Страница 140 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

17.1. Выполните действия:

1) $2(2 - 3i) - 3(3 - i);$

2) $4(1 - 3i) - (2 - 5i);$

3) $(4,1 - i) - (6,1 - 7i);$

4) $3(2 + 3i) - 4(2 + 5i);$

5) $2(1 - 3i) - 3(2 - 5i);$

6) $2(2,2 - i) - (6,4 - 7i).$

1) Чтобы выполнить действия в выражении $2(2 - 3i) - 3(3 - i)$, сначала раскроем скобки, умножив каждый член комплексного числа на действительное число перед скобкой.

$2(2 - 3i) = 2 \cdot 2 - 2 \cdot 3i = 4 - 6i$

$3(3 - i) = 3 \cdot 3 - 3 \cdot i = 9 - 3i$

Теперь вычтем второе выражение из первого:

$(4 - 6i) - (9 - 3i) = 4 - 6i - 9 + 3i$

Сгруппируем действительные и мнимые части:

$(4 - 9) + (-6 + 3)i = -5 - 3i$

Ответ: $-5 - 3i$

2) Рассмотрим выражение $4(1 - 3i) - (2 - 5i)$. Сначала умножим первое комплексное число на 4:

$4(1 - 3i) = 4 \cdot 1 - 4 \cdot 3i = 4 - 12i$

Теперь выполним вычитание, раскрыв скобки:

$(4 - 12i) - (2 - 5i) = 4 - 12i - 2 + 5i$

Сгруппируем действительные и мнимые части:

$(4 - 2) + (-12 + 5)i = 2 - 7i$

Ответ: $2 - 7i$

3) В выражении $(4,1 - i) - (6,1 - 7i)$ запятая является десятичным разделителем. Выполним вычитание комплексных чисел. Для этого вычитаем действительные части и мнимые части друг из друга:

$(4.1 - i) - (6.1 - 7i) = 4.1 - i - 6.1 + 7i$

Сгруппируем действительные и мнимые части:

$(4.1 - 6.1) + (-1 + 7)i = -2 + 6i$

Ответ: $-2 + 6i$

4) Для выражения $3(2 + 3i) - 4(2 + 5i)$ сначала раскроем скобки:

$3(2 + 3i) = 3 \cdot 2 + 3 \cdot 3i = 6 + 9i$

$4(2 + 5i) = 4 \cdot 2 + 4 \cdot 5i = 8 + 20i$

Теперь выполним вычитание:

$(6 + 9i) - (8 + 20i) = 6 + 9i - 8 - 20i$

Сгруппируем действительные и мнимые части:

$(6 - 8) + (9 - 20)i = -2 - 11i$

Ответ: $-2 - 11i$

5) В выражении $2(1 - 3i) - 3(2 - 5i)$ раскроем скобки, умножая на коэффициенты перед ними:

$2(1 - 3i) = 2 \cdot 1 - 2 \cdot 3i = 2 - 6i$

$3(2 - 5i) = 3 \cdot 2 - 3 \cdot 5i = 6 - 15i$

Выполним вычитание полученных выражений:

$(2 - 6i) - (6 - 15i) = 2 - 6i - 6 + 15i$

Сгруппируем действительные и мнимые части:

$(2 - 6) + (-6 + 15)i = -4 + 9i$

Ответ: $-4 + 9i$

6) В выражении $2(2,2 - i) - (6,4 - 7i)$ запятая является десятичным разделителем. Сначала раскроем скобки в первом члене:

$2(2.2 - i) = 2 \cdot 2.2 - 2 \cdot i = 4.4 - 2i$

Теперь выполним вычитание:

$(4.4 - 2i) - (6.4 - 7i) = 4.4 - 2i - 6.4 + 7i$

Сгруппируем действительные и мнимые части:

$(4.4 - 6.4) + (-2 + 7)i = -2 + 5i$

Ответ: $-2 + 5i$

17.2. Выполните действия над комплексными числами:

1) $(1 + 3i)(3 - i)$;

2) $(1 - 3i)(2 + 2i)$;

3) $(2 - i)^2$;

4) $(2 + 3i)^2 - 5i$.

1)

Для выполнения умножения двух комплексных чисел $(1 + 3i)$ и $(3 - i)$ воспользуемся правилом умножения многочленов (раскрытием скобок), учитывая, что $i^2 = -1$.

$(1 + 3i)(3 - i) = 1 \cdot 3 + 1 \cdot (-i) + 3i \cdot 3 + 3i \cdot (-i) = 3 - i + 9i - 3i^2$

Теперь сгруппируем действительные и мнимые части и заменим $i^2$ на $-1$:

$3 + (-i + 9i) - 3(-1) = 3 + 8i + 3 = 6 + 8i$

Ответ: $6 + 8i$.

