано неравенство $\sqrt[3]{x} < 2$.

ОДЗ для кубического корня — все действительные числа: $x \in \mathbb{R}$.

Так как функция $y = \sqrt[3]{x}$ является возрастающей, возводим обе части неравенства в куб, не меняя знака:

$(\sqrt[3]{x})^3 < 2^3$

$x < 8$

Ответ: $x \in (-\infty; 8)$.

15.2.1) $\sqrt{x+1} > 2$;

2) $\sqrt{1-x} < 4$;

3) $\sqrt{3x+1} > 1$;

4) $\sqrt{2x-1} < 3$.

1)Решим неравенство $\sqrt{x+1} > 2$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:$x + 1 \ge 0$, откуда получаем $x \ge -1$.

Поскольку обе части неравенства ($\sqrt{x+1}$ и $2$) являются неотрицательными, мы можем возвести их в квадрат, не меняя знака неравенства:$(\sqrt{x+1})^2 > 2^2$

$x + 1 > 4$

$x > 3$.

Теперь необходимо учесть ОДЗ. Решение должно удовлетворять обоим условиям: $x > 3$ и $x \ge -1$. Пересечением этих двух множеств является промежуток $x > 3$.

Ответ: $x \in (3; +\infty)$.

2)Решим неравенство $\sqrt{1-x} < 4$.

Найдем ОДЗ: подкоренное выражение должно быть неотрицательным.$1 - x \ge 0$, что равносильно $x \le 1$.

Левая часть неравенства, $\sqrt{1-x}$, по определению неотрицательна. Правая часть, $4$, положительна. Таким образом, неравенство имеет смысл и мы можем возвести обе его части в квадрат:$(\sqrt{1-x})^2 < 4^2$

$1 - x < 16$

$-x < 15$.

Умножим обе части на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный:$x > -15$.

Совместим полученное решение с ОДЗ: $x \le 1$ и $x > -15$. Это можно записать в виде двойного неравенства: $-15 < x \le 1$.

Ответ: $x \in (-15; 1]$.

3)Решим неравенство $\sqrt{3x+1} > 1$.

Найдем ОДЗ: $3x + 1 \ge 0$.$3x \ge -1$

$x \ge -\frac{1}{3}$.

Обе части исходного неравенства положительны, поэтому можно возвести их в квадрат:$(\sqrt{3x+1})^2 > 1^2$

$3x + 1 > 1$

$3x > 0$

$x > 0$.

Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ: $x > 0$ и $x \ge -\frac{1}{3}$. Общим решением является $x > 0$.

Ответ: $x \in (0; +\infty)$.

4)Решим неравенство $\sqrt{2x-1} < 3$.

Найдем ОДЗ: $2x - 1 \ge 0$.$2x \ge 1$

$x \ge \frac{1}{2}$.

Так как левая часть неравенства ($\sqrt{2x-1}$) неотрицательна, а правая ($3$) положительна, мы можем возвести обе части в квадрат:$(\sqrt{2x-1})^2 < 3^2$

$2x - 1 < 9$

$2x < 10$

$x < 5$.

Совместим это решение с ОДЗ. Нам нужны значения $x$, которые удовлетворяют условиям $x < 5$ и $x \ge \frac{1}{2}$. Это соответствует интервалу $\frac{1}{2} \le x < 5$.

Ответ: $x \in [\frac{1}{2}; 5)$.

15.3. 1) $\sqrt{3x - 8} < -2;$

2) $\sqrt[3]{x + 2} < -5;$

3) $\sqrt{2x + 1} > 8;$

4) $(x - 12)\sqrt{x - 3} < 0.$

1) $\sqrt{3x-8} < -2$

По определению, арифметический квадратный корень $\sqrt{a}$ является неотрицательным числом, то есть $\sqrt{3x-8} \ge 0$ для всех допустимых значений $x$. Неравенство требует, чтобы неотрицательное число было меньше отрицательного числа $-2$, что невозможно. Следовательно, данное неравенство не имеет решений.

Ответ: нет решений.

2) $\sqrt[3]{x+2} < -5$

Область определения кубического корня — все действительные числа. Чтобы решить неравенство, возведем обе его части в третью степень. Так как функция $y=t^3$ является возрастающей на всей числовой оси, знак неравенства не изменится. $(\sqrt[3]{x+2})^3 < (-5)^3$ $x+2 < -125$ $x < -125 - 2$ $x < -127$

Ответ: $x \in (-\infty; -127)$.

