Номер 9, страница 146 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

9. Корни уравнения $x^2 - 5i = 0$ равны:

A) $\pm (\sqrt{5} + i);

B) $5 \pm 2i;

C) $\pm \left(\sqrt{\frac{5}{2}} - \sqrt{\frac{5}{2}}i\right);

D) $\pm 2\left(\sqrt{\frac{5}{2}} + \sqrt{\frac{5}{2}}i\right);

E) $\pm \left(\sqrt{\frac{5}{2}} + \sqrt{\frac{5}{2}}i\right).$

Для решения уравнения $x^2 - 5i = 0$ необходимо найти квадратные корни из комплексного числа $5i$. Перепишем уравнение в виде $x^2 = 5i$.

Пусть корень $x$ имеет алгебраическую форму $x = a + bi$, где $a$ и $b$ — действительные числа. Тогда его квадрат равен:

$x^2 = (a + bi)^2 = a^2 + 2abi + (bi)^2 = (a^2 - b^2) + 2abi$

Приравнивая это выражение к $5i$ (или $0 + 5i$), мы можем составить систему уравнений, приравняв действительные и мнимые части:

$\begin{cases}a^2 - b^2 = 0 \\2ab = 5\end{cases}$

Из первого уравнения $a^2 = b^2$ следует, что $a = b$ или $a = -b$.

Из второго уравнения $ab = 5/2$. Поскольку произведение $ab$ является положительным числом, $a$ и $b$ должны иметь одинаковые знаки. Это означает, что верен только случай $a = b$.

Подставим $a = b$ во второе уравнение системы:

$2a \cdot a = 5 \implies 2a^2 = 5 \implies a^2 = \frac{5}{2}$

Отсюда находим два возможных значения для $a$: $a = \sqrt{\frac{5}{2}}$ и $a = -\sqrt{\frac{5}{2}}$.

Поскольку $b = a$, мы получаем два набора значений для $(a, b)$:

1. $a_1 = \sqrt{\frac{5}{2}}$, $b_1 = \sqrt{\frac{5}{2}}$

2. $a_2 = -\sqrt{\frac{5}{2}}$, $b_2 = -\sqrt{\frac{5}{2}}$

Это дает нам два корня для исходного уравнения:

$x_1 = \sqrt{\frac{5}{2}} + \sqrt{\frac{5}{2}}i$

$x_2 = -\sqrt{\frac{5}{2}} - \sqrt{\frac{5}{2}}i = -(\sqrt{\frac{5}{2}} + \sqrt{\frac{5}{2}}i)$

Оба корня можно объединить в одну запись: $x = \pm(\sqrt{\frac{5}{2}} + \sqrt{\frac{5}{2}}i)$.

Сравнивая этот результат с предложенными вариантами, мы видим, что он соответствует варианту E.

Ответ: E) $\pm(\sqrt{\frac{5}{2}} + \sqrt{\frac{5}{2}}i)$