2)

Умножим комплексные числа $(1 - 3i)$ и $(2 + 2i)$ аналогично предыдущему пункту:

$(1 - 3i)(2 + 2i) = 1 \cdot 2 + 1 \cdot 2i - 3i \cdot 2 - 3i \cdot 2i = 2 + 2i - 6i - 6i^2$

Сгруппируем действительные и мнимые части и подставим $i^2 = -1$:

$2 + (2i - 6i) - 6(-1) = 2 - 4i + 6 = 8 - 4i$

Ответ: $8 - 4i$.

3)

Для возведения комплексного числа $(2 - i)$ в квадрат применим формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(2 - i)^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot i + i^2$

Подставим значение $i^2 = -1$:

$4 - 4i + (-1) = 4 - 1 - 4i = 3 - 4i$

Ответ: $3 - 4i$.

4)

Данное выражение состоит из двух действий: возведение в квадрат и вычитание. Сначала возведем в квадрат число $(2 + 3i)$ по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(2 + 3i)^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot 3i + (3i)^2 = 4 + 12i + 9i^2$

Заменим $i^2$ на $-1$:

$4 + 12i + 9(-1) = 4 + 12i - 9 = -5 + 12i$

Теперь выполним вычитание:

$(-5 + 12i) - 5i = -5 + (12i - 5i) = -5 + 7i$

Ответ: $-5 + 7i$.

17.3. Упростите выражение:

1) $\frac{3-i}{2+i}$;

2) $\frac{\sqrt{2}+i}{\sqrt{2}-i}$;

3) $\frac{2-3i}{1+2i}$;

4) $\frac{3-5i}{5-2i}$;

5) $\frac{3-2i}{-1-2i}$;

6) $\frac{-3-7i}{-3+2i}$.

1) Чтобы упростить выражение, представляющее собой частное двух комплексных чисел, необходимо умножить числитель и знаменатель дроби на число, комплексно-сопряженное знаменателю. Для знаменателя $2+i$ сопряженным является число $2-i$.

$\frac{3-i}{2+i} = \frac{(3-i)(2-i)}{(2+i)(2-i)} = \frac{3 \cdot 2 - 3 \cdot i - i \cdot 2 + (-i) \cdot (-i)}{2^2 - i^2}$

Вспоминая, что $i^2 = -1$, получаем:

$\frac{6 - 3i - 2i + i^2}{4 - (-1)} = \frac{6 - 5i - 1}{4 + 1} = \frac{5 - 5i}{5} = \frac{5(1-i)}{5} = 1 - i$.

Ответ: $1 - i$.

2) Умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю $\sqrt{2}-i$, то есть на $\sqrt{2}+i$.

$\frac{\sqrt{2}+i}{\sqrt{2}-i} = \frac{(\sqrt{2}+i)(\sqrt{2}+i)}{(\sqrt{2}-i)(\sqrt{2}+i)} = \frac{(\sqrt{2})^2 + 2 \cdot \sqrt{2} \cdot i + i^2}{(\sqrt{2})^2 - i^2} = \frac{2 + 2\sqrt{2}i - 1}{2 - (-1)} = \frac{1 + 2\sqrt{2}i}{3} = \frac{1}{3} + \frac{2\sqrt{2}}{3}i$.

Ответ: $\frac{1}{3} + \frac{2\sqrt{2}}{3}i$.

3) Умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю $1+2i$, то есть на $1-2i$.

$\frac{2-3i}{1+2i} = \frac{(2-3i)(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)} = \frac{2 - 4i - 3i + 6i^2}{1^2 - (2i)^2} = \frac{2 - 7i - 6}{1 - 4i^2} = \frac{-4 - 7i}{1 + 4} = \frac{-4 - 7i}{5} = -\frac{4}{5} - \frac{7}{5}i$.

Ответ: $-\frac{4}{5} - \frac{7}{5}i$.

4) Умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю $5-2i$, то есть на $5+2i$.

$\frac{3-5i}{5-2i} = \frac{(3-5i)(5+2i)}{(5-2i)(5+2i)} = \frac{15 + 6i - 25i - 10i^2}{5^2 - (2i)^2} = \frac{15 - 19i + 10}{25 - 4(-1)} = \frac{25 - 19i}{25 + 4} = \frac{25 - 19i}{29} = \frac{25}{29} - \frac{19}{29}i$.

Ответ: $\frac{25}{29} - \frac{19}{29}i$.

5) Умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю $-1-2i$, то есть на $-1+2i$.

$\frac{3-2i}{-1-2i} = \frac{(3-2i)(-1+2i)}{(-1-2i)(-1+2i)} = \frac{-3 + 6i + 2i - 4i^2}{(-1)^2 - (2i)^2} = \frac{-3 + 8i + 4}{1 - 4(-1)} = \frac{1 + 8i}{1 + 4} = \frac{1 + 8i}{5} = \frac{1}{5} + \frac{8}{5}i$.

Ответ: $\frac{1}{5} + \frac{8}{5}i$.

6) Умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю $-3+2i$, то есть на $-3-2i$.

