Номер 18.10, страница 144 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

18.10. Подготовьте сообщение об истории развития комплексных чисел и их роль в науке и технике.

История развития комплексных чисел

Появление и развитие комплексных чисел — это увлекательная история о том, как математики постепенно принимали концепцию, которая изначально казалась абсурдной и "мнимой".

1. Зарождение идеи (XVI век). Необходимость введения чисел нового типа впервые возникла не при решении квадратных уравнений вида $x^2 = -1$, которые просто считались не имеющими решения, а при поиске действительных корней кубических уравнений. В 1545 году итальянский математик Джероламо Кардано в своем труде "Великое искусство" ("Ars Magna") опубликовал формулу для решения уравнений вида $x^3 + px = q$. Он обнаружил, что в некоторых случаях, когда уравнение заведомо имело три действительных корня (этот случай получил название "неприводимого"), его формула требовала вычисления квадратного корня из отрицательного числа. Кардано называл такие выражения "софистическими" или "фиктивными", но был вынужден признать, что манипуляции с ними по формальным правилам позволяют в итоге прийти к правильному действительному ответу. Это был первый случай, когда мнимые числа оказались не просто курьезом, а необходимым инструментом.

2. Формализация и первые шаги (XVI-XVIII века). Следующий важный шаг сделал итальянский инженер-математик Рафаэль Бомбелли в своей "Алгебре" (1572). Он систематически разработал правила арифметических операций над такими числами, например, $( \sqrt{-1} ) \cdot ( \sqrt{-1} ) = -1$. Бомбелли показал, как в "неприводимом случае" Кардано мнимые части в итоговом выражении взаимно уничтожаются, оставляя действительный корень. Тем не менее, отношение к таким числам оставалось настороженным. В XVII веке Рене Декарт ввел уничижительный термин "мнимые числа", противопоставляя их "реальным", и этот термин закрепился. Значительный прорыв произошел в XVIII веке благодаря работам Леонарда Эйлера. Именно он в 1777 году ввел общепринятое обозначение $i = \sqrt{-1}$ (от лат. imaginarius — мнимый). Величайшим его достижением стала формула Эйлера $e^{i\varphi} = \cos \varphi + i \sin \varphi$, которая установила глубокую связь между экспоненциальной функцией, тригонометрическими функциями и мнимой единицей. Частный случай этой формулы, тождество Эйлера $e^{i\pi} + 1 = 0$, называют одной из самых красивых формул в математике.

3. Геометрическое представление и окончательное признание (XIX век). Полное признание и понимание комплексные числа получили после того, как им было дано наглядное геометрическое истолкование. В 1799 году датский землемер Каспар Вессель, а затем в 1806 году швейцарский математик-любитель Жан-Робер Арган независимо друг от друга предложили представлять комплексное число $z = a + bi$ как точку с координатами $(a, b)$ на плоскости (которую теперь называют комплексной плоскостью или плоскостью Аргана). В этой модели действительные числа располагаются на горизонтальной оси, а чисто мнимые — на вертикальной. Сложение чисел стало соответствовать сложению векторов, а умножение — повороту и растяжению. Это наглядное представление лишило комплексные числа их мистического ореола. Окончательно узаконил их статус "король математиков" Карл Фридрих Гаусс. Он не только активно использовал и популяризовал их геометрическое представление, но и ввел сам термин "комплексное число" взамен "мнимого". Гаусс также дал строгое доказательство основной теоремы алгебры, утверждающей, что любой многочлен ненулевой степени с комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один комплексный корень. Это показало, что поле комплексных чисел является алгебраически замкнутым, и дальнейшее расширение числовой системы для решения алгебраических уравнений не требуется.

Ответ: История комплексных чисел начинается в XVI веке с работ итальянских математиков по решению кубических уравнений, где впервые возникла необходимость извлекать корень из отрицательных чисел. Понятие было формализовано Бомбелли, получило свое название от Декарта, а ключевой вклад в их развитие внес Эйлер, введя обозначение $i$ и знаменитую формулу $e^{i\varphi} = \cos \varphi + i \sin \varphi$. Окончательное признание комплексные числа получили в XIX веке благодаря работам Весселя, Аргана и Гаусса, которые предложили их геометрическую интерпретацию на комплексной плоскости и доказали основную теорему алгебры, закрепив их фундаментальный статус в математике.

