Номер 19.3, страница 151 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

19.3. Найдите область значения функции $y = f(x)$:

1) $f(x) = \left(\frac{1}{5}\right)^x - 2$;

2) $f(x) = 6^{x+2} + \frac{1}{4}$;

3) $f(x) = 2.5^x + 3$;

4) $f(x) = 0.7^{x-1} - 1$.

1) $f(x) = \left(\frac{1}{5}\right)^x - 2$

Областью значений показательной функции вида $y = a^x$, где $a > 0$ и $a \ne 1$, является интервал $(0; +\infty)$. Это означает, что $a^x$ всегда принимает строго положительные значения.

В данном случае, для выражения $\left(\frac{1}{5}\right)^x$ имеем:$\left(\frac{1}{5}\right)^x > 0$ для любого действительного значения $x$.

Функция $f(x)$ получается путем вычитания 2 из значений функции $y = \left(\frac{1}{5}\right)^x$. Это соответствует сдвигу графика функции $y$ на 2 единицы вниз по оси ординат. Таким образом, вся область значений также сдвигается на 2 вниз.

Если $\left(\frac{1}{5}\right)^x > 0$, то $\left(\frac{1}{5}\right)^x - 2 > 0 - 2$, что равносильно $f(x) > -2$.

Следовательно, область значений функции — это все числа, которые больше -2.

Ответ: $E(f) = (-2; +\infty)$.

2) $f(x) = 6^{x+2} + \frac{1}{4}$

Рассмотрим показательную часть функции $y = 6^{x+2}$. Показатель степени $x+2$ может принимать любые действительные значения. Так как основание степени 6 положительно, значение выражения $6^{x+2}$ всегда будет строго положительным.

$6^{x+2} > 0$ для любого $x$.

Функция $f(x)$ получается прибавлением константы $\frac{1}{4}$ к значениям $6^{x+2}$. Это соответствует сдвигу графика функции $y = 6^{x+2}$ на $\frac{1}{4}$ единицы вверх.

Если $6^{x+2} > 0$, то $6^{x+2} + \frac{1}{4} > 0 + \frac{1}{4}$, что равносильно $f(x) > \frac{1}{4}$.

Таким образом, область значений функции — это все числа, которые больше $\frac{1}{4}$.

Ответ: $E(f) = (\frac{1}{4}; +\infty)$.

3) $f(x) = 2,5 \cdot 5^x + 3$

Сначала рассмотрим выражение $5^x$. Как и для любой показательной функции с положительным основанием, его значения всегда строго положительны: $5^x > 0$.

Далее, умножим это выражение на положительное число 2,5. Знак неравенства при этом не изменится:

$2,5 \cdot 5^x > 2,5 \cdot 0$

$2,5 \cdot 5^x > 0$

Наконец, прибавим 3. Это сдвигает график вверх на 3 единицы.

$2,5 \cdot 5^x + 3 > 0 + 3$

$f(x) > 3$

Следовательно, область значений функции — это все числа, которые больше 3.

Ответ: $E(f) = (3; +\infty)$.

4) $f(x) = 0,7^{x-1} - 1$

Рассмотрим показательное выражение $0,7^{x-1}$. Основание $0,7$ положительно, поэтому значение выражения всегда будет строго положительным.

$0,7^{x-1} > 0$ для любого действительного значения $x$.

Функция $f(x)$ получается вычитанием 1, что соответствует сдвигу графика функции $y = 0,7^{x-1}$ на 1 единицу вниз.

Если $0,7^{x-1} > 0$, то $0,7^{x-1} - 1 > 0 - 1$, что равносильно $f(x) > -1$.

Таким образом, область значений функции — это все числа, которые больше -1.

Ответ: $E(f) = (-1; +\infty)$.