Номер 7, страница 145 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

7. Если одним из корней квадратного уравнения является число $5 - 4i$,

то это квадратное уравнение имеет вид:

A) $x^2 + 10x + 41 = 0$;

B) $x^2 - 5x + 41 = 0$;

C) $x^2 + 10x + 42 = 0$;

D) $x^2 - 5x - 41 = 0$;

E) $x^2 - 10x + 41 = 0$.

Согласно условию задачи, один из корней квадратного уравнения $x_1 = 5 - 4i$.

Поскольку все предложенные в вариантах ответов квадратные уравнения имеют действительные коэффициенты (коэффициенты при $x^2$, $x$ и свободный член являются действительными числами), то если у такого уравнения есть комплексный корень, то и сопряженное ему число также является корнем этого уравнения.

Комплексно-сопряженное число для $z = a + bi$ это $\bar{z} = a - bi$. Следовательно, для корня $x_1 = 5 - 4i$ сопряженным будет корень $x_2 = 5 + 4i$.

Зная оба корня, $x_1$ и $x_2$, мы можем составить приведенное квадратное уравнение по формуле, основанной на теореме Виета:$x^2 - (x_1 + x_2)x + (x_1 \cdot x_2) = 0$.

Сначала найдем сумму корней $x_1 + x_2$:$x_1 + x_2 = (5 - 4i) + (5 + 4i) = 5 + 5 - 4i + 4i = 10$.

Теперь найдем произведение корней $x_1 \cdot x_2$:$x_1 \cdot x_2 = (5 - 4i)(5 + 4i)$.Это произведение можно вычислить по формуле разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:$x_1 \cdot x_2 = 5^2 - (4i)^2 = 25 - 16i^2$.Зная, что мнимая единица в квадрате равна $-1$ ($i^2 = -1$), получаем:$x_1 \cdot x_2 = 25 - 16(-1) = 25 + 16 = 41$.

Подставим найденные значения суммы и произведения корней в формулу квадратного уравнения:$x^2 - (10)x + (41) = 0$$x^2 - 10x + 41 = 0$.

Сравнивая полученное уравнение $x^2 - 10x + 41 = 0$ с предложенными вариантами, видим, что оно соответствует варианту E).

Ответ: E) $x^2 - 10x + 41 = 0$.