Страница 143 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

1. В каком множестве можно найти квадратный корень для любого числа?

2. Всегда ли корни квадратного уравнения являются сопряженными?

3. Какое множество точек на комплексной плоскости удовлетворяет неравенству $|z| < 2$?

1. В различных числовых множествах возможность извлечения квадратного корня ограничена. Например, в множестве действительных чисел $\mathbb{R}$ нельзя извлечь квадратный корень из отрицательного числа (например, $\sqrt{-1}$). Однако в множестве комплексных чисел $\mathbb{C}$ эта операция выполнима для любого числа. Согласно основной теореме алгебры, любое комплексное число $z$ имеет ровно два квадратных корня (которые являются противоположными числами, за исключением случая, когда $z=0$). Например, квадратные корни из $-1$ равны $i$ и $-i$. Таким образом, квадратный корень для любого числа можно найти в множестве комплексных чисел.

Ответ: В множестве комплексных чисел $\mathbb{C}$.

2. Нет, не всегда. Корни квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ являются комплексно-сопряженными только в том случае, если все его коэффициенты ($a, b, c$) являются действительными числами, а дискриминант $D = b^2 - 4ac$ отрицателен. В этом случае корни имеют вид $x_{1,2} = p \pm qi$, где $p$ и $q$ – действительные числа и $q \neq 0$.

Если же коэффициенты уравнения не являются действительными, то его корни, как правило, не будут сопряженными. Например, рассмотрим уравнение $x^2 - (3+i)x + (2+2i) = 0$. Его корнями являются числа $x_1 = 2$ и $x_2 = 1+i$. Эти числа не являются сопряженными. Также, если у уравнения с действительными коэффициентами дискриминант неотрицателен, корни будут действительными и не будут образовывать пару комплексно-сопряженных чисел (если не считать, что действительное число сопряжено само себе).

Ответ: Нет, не всегда.

3. Неравенство $|z| < 2$ описывает множество точек на комплексной плоскости. Пусть комплексное число $z$ представлено в виде $z = x + iy$, где $x$ и $y$ – его действительная и мнимая части. Модуль комплексного числа $|z|$ определяется как расстояние от точки, соответствующей этому числу, до начала координат и вычисляется по формуле $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

Таким образом, неравенство $|z| < 2$ эквивалентно неравенству $\sqrt{x^2 + y^2} < 2$. Возведя обе части в квадрат, получаем $x^2 + y^2 < 2^2$.

Уравнение $x^2 + y^2 = R^2$ задает окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R$. Следовательно, неравенство $x^2 + y^2 < 4$ описывает множество всех точек, находящихся внутри окружности с центром в начале координат и радиусом 2. Так как неравенство строгое ($<$), сама окружность (граница) в это множество не включается. Такое множество называется открытым кругом.

Ответ: Это множество точек, лежащих внутри круга с центром в начале координат и радиусом 2 (открытый круг).

18.1. Найдите корни квадратного уравнения:
1) $x^2 + 4 = 0$; 2) $x^2 + 81 = 0$; 3) $x^2 + 11 = 0$;
4) $x^2 - 5x + 14 = 0$; 5) $x^2 + 4x + 9 = 0$; 6) $x^2 + 2x + 18 = 0$;
7) $2x^2 + x + 11 = 0$; 8) $3x^2 - 6x + 14 = 0$.

1) Решим уравнение $x^2 + 4 = 0$.

Это неполное квадратное уравнение. Перенесем свободный член в правую часть уравнения:

$x^2 = -4$

Извлечем квадратный корень из обеих частей. Так как под корнем отрицательное число, корни будут комплексными. Используем мнимую единицу $i$, где $i^2 = -1$.

$x = \pm\sqrt{-4} = \pm\sqrt{4 \cdot (-1)} = \pm\sqrt{4}\sqrt{-1} = \pm 2i$.

Ответ: $x_1 = 2i, x_2 = -2i$.

2) Решим уравнение $x^2 + 81 = 0$.

Это неполное квадратное уравнение. Перенесем свободный член в правую часть:

$x^2 = -81$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$x = \pm\sqrt{-81} = \pm\sqrt{81 \cdot (-1)} = \pm 9i$.

Ответ: $x_1 = 9i, x_2 = -9i$.

3) Решим уравнение $x^2 + 11 = 0$.

Это неполное квадратное уравнение. Перенесем свободный член в правую часть:

$x^2 = -11$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$x = \pm\sqrt{-11} = \pm i\sqrt{11}$.

Ответ: $x_1 = i\sqrt{11}, x_2 = -i\sqrt{11}$.

