Номер 18.4, страница 143 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

18.4. Найдите корни квадратного уравнения:

1) $9x^2 + 14 = 0;$

2) $4x^2 + 31 = 0;$

3) $2x^2 + 11 = 0;$

4) $3x^2 + 13\sqrt{2} = 0;$

5) $2x^2 + 2\sqrt{2}x + 11 = 0;$

6) $3x^2 - \sqrt{5}x + 14 = 0.$

Для нахождения корней квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ используется формула дискриминанта $D = b^2 - 4ac$. Если $D < 0$, то уравнение не имеет действительных корней. Если $D \ge 0$, то корни находятся по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

1) $9x^2 + 14 = 0$

Это неполное квадратное уравнение, где коэффициенты $a=9$, $b=0$, $c=14$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 0^2 - 4 \cdot 9 \cdot 14 = 0 - 504 = -504$.

Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Другой способ решения — выразить $x^2$:

$9x^2 = -14$

$x^2 = -\frac{14}{9}$

Квадрат действительного числа не может быть отрицательным, следовательно, корней в действительных числах нет.

Ответ: корней нет.

2) $4x^2 + 31 = 0$

Это неполное квадратное уравнение, где коэффициенты $a=4$, $b=0$, $c=31$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 0^2 - 4 \cdot 4 \cdot 31 = 0 - 496 = -496$.

Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Выразим $x^2$:

$4x^2 = -31$

$x^2 = -\frac{31}{4}$

Уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

Ответ: корней нет.

3) $2x^2 + 11 = 0$

Это неполное квадратное уравнение, где $a=2$, $b=0$, $c=11$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 0^2 - 4 \cdot 2 \cdot 11 = 0 - 88 = -88$.

Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Выразим $x^2$:

$2x^2 = -11$

$x^2 = -\frac{11}{2}$

Уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: корней нет.

4) $3x^2 + 13\sqrt{2} = 0$

Это неполное квадратное уравнение, где $a=3$, $b=0$, $c=13\sqrt{2}$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 0^2 - 4 \cdot 3 \cdot 13\sqrt{2} = -156\sqrt{2}$.

Так как $156\sqrt{2} > 0$, то $D < 0$. Уравнение не имеет действительных корней.

Выразим $x^2$:

$3x^2 = -13\sqrt{2}$

$x^2 = -\frac{13\sqrt{2}}{3}$

Правая часть уравнения отрицательна, следовательно, действительных корней нет.

Ответ: корней нет.

5) $2x^2 + 2\sqrt{2}x + 11 = 0$

Это полное квадратное уравнение. Определим коэффициенты: $a=2$, $b=2\sqrt{2}$, $c=11$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (2\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 2 \cdot 11 = (4 \cdot 2) - 88 = 8 - 88 = -80$.

Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: корней нет.

6) $3x^2 - \sqrt{5}x + 14 = 0$

Это полное квадратное уравнение. Определим коэффициенты: $a=3$, $b=-\sqrt{5}$, $c=14$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-\sqrt{5})^2 - 4 \cdot 3 \cdot 14 = 5 - 168 = -163$.

Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: корней нет.