Страница 133 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

1. Какое отличие имеет комплексное число от действительного числа?

2. Что означает модуль комплексного числа?

3. Что такое комплексная плоскость?

4. Как на комплексной плоскости расположены два сопряженных комплексных числа $z$ и $\bar{z}$?

5. Верно ли равенство $z \cdot \bar{z} = |z|^2$?

1. Какое отличие имеет комплексное число от действительного числа?

Основное отличие комплексного числа от действительного заключается в его структуре. Комплексное число $z$ имеет вид $z = a + bi$, где $a$ и $b$ – это действительные числа, а $i$ – так называемая мнимая единица, которая определяется как $i^2 = -1$. Число $a$ называется действительной (или вещественной) частью комплексного числа, а число $b$ – мнимой частью. Действительные числа являются частным случаем комплексных чисел, у которых мнимая часть равна нулю ($b = 0$). Таким образом, любое действительное число $a$ можно записать в виде комплексного числа $a + 0i$. В то время как действительные числа можно расположить на одной числовой прямой, комплексные числа требуют для своего представления двумерную плоскость, так как они состоят из двух компонент: действительной и мнимой.

Ответ: Главное отличие комплексного числа — наличие мнимой части. Это расширяет понятие числа с одномерной прямой (действительные числа) до двумерной плоскости.

2. Что означает модуль комплексного числа?

Модуль комплексного числа $z = a + bi$, обозначаемый как $|z|$, представляет собой неотрицательное действительное число, которое вычисляется по формуле $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$. Геометрически модуль комплексного числа — это расстояние от начала координат (точки (0,0)) до точки $(a,b)$, соответствующей этому числу на комплексной плоскости. Иными словами, это длина вектора, который соединяет начало координат с точкой, изображающей комплексное число. Для действительного числа $a$ (которое можно представить как $a + 0i$) его модуль $|a| = \sqrt{a^2 + 0^2} = \sqrt{a^2}$ совпадает с его абсолютной величиной.

Ответ: Модуль комплексного числа — это расстояние от начала координат до точки, представляющей это число на комплексной плоскости.

3. Что такое комплексная плоскость?

Комплексная плоскость (также известная как плоскость Аргана или Гаусса) — это способ геометрического представления комплексных чисел. Она представляет собой двумерную декартову систему координат. Горизонтальная ось называется действительной осью (обозначается Re), и на ней откладывается действительная часть $a$ комплексного числа $z = a + bi$. Вертикальная ось называется мнимой осью (обозначается Im), и на ней откладывается мнимая часть $b$. Каждому комплексному числу $z = a + bi$ на этой плоскости соответствует единственная точка с координатами $(a,b)$ или вектор, идущий из начала координат в эту точку.

Ответ: Это двумерная координатная плоскость, на которой комплексные числа изображаются в виде точек, где абсцисса — действительная часть, а ордината — мнимая часть числа.

4. Как на комплексной плоскости расположены два сопряженных комплексных числа $z$ и $\bar{z}$?

Если дано комплексное число $z = a + bi$, то сопряженное ему число определяется как $\bar{z} = a - bi$. На комплексной плоскости число $z$ соответствует точке с координатами $(a,b)$, а сопряженное число $\bar{z}$ — точке с координатами $(a,-b)$. Эти две точки имеют одинаковую действительную часть (абсциссу) и противоположные по знаку мнимые части (ординаты). Таким образом, точки, соответствующие сопряженным комплексным числам $z$ и $\bar{z}$, расположены симметрично друг другу относительно действительной оси (оси Re).

Ответ: Два сопряженных комплексных числа расположены на комплексной плоскости симметрично относительно действительной оси.

5. Верно ли равенство $z \cdot \bar{z} = |z|^2$?

Да, это равенство верно. Давайте докажем это. Пусть комплексное число $z$ имеет вид $z = a + bi$. Тогда сопряженное ему число равно $\bar{z} = a - bi$.

Вычислим произведение $z \cdot \bar{z}$:

$z \cdot \bar{z} = (a + bi)(a - bi)$

Используя формулу разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$, получаем:

$z \cdot \bar{z} = a^2 - (bi)^2 = a^2 - b^2i^2$

Поскольку $i^2 = -1$, выражение упрощается:

$z \cdot \bar{z} = a^2 - b^2(-1) = a^2 + b^2$

Теперь вычислим квадрат модуля числа $z$. Модуль $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$.