4) Решим уравнение $x^2 - 5x + 14 = 0$.

Это полное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ с коэффициентами $a=1$, $b=-5$, $c=14$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 14 = 25 - 56 = -31$.

Так как дискриминант отрицательный, уравнение имеет два комплексных сопряженных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm i\sqrt{|D|}}{2a}$:

$x = \frac{-(-5) \pm i\sqrt{31}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm i\sqrt{31}}{2}$.

Ответ: $x_1 = \frac{5 + i\sqrt{31}}{2}, x_2 = \frac{5 - i\sqrt{31}}{2}$.

5) Решим уравнение $x^2 + 4x + 9 = 0$.

Это полное квадратное уравнение с коэффициентами $a=1$, $b=4$, $c=9$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 16 - 36 = -20$.

Дискриминант отрицательный, значит, корни комплексные. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm i\sqrt{|D|}}{2a}$:

$x = \frac{-4 \pm i\sqrt{20}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm i\sqrt{4 \cdot 5}}{2} = \frac{-4 \pm 2i\sqrt{5}}{2} = -2 \pm i\sqrt{5}$.

Ответ: $x_1 = -2 + i\sqrt{5}, x_2 = -2 - i\sqrt{5}$.

6) Решим уравнение $x^2 + 2x + 18 = 0$.

Это полное квадратное уравнение с коэффициентами $a=1$, $b=2$, $c=18$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 4 - 72 = -68$.

Дискриминант отрицательный, корни комплексные. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm i\sqrt{|D|}}{2a}$:

$x = \frac{-2 \pm i\sqrt{68}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm i\sqrt{4 \cdot 17}}{2} = \frac{-2 \pm 2i\sqrt{17}}{2} = -1 \pm i\sqrt{17}$.

Ответ: $x_1 = -1 + i\sqrt{17}, x_2 = -1 - i\sqrt{17}$.

7) Решим уравнение $2x^2 + x + 11 = 0$.

Это полное квадратное уравнение с коэффициентами $a=2$, $b=1$, $c=11$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot 11 = 1 - 88 = -87$.

Дискриминант отрицательный, корни комплексные. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm i\sqrt{|D|}}{2a}$:

$x = \frac{-1 \pm i\sqrt{87}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{87}}{4}$.

Ответ: $x_1 = \frac{-1 + i\sqrt{87}}{4}, x_2 = \frac{-1 - i\sqrt{87}}{4}$.

8) Решим уравнение $3x^2 - 6x + 14 = 0$.

Это полное квадратное уравнение с коэффициентами $a=3$, $b=-6$, $c=14$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 14 = 36 - 168 = -132$.

Дискриминант отрицательный, корни комплексные. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm i\sqrt{|D|}}{2a}$:

$x = \frac{-(-6) \pm i\sqrt{132}}{2 \cdot 3} = \frac{6 \pm i\sqrt{4 \cdot 33}}{6} = \frac{6 \pm 2i\sqrt{33}}{6} = \frac{3 \pm i\sqrt{33}}{3}$.

Ответ: $x_1 = \frac{3 + i\sqrt{33}}{3}, x_2 = \frac{3 - i\sqrt{33}}{3}$.

18.2. Составьте квадратное уравнение с действительными коэффициентами, одним из корней которого является число:

1) $3i$;

2) $2 - 3i$;

3) $-3 + 2i$;

4) $5 - 7i$.

1) Если квадратное уравнение с действительными коэффициентами имеет комплексный корень $z_1$, то сопряженное ему число $z_2 = \bar{z}_1$ также является корнем этого уравнения. Дан корень $z_1 = 3i$. Тогда второй корень $z_2 = \overline{3i} = -3i$. Искомое уравнение можно составить по его корням, используя теорему Виета для приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$, где $p = -(z_1 + z_2)$ и $q = z_1 \cdot z_2$. Найдем сумму корней: $z_1 + z_2 = 3i + (-3i) = 0$. Найдем произведение корней: $z_1 \cdot z_2 = (3i)(-3i) = -9i^2 = -9(-1) = 9$. Таким образом, уравнение имеет вид $x^2 - 0 \cdot x + 9 = 0$, или $x^2 + 9 = 0$.

Ответ: $x^2 + 9 = 0$.

2) Дан корень $z_1 = 2 - 3i$. Так как коэффициенты уравнения действительные, второй корень $z_2$ является комплексно-сопряженным к первому: $z_2 = \overline{2 - 3i} = 2 + 3i$. Составим приведенное квадратное уравнение $x^2 - (z_1 + z_2)x + z_1z_2 = 0$. Сумма корней: $z_1 + z_2 = (2 - 3i) + (2 + 3i) = 4$. Произведение корней: $z_1 \cdot z_2 = (2 - 3i)(2 + 3i) = 2^2 - (3i)^2 = 4 - 9i^2 = 4 + 9 = 13$. Искомое уравнение: $x^2 - 4x + 13 = 0$.