3) $\sqrt{2x+1} > 8$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $2x+1 \ge 0$ $2x \ge -1$ $x \ge -0.5$ Обе части исходного неравенства неотрицательны, поэтому можно возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства: $(\sqrt{2x+1})^2 > 8^2$ $2x+1 > 64$ $2x > 63$ $x > 31.5$ Совмещая полученное решение с ОДЗ ($x \ge -0.5$), получаем итоговый результат. Так как $31.5 > -0.5$, решение $x > 31.5$ полностью удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x \in (31.5; +\infty)$.

4) $(x-12)\sqrt{x-3} \le 0$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ): $x-3 \ge 0 \implies x \ge 3$. В области допустимых значений множитель $\sqrt{x-3}$ всегда неотрицателен ($\sqrt{x-3} \ge 0$). Рассмотрим два случая, когда произведение нестрого меньше или равно нулю:

Случай 1: Произведение равно нулю. $(x-12)\sqrt{x-3} = 0$ Это возможно, если $x-12=0$ или $\sqrt{x-3}=0$. $x=12$ или $x=3$. Оба значения принадлежат ОДЗ.

Случай 2: Произведение строго меньше нуля. $(x-12)\sqrt{x-3} < 0$ Так как $\sqrt{x-3} > 0$ при $x>3$, для выполнения неравенства необходимо, чтобы второй множитель был отрицательным: $x-12 < 0 \implies x < 12$. При этом должно выполняться условие $x>3$, чтобы корень был определен и не равен нулю. Таким образом, решением для этого случая является интервал $3 < x < 12$.

Объединяя решения из обоих случаев ($x=3$, $x=12$ и $3 < x < 12$), получаем отрезок $[3; 12]$.

Ответ: $x \in [3; 12]$.

Решите неравенства (15.4—15.6):

15.4. 1) $\sqrt{x^2+x-2} < 2;$

2) $\sqrt{x^2+x+1} < 1;$

3) $\sqrt{x^2+3x} > 4;$

4) $\sqrt{x^2-5x} > 3.$

1) Исходное неравенство: $\sqrt{x^2 + x - 2} < 2$.

Данное неравенство вида $\sqrt{f(x)} < c$, где $c > 0$, равносильно системе неравенств: $\begin{cases} f(x) \ge 0 \\ f(x) < c^2 \end{cases}$.

В нашем случае система выглядит так:

$\begin{cases} x^2 + x - 2 \ge 0 \\ x^2 + x - 2 < 2^2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x^2 + x - 2 \ge 0 \\ x^2 + x - 6 < 0 \end{cases}$.

Решим первое неравенство: $x^2 + x - 2 \ge 0$.

Корни уравнения $x^2 + x - 2 = 0$ это $x_1 = -2$ и $x_2 = 1$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение неравенства: $x \in (-\infty, -2] \cup [1, +\infty)$.

Решим второе неравенство: $x^2 + x - 6 < 0$.

Корни уравнения $x^2 + x - 6 = 0$ это $x_1 = -3$ и $x_2 = 2$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение неравенства: $x \in (-3, 2)$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств: $(-\infty, -2] \cup [1, +\infty)$ и $(-3, 2)$.

Пересечение дает нам два интервала: $(-3, -2]$ и $[1, 2)$. Объединяя их, получаем итоговое решение.

Ответ: $x \in (-3, -2] \cup [1, 2)$.

2) Исходное неравенство: $\sqrt{x^2 + x + 1} < 1$.

Это неравенство также вида $\sqrt{f(x)} < c$, где $c > 0$, и оно равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 + x + 1 \ge 0 \\ x^2 + x + 1 < 1^2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x^2 + x + 1 \ge 0 \\ x^2 + x < 0 \end{cases}$.

Решим первое неравенство: $x^2 + x + 1 \ge 0$.

Дискриминант квадратного трехчлена $x^2 + x + 1$ равен $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3$. Так как $D < 0$ и старший коэффициент $a=1 > 0$, выражение $x^2 + x + 1$ положительно при любых значениях $x$. Решение: $x \in (-\infty, +\infty)$.

