Номер 19.4, страница 151 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

19.4. Какие значения принимает функция $y = 3^x$, если x принимает последовательно значения:

1) 0; 1; 2; 3; 4; ...;

2) -1; -2; -3; -4; ...;

3) $\frac{1}{2}$; $\frac{1}{3}$; $\frac{2}{3}$; $\frac{1}{4}$; $\frac{3}{4}$; ... ?

1) Для того чтобы найти значения функции $y = 3^x$, нужно подставить в нее заданные значения $x$.

Последовательность значений $x$: $0; 1; 2; 3; 4; \dots$

Вычисляем соответствующие значения $y$:

Если $x = 0$, то $y = 3^0 = 1$

Если $x = 1$, то $y = 3^1 = 3$

Если $x = 2$, то $y = 3^2 = 9$

Если $x = 3$, то $y = 3^3 = 27$

Если $x = 4$, то $y = 3^4 = 81$

И так далее. Полученная последовательность значений $y$ представляет собой геометрическую прогрессию, где каждый следующий член в 3 раза больше предыдущего.

Ответ: $1; 3; 9; 27; 81; \dots$

2) Последовательность значений $x$: $-1; -2; -3; -4; \dots$

Вычисляем соответствующие значения $y$, используя свойство степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

Если $x = -1$, то $y = 3^{-1} = \frac{1}{3^1} = \frac{1}{3}$

Если $x = -2$, то $y = 3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$

Если $x = -3$, то $y = 3^{-3} = \frac{1}{3^3} = \frac{1}{27}$

Если $x = -4$, то $y = 3^{-4} = \frac{1}{3^4} = \frac{1}{81}$

И так далее. Полученная последовательность значений $y$ представляет собой геометрическую прогрессию, где каждый следующий член в 3 раза меньше предыдущего (или умножается на $\frac{1}{3}$ ).

Ответ: $\frac{1}{3}; \frac{1}{9}; \frac{1}{27}; \frac{1}{81}; \dots$

3) Последовательность значений $x$: $\frac{1}{2}; \frac{1}{3}; \frac{2}{3}; \frac{1}{4}; \frac{3}{4}; \dots$

Вычисляем соответствующие значения $y$, используя свойство степени $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$:

Если $x = \frac{1}{2}$, то $y = 3^{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$

Если $x = \frac{1}{3}$, то $y = 3^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{3}$

Если $x = \frac{2}{3}$, то $y = 3^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{3^2} = \sqrt[3]{9}$

Если $x = \frac{1}{4}$, то $y = 3^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{3}$

Если $x = \frac{3}{4}$, то $y = 3^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{3^3} = \sqrt[4]{27}$

И так далее.

Ответ: $\sqrt{3}; \sqrt[3]{3}; \sqrt[3]{9}; \sqrt[4]{3}; \sqrt[4]{27}; \dots$