Ответ: $x^2 - 4x + 13 = 0$.

3) Дан корень $z_1 = -3 + 2i$. Для квадратного уравнения с действительными коэффициентами второй корень $z_2$ будет комплексно-сопряженным: $z_2 = \overline{-3 + 2i} = -3 - 2i$. Используем формулу $x^2 - (z_1 + z_2)x + z_1z_2 = 0$. Найдем сумму корней: $z_1 + z_2 = (-3 + 2i) + (-3 - 2i) = -6$. Найдем произведение корней: $z_1 \cdot z_2 = (-3 + 2i)(-3 - 2i) = (-3)^2 - (2i)^2 = 9 - 4i^2 = 9 + 4 = 13$. Подставляем найденные значения в уравнение: $x^2 - (-6)x + 13 = 0$. Уравнение имеет вид $x^2 + 6x + 13 = 0$.

Ответ: $x^2 + 6x + 13 = 0$.

4) Дан корень $z_1 = 5 - 7i$. Поскольку коэффициенты искомого уравнения действительны, второй корень $z_2$ должен быть сопряженным к первому: $z_2 = \overline{5 - 7i} = 5 + 7i$. Составим уравнение по формуле $x^2 - (z_1 + z_2)x + z_1z_2 = 0$. Сумма корней: $z_1 + z_2 = (5 - 7i) + (5 + 7i) = 10$. Произведение корней: $z_1 \cdot z_2 = (5 - 7i)(5 + 7i) = 5^2 - (7i)^2 = 25 - 49i^2 = 25 + 49 = 74$. Получаем уравнение: $x^2 - 10x + 74 = 0$.

Ответ: $x^2 - 10x + 74 = 0$.

18.3. Разложите квадратный трехчлен на линейные множители:

1) $x^2 + 2x + 10;$

2) $x^2 - 4x + 5;$

3) $x^2 - 4x + 16;$

4) $2x^2 - 6x + 9.$

1) $x^2 + 2x + 10$

Для того чтобы разложить квадратный трехчлен вида $ax^2 + bx + c$ на линейные множители, необходимо найти корни соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Если $x_1$ и $x_2$ являются корнями этого уравнения, то разложение трехчлена имеет вид $a(x - x_1)(x - x_2)$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 2x + 10 = 0$. Для этого вычислим дискриминант $D$.

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 4 - 40 = -36$.

Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней. Корни будут комплексными. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{36}i}{2} = \frac{-2 \pm 6i}{2} = -1 \pm 3i$.

Таким образом, корни уравнения: $x_1 = -1 + 3i$ и $x_2 = -1 - 3i$.

Теперь подставим найденные корни в формулу разложения на множители:

$x^2 + 2x + 10 = 1 \cdot (x - (-1 + 3i))(x - (-1 - 3i)) = (x + 1 - 3i)(x + 1 + 3i)$.

Ответ: $(x + 1 - 3i)(x + 1 + 3i)$.

2) $x^2 - 4x + 5$

Найдем корни уравнения $x^2 - 4x + 5 = 0$. Вычислим дискриминант.

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4$.

Дискриминант отрицательный, поэтому корни комплексные.

$x_{1,2} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{-4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{4}i}{2} = \frac{4 \pm 2i}{2} = 2 \pm i$.

Корни уравнения: $x_1 = 2 + i$ и $x_2 = 2 - i$.

Подставим корни в формулу разложения $a(x - x_1)(x - x_2)$ (здесь $a=1$):

$x^2 - 4x + 5 = (x - (2 + i))(x - (2 - i)) = (x - 2 - i)(x - 2 + i)$.

Ответ: $(x - 2 - i)(x - 2 + i)$.

3) $x^2 - 4x + 16$

Найдем корни уравнения $x^2 - 4x + 16 = 0$. Вычислим дискриминант.

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 16 - 64 = -48$.

Дискриминант отрицательный, корни комплексные.

$x_{1,2} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{-48}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 \cdot 3}i}{2} = \frac{4 \pm 4\sqrt{3}i}{2} = 2 \pm 2\sqrt{3}i$.

Корни уравнения: $x_1 = 2 + 2\sqrt{3}i$ и $x_2 = 2 - 2\sqrt{3}i$.