$\frac{-3-7i}{-3+2i} = \frac{(-3-7i)(-3-2i)}{(-3+2i)(-3-2i)} = \frac{9 + 6i + 21i + 14i^2}{(-3)^2 - (2i)^2} = \frac{9 + 27i - 14}{9 - 4(-1)} = \frac{-5 + 27i}{9 + 4} = \frac{-5 + 27i}{13} = -\frac{5}{13} + \frac{27}{13}i$.

Ответ: $-\frac{5}{13} + \frac{27}{13}i$.

17.4. Упростите выражение:

1) $\frac{3+i}{2-i} + (5 - 2i)^2$;

2) $\frac{\sqrt{3}+i}{\sqrt{3}-i} - (\sqrt{3}-2i)^2$;

3) $2 + 3i - \frac{2-3i}{1+2i}$;

4) $\frac{3-4i}{3-2i} - \frac{4-i}{2+3i}$;

5) $\frac{3-2i}{1-2i} + \frac{5-2i}{2-i}$;

6) $\frac{7-i}{5i} + \frac{3-7i}{2i-1}$.

1) Упростим выражение $ \frac{3+i}{2-i} + (5-2i)^2 $ по частям.

Сначала упростим дробь, умножив числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю число $(2+i)$:

$ \frac{3+i}{2-i} = \frac{(3+i)(2+i)}{(2-i)(2+i)} = \frac{6+3i+2i+i^2}{2^2 - i^2} = \frac{6+5i-1}{4 - (-1)} = \frac{5+5i}{5} = 1+i $.

Теперь возведем в квадрат второе слагаемое, используя формулу квадрата разности и свойство $ i^2 = -1 $:

$ (5-2i)^2 = 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot (2i) + (2i)^2 = 25 - 20i + 4i^2 = 25 - 20i - 4 = 21 - 20i $.

Сложим полученные результаты:

$ (1+i) + (21-20i) = (1+21) + (i-20i) = 22 - 19i $.

Ответ: $ 22 - 19i $.

2) Упростим выражение $ \frac{\sqrt{3}+i}{\sqrt{3}-i} - (\sqrt{3}-2i)^2 $ по частям.

Упростим первое слагаемое, умножив числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю число $(\sqrt{3}+i)$:

$ \frac{\sqrt{3}+i}{\sqrt{3}-i} = \frac{(\sqrt{3}+i)(\sqrt{3}+i)}{(\sqrt{3}-i)(\sqrt{3}+i)} = \frac{(\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3}i + i^2}{(\sqrt{3})^2 - i^2} = \frac{3+2\sqrt{3}i-1}{3-(-1)} = \frac{2+2\sqrt{3}i}{4} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i $.

Упростим второе слагаемое:

$ (\sqrt{3}-2i)^2 = (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot (2i) + (2i)^2 = 3 - 4\sqrt{3}i + 4i^2 = 3 - 4\sqrt{3}i - 4 = -1 - 4\sqrt{3}i $.

Вычтем второе из первого:

$ (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i) - (-1 - 4\sqrt{3}i) = \frac{1}{2} + 1 + (\frac{\sqrt{3}}{2} + 4\sqrt{3})i = \frac{3}{2} + (\frac{1}{2} + \frac{8}{2})\sqrt{3}i = \frac{3}{2} + \frac{9\sqrt{3}}{2}i $.

Ответ: $ \frac{3}{2} + \frac{9\sqrt{3}}{2}i $.

3) Упростим выражение $ 2 + 3i - \frac{2-3i}{1+2i} $.

Сначала упростим дробь, умножив числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю число $(1-2i)$:

$ \frac{2-3i}{1+2i} = \frac{(2-3i)(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)} = \frac{2-4i-3i+6i^2}{1^2-(2i)^2} = \frac{2-7i-6}{1-4(-1)} = \frac{-4-7i}{5} = -\frac{4}{5} - \frac{7}{5}i $.

Теперь выполним вычитание:

$ 2 + 3i - (-\frac{4}{5} - \frac{7}{5}i) = 2 + 3i + \frac{4}{5} + \frac{7}{5}i = (2+\frac{4}{5}) + (3+\frac{7}{5})i = (\frac{10}{5}+\frac{4}{5}) + (\frac{15}{5}+\frac{7}{5})i = \frac{14}{5} + \frac{22}{5}i $.

Ответ: $ \frac{14}{5} + \frac{22}{5}i $.

4) Упростим выражение $ \frac{3-4i}{3-2i} - \frac{4-i}{2+3i} $.

Приведем дроби к общему знаменателю, но проще будет упростить каждую дробь по отдельности.

Упростим первую дробь, умножив на сопряженное $(3+2i)$:

$ \frac{3-4i}{3-2i} = \frac{(3-4i)(3+2i)}{(3-2i)(3+2i)} = \frac{9+6i-12i-8i^2}{3^2-(2i)^2} = \frac{9-6i+8}{9+4} = \frac{17-6i}{13} $.

Упростим вторую дробь, умножив на сопряженное $(2-3i)$:

$ \frac{4-i}{2+3i} = \frac{(4-i)(2-3i)}{(2+3i)(2-3i)} = \frac{8-12i-2i+3i^2}{2^2-(3i)^2} = \frac{8-14i-3}{4+9} = \frac{5-14i}{13} $.

