Номер 12, страница 146 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

12. Ниже приведены утверждения пятерых подружек. Если Алия сказала правду, то кто из подружек наверняка сказала правду:

Алия: "Если мячик находится в гараже, значит он обязательно в корзине" ($P \rightarrow Q$);

Асем: "Мячик не находится в гараже" ($\neg P$);

Анара: "Если мячик находится в гараже, то он не в корзине" ($P \rightarrow \neg Q$);

Назым: "Если мячик не находится в гараже, то он в корзине" ($\neg P \rightarrow Q$);

Салия: "Если мячик не находится в корзине, то он не в гараже" ($\neg Q \rightarrow \neg P$):

A) Асем;

B) Анара;

C) Назым;

D) Галия;

E) все подруги сказали неправду.

Для решения этой логической задачи мы проанализируем каждое утверждение, используя основные принципы математической логики. Основное условие — утверждение Алии истинно.

Давайте введем переменные для базовых утверждений:

• $G$: «Мячик находится в гараже»
• $K$: «Мячик находится в корзине»

Теперь представим высказывания подруг в виде логических формул:

• Алия: «Если мячик находится в гараже, значит он обязательно в корзине». Формула: $G \rightarrow K$.
• Асем: «Мячик не находится в гараже». Формула: $\neg G$.
• Анара: «Если мячик находится в гараже, то он не в корзине». Формула: $G \rightarrow \neg K$.
• Назым: «Если мячик не находится в гараже, то он в корзине». Формула: $\neg G \rightarrow K$.
• Салия: «Если мячик не находится в корзине, то он не в гараже». Формула: $\neg K \rightarrow \neg G$.

По условию задачи, утверждение Алии истинно: $G \rightarrow K$ является истиной. Логическая импликация (выражение вида «если..., то...») ложна только в одном случае: когда посылка (первая часть) истинна, а следствие (вторая часть) — ложно. Таким образом, истинность утверждения Алии означает, что ситуация, когда мячик находится в гараже ($G$ - истина) и при этом не находится в корзине ($\neg K$ - истина), невозможна.

Теперь проверим, чье утверждение будет истинным при условии, что утверждение Алии истинно.

Асем: $\neg G$

Утверждение Асем не обязательно истинно. Например, если мячик находится и в гараже, и в корзине ( $G$ и $K$ истинны), то утверждение Алии ($G \rightarrow K$) будет истинным, но утверждение Асем ($\neg G$) будет ложным. Значит, Асем могла сказать неправду.

Анара: $G \rightarrow \neg K$

Утверждение Анары не обязательно истинно. В том же примере, когда мячик и в гараже, и в корзине ($G$ и $K$ истинны), утверждение Алии истинно. Однако утверждение Анары ($G \rightarrow \neg K$) будет ложным, так как из истинной посылки ($G$) следует ложное следствие ($\neg K$). Значит, Анара могла сказать неправду.

Назым: $\neg G \rightarrow K$

Утверждение Назым не обязательно истинно. Рассмотрим случай, когда мячик не находится ни в гараже, ни в корзине ($\neg G$ и $\neg K$ истинны). В этом случае утверждение Алии ($G \rightarrow K$) истинно (так как посылка $G$ ложна). Но утверждение Назым ($\neg G \rightarrow K$) будет ложным, так как из истинной посылки ($\neg G$) следует ложное следствие ($K$). Значит, Назым могла сказать неправду.

Салия: $\neg K \rightarrow \neg G$

Утверждение Салии («Если мячик не в корзине, то он не в гараже») является контрапозицией утверждения Алии («Если мячик в гараже, то он в корзине»). В логике импликация $P \rightarrow Q$ и ее контрапозиция $\neg Q \rightarrow \neg P$ являются логически эквивалентными. Это значит, что они всегда имеют одинаковое значение истинности. Поскольку нам дано, что утверждение Алии ($G \rightarrow K$) истинно, то утверждение Салии ($\neg K \rightarrow \neg G$) также наверняка будет истинным.

Таким образом, единственная подруга, которая наверняка сказала правду, — это Салия. В вариантах ответа имя "Салия" отсутствует, но есть "Галия". Скорее всего, это опечатка в задании, и имелась в виду Салия.

Ответ: D) Галия;