Номер 18.1, страница 143 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

18.1. Найдите корни квадратного уравнения:
1) $x^2 + 4 = 0$; 2) $x^2 + 81 = 0$; 3) $x^2 + 11 = 0$;
4) $x^2 - 5x + 14 = 0$; 5) $x^2 + 4x + 9 = 0$; 6) $x^2 + 2x + 18 = 0$;
7) $2x^2 + x + 11 = 0$; 8) $3x^2 - 6x + 14 = 0$.

1) Решим уравнение $x^2 + 4 = 0$.

Это неполное квадратное уравнение. Перенесем свободный член в правую часть уравнения:

$x^2 = -4$

Извлечем квадратный корень из обеих частей. Так как под корнем отрицательное число, корни будут комплексными. Используем мнимую единицу $i$, где $i^2 = -1$.

$x = \pm\sqrt{-4} = \pm\sqrt{4 \cdot (-1)} = \pm\sqrt{4}\sqrt{-1} = \pm 2i$.

Ответ: $x_1 = 2i, x_2 = -2i$.

2) Решим уравнение $x^2 + 81 = 0$.

Это неполное квадратное уравнение. Перенесем свободный член в правую часть:

$x^2 = -81$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$x = \pm\sqrt{-81} = \pm\sqrt{81 \cdot (-1)} = \pm 9i$.

Ответ: $x_1 = 9i, x_2 = -9i$.

3) Решим уравнение $x^2 + 11 = 0$.

Это неполное квадратное уравнение. Перенесем свободный член в правую часть:

$x^2 = -11$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$x = \pm\sqrt{-11} = \pm i\sqrt{11}$.

Ответ: $x_1 = i\sqrt{11}, x_2 = -i\sqrt{11}$.

4) Решим уравнение $x^2 - 5x + 14 = 0$.

Это полное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ с коэффициентами $a=1$, $b=-5$, $c=14$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 14 = 25 - 56 = -31$.

Так как дискриминант отрицательный, уравнение имеет два комплексных сопряженных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm i\sqrt{|D|}}{2a}$:

$x = \frac{-(-5) \pm i\sqrt{31}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm i\sqrt{31}}{2}$.

Ответ: $x_1 = \frac{5 + i\sqrt{31}}{2}, x_2 = \frac{5 - i\sqrt{31}}{2}$.

5) Решим уравнение $x^2 + 4x + 9 = 0$.

Это полное квадратное уравнение с коэффициентами $a=1$, $b=4$, $c=9$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 16 - 36 = -20$.

Дискриминант отрицательный, значит, корни комплексные. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm i\sqrt{|D|}}{2a}$:

$x = \frac{-4 \pm i\sqrt{20}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm i\sqrt{4 \cdot 5}}{2} = \frac{-4 \pm 2i\sqrt{5}}{2} = -2 \pm i\sqrt{5}$.

Ответ: $x_1 = -2 + i\sqrt{5}, x_2 = -2 - i\sqrt{5}$.

6) Решим уравнение $x^2 + 2x + 18 = 0$.

Это полное квадратное уравнение с коэффициентами $a=1$, $b=2$, $c=18$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 4 - 72 = -68$.

Дискриминант отрицательный, корни комплексные. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm i\sqrt{|D|}}{2a}$:

$x = \frac{-2 \pm i\sqrt{68}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm i\sqrt{4 \cdot 17}}{2} = \frac{-2 \pm 2i\sqrt{17}}{2} = -1 \pm i\sqrt{17}$.

Ответ: $x_1 = -1 + i\sqrt{17}, x_2 = -1 - i\sqrt{17}$.

7) Решим уравнение $2x^2 + x + 11 = 0$.

Это полное квадратное уравнение с коэффициентами $a=2$, $b=1$, $c=11$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot 11 = 1 - 88 = -87$.

Дискриминант отрицательный, корни комплексные. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm i\sqrt{|D|}}{2a}$:

$x = \frac{-1 \pm i\sqrt{87}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{87}}{4}$.

Ответ: $x_1 = \frac{-1 + i\sqrt{87}}{4}, x_2 = \frac{-1 - i\sqrt{87}}{4}$.

8) Решим уравнение $3x^2 - 6x + 14 = 0$.

Это полное квадратное уравнение с коэффициентами $a=3$, $b=-6$, $c=14$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 14 = 36 - 168 = -132$.

Дискриминант отрицательный, корни комплексные. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm i\sqrt{|D|}}{2a}$:

$x = \frac{-(-6) \pm i\sqrt{132}}{2 \cdot 3} = \frac{6 \pm i\sqrt{4 \cdot 33}}{6} = \frac{6 \pm 2i\sqrt{33}}{6} = \frac{3 \pm i\sqrt{33}}{3}$.

Ответ: $x_1 = \frac{3 + i\sqrt{33}}{3}, x_2 = \frac{3 - i\sqrt{33}}{3}$.