Выполним вычитание:

$ \frac{17-6i}{13} - \frac{5-14i}{13} = \frac{(17-5) + (-6-(-14))i}{13} = \frac{12+8i}{13} = \frac{12}{13} + \frac{8}{13}i $.

Ответ: $ \frac{12}{13} + \frac{8}{13}i $.

5) Упростим выражение $ \frac{3-2i}{1-2i} + \frac{5-2i}{2-i} $.

Упростим каждую дробь по отдельности.

Первая дробь:

$ \frac{3-2i}{1-2i} = \frac{(3-2i)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)} = \frac{3+6i-2i-4i^2}{1^2-(2i)^2} = \frac{3+4i+4}{1+4} = \frac{7+4i}{5} $.

Вторая дробь:

$ \frac{5-2i}{2-i} = \frac{(5-2i)(2+i)}{(2-i)(2+i)} = \frac{10+5i-4i-2i^2}{2^2-i^2} = \frac{10+i+2}{4+1} = \frac{12+i}{5} $.

Сложим полученные результаты:

$ \frac{7+4i}{5} + \frac{12+i}{5} = \frac{(7+12)+(4+1)i}{5} = \frac{19+5i}{5} = \frac{19}{5} + i $.

Ответ: $ \frac{19}{5} + i $.

6) Упростим выражение $ \frac{7-i}{5i} + \frac{3-7i}{2i-1} $.

Упростим каждую дробь по отдельности.

Первая дробь. Умножим числитель и знаменатель на $i$ (или на сопряженное $-5i$):

$ \frac{7-i}{5i} = \frac{(7-i)(-i)}{5i(-i)} = \frac{-7i+i^2}{-5i^2} = \frac{-7i-1}{-5(-1)} = \frac{-1-7i}{5} = -\frac{1}{5} - \frac{7}{5}i $.

Вторая дробь. Знаменатель $2i-1 = -1+2i$. Сопряженное к нему $-1-2i$:

$ \frac{3-7i}{-1+2i} = \frac{(3-7i)(-1-2i)}{(-1+2i)(-1-2i)} = \frac{-3-6i+7i+14i^2}{(-1)^2-(2i)^2} = \frac{-3+i-14}{1+4} = \frac{-17+i}{5} = -\frac{17}{5} + \frac{1}{5}i $.

Сложим полученные результаты:

$ (-\frac{1}{5} - \frac{7}{5}i) + (-\frac{17}{5} + \frac{1}{5}i) = (-\frac{1}{5}-\frac{17}{5}) + (-\frac{7}{5}+\frac{1}{5})i = -\frac{18}{5} - \frac{6}{5}i $.

Ответ: $ -\frac{18}{5} - \frac{6}{5}i $.

17.5. Выполните действия:

1) $\left(\frac{3-i}{2+i}\right)^2 + (1-2i)^3;$

2) $\frac{\sqrt{3}-i}{\sqrt{3}+2i} - (\sqrt{3}+2i)^3;$

3) $(2+3i)^4 - \frac{2-3i}{1+i};$

4) $\frac{3-i}{1-2i} - (1-2i)^4.$

1) $(\frac{3-i}{2+i})^2 + (1-2i)^3$

Выполним действия по шагам. Сначала упростим выражение в скобках в первом слагаемом, выполнив деление комплексных чисел. Для этого умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю, то есть на $2-i$:

$ \frac{3-i}{2+i} = \frac{(3-i)(2-i)}{(2+i)(2-i)} = \frac{6 - 3i - 2i + i^2}{2^2 - i^2} = \frac{6 - 5i - 1}{4 - (-1)} = \frac{5 - 5i}{5} = 1 - i. $

Теперь возведем полученный результат в квадрат:

$ (1 - i)^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot i + i^2 = 1 - 2i - 1 = -2i. $

Далее вычислим второе слагаемое, используя формулу куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ и учитывая, что $i^2 = -1$ и $i^3 = -i$:

$ (1 - 2i)^3 = 1^3 - 3 \cdot 1^2 \cdot (2i) + 3 \cdot 1 \cdot (2i)^2 - (2i)^3 = 1 - 6i + 3(4i^2) - 8i^3 = 1 - 6i - 12 - 8(-i) = 1 - 6i - 12 + 8i = -11 + 2i. $

Наконец, сложим результаты двух слагаемых:

$ -2i + (-11 + 2i) = -11 - 2i + 2i = -11. $

Ответ: $-11$.