Решим второе неравенство: $x^2 + x < 0$, или $x(x+1) < 0$.

Корни уравнения $x(x+1) = 0$ это $x_1 = -1$ и $x_2 = 0$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение неравенства: $x \in (-1, 0)$.

Пересечение решений $(-\infty, +\infty)$ и $(-1, 0)$ дает итоговый интервал.

Ответ: $x \in (-1, 0)$.

3) Исходное неравенство: $\sqrt{x^2 + 3x} > 4$.

Так как обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат. Неравенство вида $\sqrt{f(x)} > c$, где $c > 0$, равносильно неравенству $f(x) > c^2$.

$x^2 + 3x > 4^2$

$x^2 + 3x - 16 > 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 3x - 16 = 0$ по формуле:

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16)}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 64}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{73}}{2}$.

Корни: $x_1 = \frac{-3 - \sqrt{73}}{2}$ и $x_2 = \frac{-3 + \sqrt{73}}{2}$.

Ветви параболы $y = x^2 + 3x - 16$ направлены вверх, поэтому неравенство $x^2 + 3x - 16 > 0$ выполняется при значениях $x$ вне интервала между корнями.

Ответ: $x \in \left(-\infty, \frac{-3 - \sqrt{73}}{2}\right) \cup \left(\frac{-3 + \sqrt{73}}{2}, +\infty\right)$.

4) Исходное неравенство: $\sqrt{x^2 - 5x} > 3$.

Это неравенство вида $\sqrt{f(x)} > c$, где $c > 0$. Оно равносильно неравенству $f(x) > c^2$, так как обе части можно возвести в квадрат.

$x^2 - 5x > 3^2$

$x^2 - 5x - 9 > 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 5x - 9 = 0$ с помощью формулы корней:

$x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9)}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 36}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{61}}{2}$.

Корни: $x_1 = \frac{5 - \sqrt{61}}{2}$ и $x_2 = \frac{5 + \sqrt{61}}{2}$.

Ветви параболы $y = x^2 - 5x - 9$ направлены вверх, значит, неравенство $x^2 - 5x - 9 > 0$ справедливо для значений $x$ за пределами интервала между корнями.

Ответ: $x \in \left(-\infty, \frac{5 - \sqrt{61}}{2}\right) \cup \left(\frac{5 + \sqrt{61}}{2}, +\infty\right)$.

15.5. 1) $\sqrt{2x-1} > x-2;$

2) $\sqrt{2x+1} < x-1;$

3) $x+2 < \sqrt{x+14};$

4) $x-3 < \sqrt{x+27}.$

1) $\sqrt{2x - 1} > x - 2$

Данное иррациональное неравенство вида $\sqrt{f(x)} > g(x)$ равносильно совокупности двух систем неравенств:

Первая система рассматривает случай, когда правая часть отрицательна (тогда неравенство верно при всех допустимых значениях $x$, так как корень всегда неотрицателен):

$\begin{cases} x - 2 < 0 \\ 2x - 1 \ge 0 \end{cases}$

Вторая система рассматривает случай, когда правая часть неотрицательна (тогда обе части можно возвести в квадрат):

$\begin{cases} x - 2 \ge 0 \\ 2x - 1 > (x - 2)^2 \end{cases}$

Решим первую систему:

$\begin{cases} x < 2 \\ 2x \ge 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 2 \\ x \ge 0.5 \end{cases}$

Решением первой системы является промежуток $x \in [0.5, 2)$.

Решим вторую систему:

$\begin{cases} x \ge 2 \\ 2x - 1 > x^2 - 4x + 4 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 2 \\ 0 > x^2 - 6x + 5 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 2 \\ x^2 - 6x + 5 < 0 \end{cases}$

Чтобы решить квадратное неравенство $x^2 - 6x + 5 < 0$, найдем корни уравнения $x^2 - 6x + 5 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 5$. Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется между корнями: $x \in (1, 5)$.

Теперь найдем пересечение решений системы: $\begin{cases} x \ge 2 \\ x \in (1, 5) \end{cases}$.

Решением второй системы является промежуток $x \in [2, 5)$.

Общее решение исходного неравенства является объединением решений двух систем:

$[0.5, 2) \cup [2, 5) = [0.5, 5)$.

Ответ: $x \in [0.5, 5)$.

