Номер 18.14, страница 145 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

18.14. Постройте график функции:

1) $f(x) = (x - 2)^{-2}$;

2) $f(x) = (x + 1)^{-2}$;

3) $f(x) = -1 + \sqrt{x-2}$;

4) $f(x) = 2 - \sqrt{2+x}$.

1) Функция $f(x) = (x - 2)^{-2}$ эквивалентна $f(x) = \frac{1}{(x-2)^2}$. Её график можно построить, используя преобразование графика базовой функции $g(x) = \frac{1}{x^2}$. Преобразование $f(x) = g(x-2)$ представляет собой сдвиг графика $g(x)$ на 2 единицы вправо вдоль оси абсцисс. Исходный график $y = \frac{1}{x^2}$ имеет вертикальную асимптоту $x=0$ и горизонтальную асимптоту $y=0$. После сдвига вправо на 2 единицы, вертикальная асимптота станет прямой $x=2$, а горизонтальная асимптота $y=0$ останется без изменений. Ключевые точки графика $y = \frac{1}{x^2}$, такие как $(-1, 1)$ и $(1, 1)$, сместятся в точки $(1, 1)$ и $(3, 1)$ соответственно. Точка пересечения с осью Oy находится при $x=0$: $y = \frac{1}{(0-2)^2} = \frac{1}{4}$, то есть точка $(0, 1/4)$.Ответ: График функции $f(x) = (x - 2)^{-2}$ получается сдвигом графика $y=\frac{1}{x^2}$ на 2 единицы вправо. Вертикальная асимптота - $x=2$, горизонтальная асимптота - $y=0$.

2) Функция $f(x) = (x + 1)^{-2}$ эквивалентна $f(x) = \frac{1}{(x+1)^2}$. Её график строится путем преобразования графика базовой функции $g(x) = \frac{1}{x^2}$. Преобразование $f(x) = g(x+1)$ представляет собой сдвиг графика $g(x)$ на 1 единицу влево вдоль оси абсцисс. Исходный график $y = \frac{1}{x^2}$ имеет вертикальную асимптоту $x=0$ и горизонтальную асимптоту $y=0$. После сдвига влево на 1 единицу, вертикальная асимптота станет прямой $x=-1$, а горизонтальная асимптота $y=0$ останется без изменений. Ключевые точки графика $y = \frac{1}{x^2}$, такие как $(-1, 1)$ и $(1, 1)$, сместятся в точки $(-2, 1)$ и $(0, 1)$ соответственно. Точка $(0, 1)$ является точкой пересечения с осью Oy.Ответ: График функции $f(x) = (x + 1)^{-2}$ получается сдвигом графика $y=\frac{1}{x^2}$ на 1 единицу влево. Вертикальная асимптота - $x=-1$, горизонтальная асимптота - $y=0$.

3) Функция $f(x) = -1 + \sqrt{x-2}$ может быть переписана как $f(x) = \sqrt{x-2} - 1$. Её график строится путем преобразований графика базовой функции $g(x) = \sqrt{x}$. Требуется выполнить два сдвига: на 2 единицы вправо вдоль оси Ox и на 1 единицу вниз вдоль оси Oy. Исходный график $y = \sqrt{x}$ представляет собой ветвь параболы, выходящую из начала координат $(0, 0)$ и проходящую через точки $(1, 1)$ и $(4, 2)$. Последовательное применение сдвигов переносит начальную точку графика из $(0, 0)$ в точку $(2, -1)$. Область определения функции задается условием $x-2 \ge 0$, то есть $x \ge 2$. Область значений функции, соответственно, $y \ge -1$. Контрольные точки $(1, 1)$ и $(4, 2)$ базовой функции смещаются в точки $(3, 0)$ и $(6, 1)$ на искомом графике.Ответ: График функции $f(x) = -1 + \sqrt{x-2}$ получается сдвигом графика $y=\sqrt{x}$ на 2 единицы вправо и на 1 единицу вниз. Это ветвь параболы с началом в точке $(2, -1)$.

4) Для построения графика функции $f(x) = 2 - \sqrt{2+x}$, которую удобно записать как $f(x) = -\sqrt{x+2} + 2$, применим последовательность преобразований к графику базовой функции $g(x) = \sqrt{x}$. Сначала сдвигаем график $y=\sqrt{x}$ на 2 единицы влево, получая $y=\sqrt{x+2}$. Затем отражаем полученный график симметрично относительно оси абсцисс, что дает нам $y=-\sqrt{x+2}$. Наконец, сдвигаем результат на 2 единицы вверх и получаем итоговый график $y=-\sqrt{x+2} + 2$. Начальная точка графика $y=\sqrt{x}$, находящаяся в $(0, 0)$, в результате этих преобразований переместится в точку $(-2, 2)$. Область определения функции задается условием $x+2 \ge 0$, то есть $x \ge -2$. Область значений, учитывая знак минус перед корнем, будет $y \le 2$. Точка пересечения с осью Oy ($x=0$) будет $y = 2 - \sqrt{2}$, а с осью Ox ($y=0$) будет $x=2$, что следует из уравнения $2 - \sqrt{x+2} = 0$.Ответ: График функции $f(x) = 2 - \sqrt{2+x}$ — это ветвь параболы, выходящая из точки $(-2, 2)$ и направленная вниз и вправо. Он получен из графика $y=\sqrt{x}$ путем сдвига на 2 единицы влево, отражения относительно оси Ox и сдвига на 2 единицы вверх.