2) $\frac{\sqrt{3}-i}{\sqrt{3}+2i} - (\sqrt{3}+2i)^3$

Сначала преобразуем первое слагаемое (уменьшаемое), выполнив деление. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю число $\sqrt{3}-2i$:

$ \frac{\sqrt{3}-i}{\sqrt{3}+2i} = \frac{(\sqrt{3}-i)(\sqrt{3}-2i)}{(\sqrt{3}+2i)(\sqrt{3}-2i)} = \frac{(\sqrt{3})^2 - 2i\sqrt{3} - i\sqrt{3} + 2i^2}{(\sqrt{3})^2 - (2i)^2} = \frac{3 - 3i\sqrt{3} - 2}{3 - 4i^2} = \frac{1 - 3i\sqrt{3}}{3+4} = \frac{1 - 3\sqrt{3}i}{7}. $

Теперь вычислим второе слагаемое (вычитаемое), используя формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$:

$ (\sqrt{3}+2i)^3 = (\sqrt{3})^3 + 3(\sqrt{3})^2(2i) + 3(\sqrt{3})(2i)^2 + (2i)^3 = 3\sqrt{3} + 3 \cdot 3 \cdot (2i) + 3\sqrt{3}(4i^2) + 8i^3 = 3\sqrt{3} + 18i - 12\sqrt{3} - 8i = -9\sqrt{3} + 10i. $

Теперь выполним вычитание, объединив действительные и мнимые части:

$ \frac{1 - 3\sqrt{3}i}{7} - (-9\sqrt{3} + 10i) = \frac{1}{7} - \frac{3\sqrt{3}}{7}i + 9\sqrt{3} - 10i = (\frac{1}{7} + 9\sqrt{3}) - i(\frac{3\sqrt{3}}{7} + 10) = \frac{1+63\sqrt{3}}{7} - i\frac{3\sqrt{3}+70}{7}. $

Ответ: $ \frac{1+63\sqrt{3}}{7} - \frac{70+3\sqrt{3}}{7}i $.

3) $(2+3i)^4 - \frac{2-3i}{1+i}$

Вычислим уменьшаемое и вычитаемое по отдельности. Для вычисления $(2+3i)^4$ сначала возведем в квадрат:

$ (2+3i)^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot (3i) + (3i)^2 = 4 + 12i + 9i^2 = 4 + 12i - 9 = -5 + 12i. $

Теперь возведем полученный результат в квадрат:

$ (2+3i)^4 = (-5+12i)^2 = (-5)^2 + 2(-5)(12i) + (12i)^2 = 25 - 120i + 144i^2 = 25 - 120i - 144 = -119 - 120i. $

Далее упростим вычитаемое, выполнив деление:

$ \frac{2-3i}{1+i} = \frac{(2-3i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{2 - 2i - 3i + 3i^2}{1^2 - i^2} = \frac{2 - 5i - 3}{1 - (-1)} = \frac{-1 - 5i}{2} = -\frac{1}{2} - \frac{5}{2}i. $

Выполним вычитание:

$ (-119 - 120i) - (-\frac{1}{2} - \frac{5}{2}i) = -119 - 120i + \frac{1}{2} + \frac{5}{2}i = (-119 + \frac{1}{2}) + (-120 + \frac{5}{2})i = (-\frac{238}{2} + \frac{1}{2}) + (-\frac{240}{2} + \frac{5}{2})i = -\frac{237}{2} - \frac{235}{2}i. $

Ответ: $ -118.5 - 117.5i $.

4) $\frac{3-i}{1-2i} - (1-2i)^4$

Сначала упростим уменьшаемое, выполнив деление комплексных чисел:

$ \frac{3-i}{1-2i} = \frac{(3-i)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)} = \frac{3 + 6i - i - 2i^2}{1^2 - (2i)^2} = \frac{3 + 5i - 2(-1)}{1 - 4i^2} = \frac{3+5i+2}{1+4} = \frac{5+5i}{5} = 1+i. $

Теперь вычислим вычитаемое. Для $(1-2i)^4$ сначала возведем в квадрат:

$ (1-2i)^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot (2i) + (2i)^2 = 1 - 4i + 4i^2 = 1 - 4i - 4 = -3 - 4i. $

Возведем результат в квадрат:

$ (1-2i)^4 = (-3 - 4i)^2 = (-(3+4i))^2 = (3+4i)^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot (4i) + (4i)^2 = 9 + 24i + 16i^2 = 9 + 24i - 16 = -7 + 24i. $

Выполним вычитание:

$ (1+i) - (-7 + 24i) = 1+i+7-24i = (1+7) + (1-24)i = 8 - 23i. $

Ответ: $ 8 - 23i $.

17.6. Выполните действия:

1) $\sqrt{-7-24i}$;

2) $\sqrt{24+70i}$;

3) $\sqrt{1+i\sqrt{3}}$;

4) $\sqrt{2-i\sqrt{2}}$;

5) $\sqrt{16i}$;

6) $\sqrt{-24i}$;