$|z|^2 = (\sqrt{a^2 + b^2})^2 = a^2 + b^2$

Сравнивая результаты, мы видим, что левая и правая части равенства совпадают: $a^2 + b^2 = a^2 + b^2$.

Ответ: Да, равенство $z \cdot \bar{z} = |z|^2$ верно для любого комплексного числа $z$.

16.1. Заполните таблицу:

Таблица 26

Комплексное число | Действительная часть $(\text{Re } z)$ | Мнимая часть $(\text{Im } z)$

$z = -3 + 19i$ | |

$z = 12 - 7i$ | |

$z = -5 - 1,6i$ | |

$z = -23i$ | |

$z = 40$ | |

Для того чтобы заполнить таблицу, необходимо для каждого комплексного числа определить его действительную и мнимую части. Комплексное число в общем виде записывается в алгебраической форме как $z = a + bi$, где $a$ – это действительная часть ($\text{Re }z$), а $b$ – это мнимая часть ($\text{Im }z$).

$z = -3 + 19i$

В данном комплексном числе действительная часть $a$ равна коэффициенту без мнимой единицы $i$, а мнимая часть $b$ – это коэффициент при $i$.

Следовательно, $a = -3$ и $b = 19$.

Ответ: Действительная часть (Re z): -3, Мнимая часть (Im z): 19.

$z = 12 - 7i$

Представим число в стандартной форме $z = a + bi$. Получим $z = 12 + (-7)i$.

Действительная часть $a = 12$, а мнимая часть $b = -7$.

Ответ: Действительная часть (Re z): 12, Мнимая часть (Im z): -7.

$z = -5 - 1,6i$

Представим число в стандартной форме $z = a + bi$. Получим $z = -5 + (-1,6)i$.

Действительная часть $a = -5$, а мнимая часть $b = -1,6$.

Ответ: Действительная часть (Re z): -5, Мнимая часть (Im z): -1,6.

$z = -23i$

Это число является чисто мнимым, так как у него отсутствует действительная часть. В стандартной форме $z = a + bi$ это можно записать как $z = 0 - 23i$.

Действительная часть $a = 0$, а мнимая часть $b = -23$.

Ответ: Действительная часть (Re z): 0, Мнимая часть (Im z): -23.

$z = 40$

Это число является действительным, так как у него отсутствует мнимая часть. В стандартной форме $z = a + bi$ это можно записать как $z = 40 + 0i$.

Действительная часть $a = 40$, а мнимая часть $b = 0$.

Ответ: Действительная часть (Re z): 40, Мнимая часть (Im z): 0.

16.2. Заполните таблицу:

Таблица 27

Комплексное число Действительная часть (Re $z$) Мнимая часть (Im $z$)

$z = -1.2 + 0.9i$

$z = $ 13 14

$z = x - 10i$ 8

$z = $ 0 -2

$z = $ 13 0

Для заполнения таблицы необходимо использовать определение комплексного числа в алгебраической форме $z = a + bi$, где $a$ является действительной частью ($Re(z)$), а $b$ — мнимой частью ($Im(z)$).

z = -1,2 + 0,9i

Для комплексного числа $z = -1,2 + 0,9i$, действительная часть $Re(z)$ — это коэффициент при действительной единице, а мнимая часть $Im(z)$ — это коэффициент при мнимой единице $i$.Следовательно, действительная часть $Re(z) = -1,2$.Мнимая часть $Im(z) = 0,9$.

Ответ: $Re(z) = -1,2$; $Im(z) = 0,9$.

Строка 2

В этой строке даны действительная часть $Re(z) = 13$ и мнимая часть $Im(z) = 14$.Чтобы найти комплексное число $z$, подставим эти значения в общую форму $z = a + bi$:$z = 13 + 14i$.

Ответ: Комплексное число $z = 13 + 14i$.

z = x - 10i

Дано комплексное число $z = x - 10i$ и его действительная часть $Re(z) = 8$.Из вида числа $z = x - 10i$ следует, что его действительная часть $Re(z) = x$, а мнимая часть $Im(z) = -10$.Поскольку по условию $Re(z) = 8$, то мы получаем, что $x=8$.Следовательно, комплексное число равно $z = 8 - 10i$, а его мнимая часть равна $-10$.

Ответ: Комплексное число $z = 8 - 10i$; Мнимая часть $Im(z) = -10$.

