Номер 4, страница 145 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

4. Разложите трехчлен $x^2 + 4x + 13$ на линейные множители:

A) $(x - 3i)(x + 3i);$

B) $(x + 2 - 3i)(x + 2 + 3i);$

C) $(x - 2 + 3i)(x + 3i);$

D) $(x - 2 - 3i)(x - 2 + 3i);$

E) $(x - 1 - 3i)(x + 1 + 3i).$

Для разложения квадратного трехчлена $ax^2 + bx + c$ на линейные множители, необходимо найти его корни $x_1$ и $x_2$, решив уравнение $ax^2 + bx + c = 0$. После нахождения корней, трехчлен можно представить в виде $a(x - x_1)(x - x_2)$.

В нашем случае дан трехчлен $x^2 + 4x + 13$. Приравняем его к нулю, чтобы найти корни:

$x^2 + 4x + 13 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами $a = 1$, $b = 4$, $c = 13$.

Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13 = 16 - 52 = -36$

Так как дискриминант отрицательный, корни уравнения будут комплексными. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{-36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm \sqrt{36 \cdot (-1)}}{2} = \frac{-4 \pm 6i}{2}$

Где $i = \sqrt{-1}$ — мнимая единица.

Вычислим корни:

$x_1 = \frac{-4 + 6i}{2} = -2 + 3i$

$x_2 = \frac{-4 - 6i}{2} = -2 - 3i$

Теперь подставим найденные корни в формулу разложения на множители $a(x - x_1)(x - x_2)$. Так как $a=1$, получаем:

$1 \cdot (x - (-2 + 3i))(x - (-2 - 3i))$

Раскроем скобки внутри скобок:

$(x + 2 - 3i)(x + 2 + 3i)$

Это выражение соответствует варианту ответа B. Для проверки можно перемножить полученные множители, используя формулу разности квадратов $(u-v)(u+v) = u^2 - v^2$, где $u = (x+2)$ и $v = 3i$:

$((x+2) - 3i)((x+2) + 3i) = (x+2)^2 - (3i)^2 = (x^2 + 4x + 4) - (9i^2) = x^2 + 4x + 4 - 9(-1) = x^2 + 4x + 4 + 9 = x^2 + 4x + 13$.

Результат совпадает с исходным трехчленом, следовательно, разложение выполнено верно.

Ответ: $(x + 2 - 3i)(x + 2 + 3i)$