1) Чтобы найти $\sqrt{-7-24i}$, предположим, что $\sqrt{-7-24i} = x+yi$, где $x$ и $y$ – действительные числа. Возведя обе части в квадрат, получим $(x+yi)^2 = -7-24i$, или $x^2 - y^2 + 2xyi = -7-24i$. Приравнивая действительные и мнимые части, получаем систему уравнений:$x^2 - y^2 = -7$$2xy = -24$Также, мы можем приравнять модули: $|x+yi|^2 = |-7-24i|$, что дает $x^2 + y^2 = \sqrt{(-7)^2 + (-24)^2} = \sqrt{49+576} = \sqrt{625} = 25$.Теперь у нас есть система для $x^2$ и $y^2$:$\begin{cases} x^2 - y^2 = -7 \\ x^2 + y^2 = 25 \end{cases}$Складывая эти два уравнения, получаем $2x^2 = 18$, откуда $x^2 = 9$ и $x = \pm 3$.Вычитая первое уравнение из второго, получаем $2y^2 = 32$, откуда $y^2 = 16$ и $y = \pm 4$.Из уравнения $2xy = -24$ следует, что произведение $xy$ отрицательно, значит $x$ и $y$ имеют разные знаки.Следовательно, возможные пары $(x, y)$ это $(3, -4)$ и $(-3, 4)$.Таким образом, квадратные корни из $-7-24i$ это $3-4i$ и $-3+4i$.Ответ: $\pm(3-4i)$.

2) Чтобы найти $\sqrt{24+70i}$, пусть $\sqrt{24+70i} = x+yi$. Тогда $x^2 - y^2 + 2xyi = 24+70i$.Система уравнений:$x^2 - y^2 = 24$$2xy = 70$Модуль числа $24+70i$ равен $\sqrt{24^2 + 70^2} = \sqrt{576+4900} = \sqrt{5476} = 74$. Значит, $x^2+y^2=74$.Решаем систему:$\begin{cases} x^2 - y^2 = 24 \\ x^2 + y^2 = 74 \end{cases}$Складывая уравнения, получаем $2x^2 = 98$, откуда $x^2 = 49$ и $x = \pm 7$.Вычитая первое уравнение из второго, получаем $2y^2 = 50$, откуда $y^2 = 25$ и $y = \pm 5$.Из уравнения $2xy = 70$ следует, что произведение $xy$ положительно, значит $x$ и $y$ имеют одинаковые знаки.Следовательно, возможные пары $(x, y)$ это $(7, 5)$ и $(-7, -5)$.Таким образом, квадратные корни из $24+70i$ это $7+5i$ и $-7-5i$.Ответ: $\pm(7+5i)$.

3) Чтобы найти $\sqrt{1+i\sqrt{3}}$, пусть $\sqrt{1+i\sqrt{3}} = x+yi$. Тогда $x^2 - y^2 + 2xyi = 1+i\sqrt{3}$.Система уравнений:$x^2 - y^2 = 1$$2xy = \sqrt{3}$Модуль числа $1+i\sqrt{3}$ равен $\sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$. Значит, $x^2+y^2=2$.Решаем систему:$\begin{cases} x^2 - y^2 = 1 \\ x^2 + y^2 = 2 \end{cases}$Складывая уравнения, получаем $2x^2 = 3$, откуда $x^2 = \frac{3}{2}$ и $x = \pm \sqrt{\frac{3}{2}} = \pm \frac{\sqrt{6}}{2}$.Вычитая первое уравнение из второго, получаем $2y^2 = 1$, откуда $y^2 = \frac{1}{2}$ и $y = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$.Из уравнения $2xy = \sqrt{3}$ следует, что произведение $xy$ положительно, значит $x$ и $y$ имеют одинаковые знаки.Следовательно, корни: $\frac{\sqrt{6}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $-\frac{\sqrt{6}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}$.Ответ: $\pm\left(\frac{\sqrt{6}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

4) Чтобы найти $\sqrt{2-i\sqrt{2}}$, пусть $\sqrt{2-i\sqrt{2}} = x+yi$. Тогда $x^2 - y^2 + 2xyi = 2-i\sqrt{2}$.Система уравнений:$x^2 - y^2 = 2$$2xy = -\sqrt{2}$Модуль числа $2-i\sqrt{2}$ равен $\sqrt{2^2 + (-\sqrt{2})^2} = \sqrt{4+2} = \sqrt{6}$. Значит, $x^2+y^2=\sqrt{6}$.Решаем систему:$\begin{cases} x^2 - y^2 = 2 \\ x^2 + y^2 = \sqrt{6} \end{cases}$Складывая уравнения, получаем $2x^2 = 2+\sqrt{6}$, откуда $x^2 = \frac{2+\sqrt{6}}{2}$ и $x = \pm \sqrt{\frac{2+\sqrt{6}}{2}}$.Вычитая первое уравнение из второго, получаем $2y^2 = \sqrt{6}-2$, откуда $y^2 = \frac{\sqrt{6}-2}{2}$ и $y = \pm \sqrt{\frac{\sqrt{6}-2}{2}}$.Из уравнения $2xy = -\sqrt{2}$ следует, что произведение $xy$ отрицательно, значит $x$ и $y$ имеют разные знаки.Следовательно, корни: $\sqrt{\frac{2+\sqrt{6}}{2}} - i\sqrt{\frac{\sqrt{6}-2}{2}}$ и $-\sqrt{\frac{2+\sqrt{6}}{2}} + i\sqrt{\frac{\sqrt{6}-2}{2}}$.Ответ: $\pm\left(\sqrt{\frac{2+\sqrt{6}}{2}} - i\sqrt{\frac{\sqrt{6}-2}{2}}\right)$.