2) $\sqrt{2x + 1} < x - 1$

Данное иррациональное неравенство вида $\sqrt{f(x)} < g(x)$ равносильно системе неравенств. Чтобы неравенство имело решение, правая часть должна быть положительной, а подкоренное выражение — неотрицательным. После этого можно возвести обе части в квадрат.

$\begin{cases} 2x + 1 \ge 0 \text{ (область определения корня)} \\ x - 1 > 0 \text{ (правая часть должна быть положительной)} \\ 2x + 1 < (x - 1)^2 \text{ (возведение в квадрат)} \end{cases}$

Решим систему пошагово:

1) $2x + 1 \ge 0 \implies 2x \ge -1 \implies x \ge -0.5$.

2) $x - 1 > 0 \implies x > 1$.

3) $2x + 1 < x^2 - 2x + 1 \implies 0 < x^2 - 4x \implies x(x - 4) > 0$.

Корни уравнения $x(x-4)=0$ равны $x=0$ и $x=4$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение неравенства: $x \in (-\infty, 0) \cup (4, \infty)$.

Теперь найдем пересечение всех трех условий:$\begin{cases} x \ge -0.5 \\ x > 1 \\ x \in (-\infty, 0) \cup (4, \infty) \end{cases}$

Объединяя первые два условия, получаем $x > 1$. Пересекая это с третьим условием, получаем $x > 4$.

Следовательно, решение неравенства: $x \in (4, \infty)$.

Ответ: $x \in (4, \infty)$.

3) $x + 2 < \sqrt{x + 14}$

Это неравенство вида $g(x) < \sqrt{f(x)}$, что эквивалентно $\sqrt{f(x)} > g(x)$. Как и в первом задании, оно решается через совокупность двух систем:

1) $\begin{cases} x + 2 < 0 \text{ (правая часть больше отрицательного числа)} \\ x + 14 \ge 0 \text{ (область определения)} \end{cases}$

2) $\begin{cases} x + 2 \ge 0 \text{ (обе части неотрицательны)} \\ (x + 2)^2 < x + 14 \text{ (возведение в квадрат)} \end{cases}$

Решим первую систему:

$\begin{cases} x < -2 \\ x \ge -14 \end{cases}$

Решением первой системы является промежуток $x \in [-14, -2)$.

Решим вторую систему:

$\begin{cases} x \ge -2 \\ x^2 + 4x + 4 < x + 14 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -2 \\ x^2 + 3x - 10 < 0 \end{cases}$

Найдем корни уравнения $x^2 + 3x - 10 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = -5$, $x_2 = 2$. Неравенство $x^2 + 3x - 10 < 0$ выполняется при $x \in (-5, 2)$.

Найдем пересечение решений системы: $\begin{cases} x \ge -2 \\ x \in (-5, 2) \end{cases}$.

Решением второй системы является промежуток $x \in [-2, 2)$.

Общее решение — это объединение решений двух систем:

$[-14, -2) \cup [-2, 2) = [-14, 2)$.

Ответ: $x \in [-14, 2)$.

4) $x - 3 < \sqrt{x + 27}$

Это неравенство вида $g(x) < \sqrt{f(x)}$, решается аналогично предыдущему заданию через совокупность двух систем:

1) $\begin{cases} x - 3 < 0 \\ x + 27 \ge 0 \end{cases}$

2) $\begin{cases} x - 3 \ge 0 \\ (x - 3)^2 < x + 27 \end{cases}$

Решим первую систему:

$\begin{cases} x < 3 \\ x \ge -27 \end{cases}$

Решением первой системы является промежуток $x \in [-27, 3)$.

Решим вторую систему:

$\begin{cases} x \ge 3 \\ x^2 - 6x + 9 < x + 27 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 3 \\ x^2 - 7x - 18 < 0 \end{cases}$

Найдем корни уравнения $x^2 - 7x - 18 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = -2$, $x_2 = 9$. Неравенство $x^2 - 7x - 18 < 0$ выполняется при $x \in (-2, 9)$.

Найдем пересечение решений системы: $\begin{cases} x \ge 3 \\ x \in (-2, 9) \end{cases}$.

Решением второй системы является промежуток $x \in [3, 9)$.

Общее решение — это объединение решений двух систем:

$[-27, 3) \cup [3, 9) = [-27, 9)$.

Ответ: $x \in [-27, 9)$.