Строка 4

В этой строке даны действительная часть $Re(z) = 0$ и мнимая часть $Im(z) = -2$.Подставляем эти значения в алгебраическую форму комплексного числа $z = a + bi$:$z = 0 + (-2)i = -2i$.Это чисто мнимое число.

Ответ: Комплексное число $z = -2i$.

Строка 5

В этой строке даны действительная часть $Re(z) = 13$ и мнимая часть $Im(z) = 0$.Подставляем эти значения в алгебраическую форму комплексного числа $z = a + bi$:$z = 13 + 0 \cdot i = 13$.Это действительное число, так как его мнимая часть равна нулю.

Ответ: Комплексное число $z = 13$.

16.3. Заполните таблицу:

Таблица 28

Комплексное числоДействительная часть (Re z)Мнимая часть (Im z)

Комплексное число: $z = -2\sqrt{3} + i(\sqrt{2} + 3)$ Действительная часть (Re z): (пусто) Мнимая часть (Im z): (пусто)

Комплексное число: $z = 5\sqrt{3} - 4\sqrt{2}i$ Действительная часть (Re z): (пусто) Мнимая часть (Im z): (пусто)

Комплексное число: $z = x - 21i$ Действительная часть (Re z): $1 - 3\sqrt{3}$ Мнимая часть (Im z): (пусто)

Комплексное число: (пусто) Действительная часть (Re z): $0$ Мнимая часть (Im z): $2 - 5\sqrt{3}$

Комплексное число: (пусто) Действительная часть (Re z): $\pi + 1$ Мнимая часть (Im z): $\sqrt{2} - 1$

Для решения данной задачи необходимо определить действительную ($\text{Re } z$) и мнимую ($\text{Im } z$) части для каждого комплексного числа $z = a + bi$, где $a = \text{Re } z$ и $b = \text{Im } z$, или восстановить комплексное число по его частям.

Комплексное число в алгебраической форме записывается как $z = a + bi$, где $a$ – действительная часть ($\text{Re } z$), а $b$ – мнимая часть ($\text{Im } z$). Заданное число $z = -2\sqrt{3} + i(\sqrt{2} + 3)$ можно представить в виде $z = (-2\sqrt{3}) + (\sqrt{2} + 3)i$. Сравнивая с общей формой, определяем, что действительная часть $a = -2\sqrt{3}$, а мнимая часть $b = \sqrt{2} + 3$.

Ответ: Действительная часть (Re $z$): $-2\sqrt{3}$; мнимая часть (Im $z$): $\sqrt{2} + 3$.

Данное комплексное число $z = 5\sqrt{3} - 4\sqrt{2}i$ представлено в алгебраической форме $z = a + bi$. Здесь действительная часть $a = 5\sqrt{3}$, а мнимая часть $b$ является коэффициентом при $i$. Представим число в стандартном виде: $z = 5\sqrt{3} + (-4\sqrt{2})i$. Отсюда видно, что $b = -4\sqrt{2}$.

Ответ: Действительная часть (Re $z$): $5\sqrt{3}$; мнимая часть (Im $z$): $-4\sqrt{2}$.

Из вида комплексного числа $z = x - 21i$ следует, что его действительная часть $\text{Re } z = x$, а мнимая часть $\text{Im } z = -21$. По условию, действительная часть равна $1 - 3\sqrt{3}$. Приравнивая, получаем $x = 1 - 3\sqrt{3}$. Таким образом, комплексное число имеет вид $z = (1 - 3\sqrt{3}) - 21i$. В таблице необходимо заполнить пустое поле для мнимой части.

Ответ: Мнимая часть (Im $z$): $-21$.

Для нахождения комплексного числа $z$ по его известным действительной и мнимой частям используется формула $z = \text{Re } z + i \cdot \text{Im } z$. Подставляя заданные значения $\text{Re } z = 0$ и $\text{Im } z = 2 - 5\sqrt{3}$, получаем: $z = 0 + i(2 - 5\sqrt{3}) = (2 - 5\sqrt{3})i$. Это чисто мнимое число.

Ответ: Комплексное число $z = (2 - 5\sqrt{3})i$.

Используем формулу $z = \text{Re } z + i \cdot \text{Im } z$ и подставляем известные значения действительной части $\text{Re } z = \pi + 1$ и мнимой части $\text{Im } z = \sqrt{2} - 1$. В результате получаем комплексное число: $z = (\pi + 1) + i(\sqrt{2} - 1)$.

Ответ: Комплексное число $z = (\pi + 1) + (\sqrt{2} - 1)i$.