5) Чтобы найти $\sqrt{16i}$, пусть $\sqrt{16i} = x+yi$. Тогда $x^2 - y^2 + 2xyi = 16i$.Система уравнений:$x^2 - y^2 = 0$$2xy = 16$Модуль числа $16i$ равен $\sqrt{0^2 + 16^2} = 16$. Значит, $x^2+y^2=16$.Решаем систему:$\begin{cases} x^2 - y^2 = 0 \\ x^2 + y^2 = 16 \end{cases}$Складывая уравнения, получаем $2x^2 = 16$, откуда $x^2 = 8$ и $x = \pm \sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2}$.Из первого уравнения $x^2=y^2$, так что $y = \pm x$.Из уравнения $2xy = 16$ следует, что произведение $xy$ положительно, значит $x$ и $y$ имеют одинаковые знаки.Следовательно, если $x = 2\sqrt{2}$, то $y=2\sqrt{2}$, а если $x=-2\sqrt{2}$, то $y=-2\sqrt{2}$.Корни: $2\sqrt{2} + 2i\sqrt{2}$ и $-2\sqrt{2} - 2i\sqrt{2}$.Ответ: $\pm(2\sqrt{2}+2i\sqrt{2})$.

6) Чтобы найти $\sqrt{-24i}$, пусть $\sqrt{-24i} = x+yi$. Тогда $x^2 - y^2 + 2xyi = -24i$.Система уравнений:$x^2 - y^2 = 0$$2xy = -24$Модуль числа $-24i$ равен $\sqrt{0^2 + (-24)^2} = 24$. Значит, $x^2+y^2=24$.Решаем систему:$\begin{cases} x^2 - y^2 = 0 \\ x^2 + y^2 = 24 \end{cases}$Складывая уравнения, получаем $2x^2 = 24$, откуда $x^2 = 12$ и $x = \pm \sqrt{12} = \pm 2\sqrt{3}$.Из первого уравнения $x^2=y^2$, так что $y = \pm x$.Из уравнения $2xy = -24$ следует, что произведение $xy$ отрицательно, значит $x$ и $y$ имеют разные знаки.Следовательно, если $x = 2\sqrt{3}$, то $y=-2\sqrt{3}$, а если $x=-2\sqrt{3}$, то $y=2\sqrt{3}$.Корни: $2\sqrt{3} - 2i\sqrt{3}$ и $-2\sqrt{3} + 2i\sqrt{3}$.Ответ: $\pm(2\sqrt{3}-2i\sqrt{3})$.

17.7. Преобразуйте выражение и найдите модуль полученного комплексного числа:

1) $(\frac{3+i}{2-i})^3 + (2i)^5;$

2) $(\frac{2-i}{1+2i})^5 - (2+i)^3;$

3) $(2+i)^4 - (\frac{2-3i}{1+i})^2;$

4) $(\frac{3+i}{1-2i})^3 - (1-2i)^4.$

1) $ (\frac{3+i}{2-i})^3 + (2i)^5 $

Сначала упростим выражение в скобках. Для этого умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю, то есть на $2+i$:

$ \frac{3+i}{2-i} = \frac{(3+i)(2+i)}{(2-i)(2+i)} = \frac{6+3i+2i+i^2}{2^2 - i^2} = \frac{6+5i-1}{4+1} = \frac{5+5i}{5} = 1+i $.

Теперь возведем полученное число в куб, используя формулу куба суммы:

$ (1+i)^3 = 1^3 + 3 \cdot 1^2 \cdot i + 3 \cdot 1 \cdot i^2 + i^3 = 1 + 3i - 3 - i = -2+2i $.

Далее вычислим второе слагаемое:

$ (2i)^5 = 2^5 \cdot i^5 = 32 \cdot i^4 \cdot i = 32 \cdot 1 \cdot i = 32i $.

Сложим полученные результаты:

$ (-2+2i) + 32i = -2+34i $.

Найдем модуль полученного комплексного числа $ z = -2+34i $. Модуль комплексного числа $ z=a+bi $ вычисляется по формуле $ |z| = \sqrt{a^2+b^2} $.

$ |z| = |-2+34i| = \sqrt{(-2)^2 + 34^2} = \sqrt{4+1156} = \sqrt{1160} = \sqrt{4 \cdot 290} = 2\sqrt{290} $.

Ответ: преобразованное выражение $ -2+34i $, модуль равен $ 2\sqrt{290} $.

2) $ (\frac{2-i}{1+2i})^5 - (2+i)^3 $

Упростим дробь, умножив числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю число $1-2i$:

$ \frac{2-i}{1+2i} = \frac{(2-i)(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)} = \frac{2-4i-i+2i^2}{1^2-(2i)^2} = \frac{2-5i-2}{1-4i^2} = \frac{-5i}{1+4} = -i $.