Подставим корни в формулу разложения ($a=1$):

$x^2 - 4x + 16 = (x - (2 + 2\sqrt{3}i))(x - (2 - 2\sqrt{3}i)) = (x - 2 - 2\sqrt{3}i)(x - 2 + 2\sqrt{3}i)$.

Ответ: $(x - 2 - 2\sqrt{3}i)(x - 2 + 2\sqrt{3}i)$.

4) $2x^2 - 6x + 9$

Найдем корни уравнения $2x^2 - 6x + 9 = 0$. Вычислим дискриминант.

$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 9 = 36 - 72 = -36$.

Дискриминант отрицательный, корни комплексные.

$x_{1,2} = \frac{-(-6) \pm \sqrt{-36}}{2 \cdot 2} = \frac{6 \pm \sqrt{36}i}{4} = \frac{6 \pm 6i}{4} = \frac{3 \pm 3i}{2}$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{3}{2} + \frac{3}{2}i$ и $x_2 = \frac{3}{2} - \frac{3}{2}i$.

Подставим корни в формулу разложения $a(x - x_1)(x - x_2)$, где $a=2$:

$2x^2 - 6x + 9 = 2(x - (\frac{3}{2} + \frac{3}{2}i))(x - (\frac{3}{2} - \frac{3}{2}i)) = 2(x - \frac{3}{2} - \frac{3}{2}i)(x - \frac{3}{2} + \frac{3}{2}i)$.

Ответ: $2(x - \frac{3}{2} - \frac{3}{2}i)(x - \frac{3}{2} + \frac{3}{2}i)$.

18.4. Найдите корни квадратного уравнения:

1) $9x^2 + 14 = 0;$

2) $4x^2 + 31 = 0;$

3) $2x^2 + 11 = 0;$

4) $3x^2 + 13\sqrt{2} = 0;$

5) $2x^2 + 2\sqrt{2}x + 11 = 0;$

6) $3x^2 - \sqrt{5}x + 14 = 0.$

Для нахождения корней квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ используется формула дискриминанта $D = b^2 - 4ac$. Если $D < 0$, то уравнение не имеет действительных корней. Если $D \ge 0$, то корни находятся по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

1) $9x^2 + 14 = 0$

Это неполное квадратное уравнение, где коэффициенты $a=9$, $b=0$, $c=14$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 0^2 - 4 \cdot 9 \cdot 14 = 0 - 504 = -504$.

Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Другой способ решения — выразить $x^2$:

$9x^2 = -14$

$x^2 = -\frac{14}{9}$

Квадрат действительного числа не может быть отрицательным, следовательно, корней в действительных числах нет.

Ответ: корней нет.

2) $4x^2 + 31 = 0$

Это неполное квадратное уравнение, где коэффициенты $a=4$, $b=0$, $c=31$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 0^2 - 4 \cdot 4 \cdot 31 = 0 - 496 = -496$.

Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Выразим $x^2$:

$4x^2 = -31$

$x^2 = -\frac{31}{4}$

Уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

Ответ: корней нет.

3) $2x^2 + 11 = 0$

Это неполное квадратное уравнение, где $a=2$, $b=0$, $c=11$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 0^2 - 4 \cdot 2 \cdot 11 = 0 - 88 = -88$.

Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Выразим $x^2$:

$2x^2 = -11$

$x^2 = -\frac{11}{2}$

Уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: корней нет.

4) $3x^2 + 13\sqrt{2} = 0$

Это неполное квадратное уравнение, где $a=3$, $b=0$, $c=13\sqrt{2}$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 0^2 - 4 \cdot 3 \cdot 13\sqrt{2} = -156\sqrt{2}$.

Так как $156\sqrt{2} > 0$, то $D < 0$. Уравнение не имеет действительных корней.

Выразим $x^2$:

$3x^2 = -13\sqrt{2}$

$x^2 = -\frac{13\sqrt{2}}{3}$

Правая часть уравнения отрицательна, следовательно, действительных корней нет.

Ответ: корней нет.

5) $2x^2 + 2\sqrt{2}x + 11 = 0$

Это полное квадратное уравнение. Определим коэффициенты: $a=2$, $b=2\sqrt{2}$, $c=11$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (2\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 2 \cdot 11 = (4 \cdot 2) - 88 = 8 - 88 = -80$.

Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: корней нет.

6) $3x^2 - \sqrt{5}x + 14 = 0$

Это полное квадратное уравнение. Определим коэффициенты: $a=3$, $b=-\sqrt{5}$, $c=14$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-\sqrt{5})^2 - 4 \cdot 3 \cdot 14 = 5 - 168 = -163$.

Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: корней нет.