Роль комплексных чисел в науке и технике

Изначально появившись как абстрактный математический инструмент, комплексные числа со временем нашли широчайшее применение в самых разных областях науки и техники, став незаменимым языком для описания многих физических явлений.

1. Электротехника и радиотехника. Это одна из самых известных областей применения. Комплексные числа кардинально упрощают анализ цепей переменного тока. Величины, характеризующие переменный ток — напряжение $U$ и сила тока $I$ — являются колеблющимися, т.е. имеют и амплитуду, и фазу. Их очень удобно представлять комплексными числами (фазорами). Полное сопротивление цепи, или импеданс $Z$, также является комплексной величиной: $Z = R + iX$, где $R$ — активное сопротивление (на котором выделяется тепло), а $X$ — реактивное сопротивление (связанное с накоплением энергии в катушках индуктивности и конденсаторах). Использование комплексных чисел позволяет применять для цепей переменного тока привычный закон Ома в простой алгебраической форме $U = I \cdot Z$, избегая решения сложных дифференциальных уравнений.

2. Физика. В современной физике комплексные числа играют фундаментальную роль.

• Квантовая механика: Весь математический аппарат квантовой механики построен на комплексных числах. Состояние квантовой системы описывается волновой функцией $\Psi(x, t)$, которая является комплекснозначной. Главное уравнение динамики, уравнение Шрёдингера, содержит мнимую единицу $i$. Вероятность найти частицу в данной точке пространства пропорциональна квадрату модуля ее волновой функции, $|\Psi|^2$, что является действительным числом.
• Теория колебаний и волн: Описание любых волновых процессов (электромагнитных, акустических, механических) значительно упрощается с помощью комплексных чисел. Плоская волна представляется в компактном виде $A e^{i(\vec{k}\vec{r} - \omega t)}$, где комплексная амплитуда $A$ содержит информацию и об истинной амплитуде, и о начальной фазе. Это делает расчеты интерференции, дифракции и других волновых явлений гораздо более элегантными.

3. Обработка сигналов. Преобразование Фурье, ключевой инструмент в цифровой обработке сигналов, неразрывно связано с комплексными числами. Оно позволяет разложить сложный сигнал (например, звуковой файл или строку изображения) на сумму простых гармонических колебаний (синусоид). Каждая такая гармоника характеризуется частотой, амплитудой и фазой. Представление этих гармоник с помощью комплексных чисел (где модуль — амплитуда, а аргумент — фаза) лежит в основе работы алгоритмов сжатия данных (как в JPEG и MP3), фильтрации шумов и многих других технологий в телекоммуникациях и мультимедиа.

4. Гидродинамика и аэродинамика. Методы теории функций комплексного переменного (ТФКП) являются мощным инструментом для решения двумерных задач гидродинамики. Например, с помощью конформных отображений (функций, которые преобразуют одну комплексную область в другую с сохранением углов) можно смоделировать обтекание жидкостью или газом тел сложной формы, например, профиля крыла самолета (преобразование Жуковского). Это позволяет рассчитать распределение давления и найти подъемную силу.

5. Фрактальная геометрия. Многие знаменитые фракталы, демонстрирующие бесконечную сложность и самоподобие, рождаются на комплексной плоскости. Например, множество Мандельброта определяется поведением итерационной последовательности $z_{n+1} = z_n^2 + c$, где $z$ и $c$ — комплексные числа. Точка $c$ принадлежит множеству, если последовательность, начинающаяся с $z_0 = 0$, остается ограниченной. Эти исследования не только обладают эстетической ценностью, но и находят применение в компьютерной графике и моделировании хаотических систем.

Ответ: Комплексные числа играют фундаментальную роль во многих областях науки и техники. В электротехнике они упрощают анализ цепей переменного тока; в квантовой механике они являются основой математического аппарата; в физике волн и теории сигналов они позволяют удобно описывать колебания; в гидро- и аэродинамике с их помощью моделируют потоки; в теории управления анализируют устойчивость систем; а в математике они порождают красивые структуры фрактальной геометрии. Их способность одновременно кодировать две величины (например, амплитуду и фазу) делает их мощным и незаменимым инструментом для решения широкого круга прикладных задач.