Возведем полученное число в пятую степень:

$ (-i)^5 = (-1)^5 \cdot i^5 = -1 \cdot i^4 \cdot i = -i $.

Теперь вычислим вторую часть выражения:

$ (2+i)^3 = 2^3 + 3 \cdot 2^2 \cdot i + 3 \cdot 2 \cdot i^2 + i^3 = 8 + 12i + 6(-1) - i = 2+11i $.

Выполним вычитание:

$ -i - (2+11i) = -2 - 12i $.

Найдем модуль полученного комплексного числа $ z = -2-12i $:

$ |z| = |-2-12i| = \sqrt{(-2)^2+(-12)^2} = \sqrt{4+144} = \sqrt{148} = \sqrt{4 \cdot 37} = 2\sqrt{37} $.

Ответ: преобразованное выражение $ -2-12i $, модуль равен $ 2\sqrt{37} $.

3) $ (2+i)^4 - (\frac{2-3i}{1+i})^2 $

Сначала вычислим первую часть выражения, $(2+i)^4$:

$ (2+i)^2 = 4+4i+i^2 = 3+4i $.

$ (2+i)^4 = ((2+i)^2)^2 = (3+4i)^2 = 9+24i+16i^2 = 9+24i-16 = -7+24i $.

Теперь упростим дробь во второй части выражения:

$ \frac{2-3i}{1+i} = \frac{(2-3i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{2-2i-3i+3i^2}{1^2-i^2} = \frac{2-5i-3}{1+1} = \frac{-1-5i}{2} $.

Возведем полученную дробь в квадрат:

$ (\frac{-1-5i}{2})^2 = \frac{(-1-5i)^2}{4} = \frac{1+10i+25i^2}{4} = \frac{1+10i-25}{4} = \frac{-24+10i}{4} = -6+\frac{5}{2}i $.

Выполним вычитание:

$ (-7+24i) - (-6+\frac{5}{2}i) = -7+24i+6-\frac{5}{2}i = -1 + (24-\frac{5}{2})i = -1 + \frac{48-5}{2}i = -1 + \frac{43}{2}i $.

Найдем модуль полученного комплексного числа $ z = -1 + \frac{43}{2}i $:

$ |z| = |-1+\frac{43}{2}i| = \sqrt{(-1)^2 + (\frac{43}{2})^2} = \sqrt{1+\frac{1849}{4}} = \sqrt{\frac{4+1849}{4}} = \sqrt{\frac{1853}{4}} = \frac{\sqrt{1853}}{2} $.

Ответ: преобразованное выражение $ -1 + \frac{43}{2}i $, модуль равен $ \frac{\sqrt{1853}}{2} $.

4) $ (\frac{3+i}{1-2i})^3 - (1-2i)^4 $

Упростим дробь:

$ \frac{3+i}{1-2i} = \frac{(3+i)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)} = \frac{3+6i+i+2i^2}{1^2-(2i)^2} = \frac{3+7i-2}{1+4} = \frac{1+7i}{5} $.

Возведем полученное число в куб:

$ (\frac{1+7i}{5})^3 = \frac{1}{125}(1+7i)^3 = \frac{1}{125}(1^3 + 3 \cdot 1^2 \cdot (7i) + 3 \cdot 1 \cdot (7i)^2 + (7i)^3) = \frac{1}{125}(1+21i+3(-49)-343i) = \frac{1}{125}(1+21i-147-343i) = \frac{-146-322i}{125} $.

Теперь вычислим вторую часть выражения, $(1-2i)^4$:

$ (1-2i)^2 = 1-4i+4i^2 = 1-4i-4 = -3-4i $.

$ (1-2i)^4 = ((1-2i)^2)^2 = (-3-4i)^2 = 9+24i+16i^2 = 9+24i-16 = -7+24i $.

Выполним вычитание:

$ \frac{-146-322i}{125} - (-7+24i) = \frac{-146-322i}{125} + 7-24i = \frac{-146+7 \cdot 125}{125} + i\frac{-322-24 \cdot 125}{125} = \frac{-146+875}{125} + i\frac{-322-3000}{125} = \frac{729}{125} - \frac{3322}{125}i $.

Найдем модуль полученного комплексного числа $ z = \frac{729}{125} - \frac{3322}{125}i $:

$ |z| = |\frac{729-3322i}{125}| = \sqrt{(\frac{729}{125})^2 + (-\frac{3322}{125})^2} = \frac{1}{125}\sqrt{729^2 + 3322^2} = \frac{1}{125}\sqrt{531441 + 11035684} = \frac{\sqrt{11567125}}{125} $.

Упростим корень: $ \sqrt{11567125} = \sqrt{25 \cdot 462685} = 5\sqrt{462685} $.

$ |z| = \frac{5\sqrt{462685}}{125} = \frac{\sqrt{462685}}{25} $.

Ответ: преобразованное выражение $ \frac{729}{125} - \frac{3322}{125}i $, модуль равен $ \frac{\sqrt{462685}}{25} $.