Номер 19.8, страница 152 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

19.8. Сравните:

1) $(3,5)^{-\sqrt{2}}$ и $(\frac{1}{3,5})^{-\sqrt{2}} $;

2) $(\frac{3}{4})^{1+\sqrt{3}}$ и $(\frac{3}{4})^{2} $;

3) $(\sqrt{5})^{\sqrt{2}-\sqrt{5}}$ и $(\sqrt{5})^{\sqrt{3}-2} $;

4) $(\frac{1}{\sqrt{3}})^{-2\sqrt{3}}$ и $3^{\sqrt{3}} $.

1) Сравним числа $(3,5)^{-\sqrt{2}}$ и $(\frac{1}{3,5})^{-\sqrt{2}}$.

Преобразуем второе выражение: $(\frac{1}{3,5})^{-\sqrt{2}} = (3,5^{-1})^{-\sqrt{2}} = 3,5^{(-1) \cdot (-\sqrt{2})} = 3,5^{\sqrt{2}}$.

Теперь задача сводится к сравнению чисел $(3,5)^{-\sqrt{2}}$ и $3,5^{\sqrt{2}}$.

Основание степени $a = 3,5$. Так как $a > 1$, показательная функция $y = 3,5^x$ является возрастающей. Это значит, что большему значению показателя степени соответствует большее значение функции.

Сравним показатели степеней: $-\sqrt{2}$ и $\sqrt{2}$. Очевидно, что $\sqrt{2} > -\sqrt{2}$.

Поскольку функция возрастающая, то $3,5^{\sqrt{2}} > (3,5)^{-\sqrt{2}}$.

Следовательно, $(\frac{1}{3,5})^{-\sqrt{2}} > (3,5)^{-\sqrt{2}}$.

Ответ: $(3,5)^{-\sqrt{2}} < (\frac{1}{3,5})^{-\sqrt{2}}$.

2) Сравним числа $(\frac{3}{4})^{1+\sqrt{3}}$ и $(\frac{3}{4})^{2}$.

Основание степени $a = \frac{3}{4}$. Так как $0 < a < 1$, показательная функция $y = (\frac{3}{4})^x$ является убывающей. Это значит, что большему значению показателя степени соответствует меньшее значение функции.

Сравним показатели степеней: $1+\sqrt{3}$ и $2$.

Так как $\sqrt{3} \approx 1,732$, то $\sqrt{3} > 1$. Прибавив 1 к обеим частям неравенства, получим $1+\sqrt{3} > 2$.

Поскольку функция убывающая и $1+\sqrt{3} > 2$, то $(\frac{3}{4})^{1+\sqrt{3}} < (\frac{3}{4})^{2}$.

Ответ: $(\frac{3}{4})^{1+\sqrt{3}} < (\frac{3}{4})^{2}$.

3) Сравним числа $(\sqrt{5})^{\sqrt{2}-\sqrt{5}}$ и $(\sqrt{5})^{\sqrt{3}-2}$.

Основание степени $a = \sqrt{5}$. Так как $\sqrt{5} > \sqrt{1} = 1$, показательная функция $y = (\sqrt{5})^x$ является возрастающей. Сравнение степеней сводится к сравнению их показателей.

Сравним показатели: $\sqrt{2}-\sqrt{5}$ и $\sqrt{3}-2$.

Перенесем слагаемые, чтобы избавиться от знаков "минус": сравним $\sqrt{2}+2$ и $\sqrt{3}+\sqrt{5}$.

Обе части неравенства положительны, поэтому мы можем возвести их в квадрат, не меняя знака неравенства.

$(\sqrt{2}+2)^2 = (\sqrt{2})^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{2} + 2^2 = 2 + 4\sqrt{2} + 4 = 6 + 4\sqrt{2} = 6 + \sqrt{16 \cdot 2} = 6 + \sqrt{32}$.

$(\sqrt{3}+\sqrt{5})^2 = (\sqrt{3})^2 + 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 3 + 2\sqrt{15} + 5 = 8 + 2\sqrt{15} = 8 + \sqrt{4 \cdot 15} = 8 + \sqrt{60}$.

Теперь сравним $6 + \sqrt{32}$ и $8 + \sqrt{60}$.

Так как $5 < \sqrt{32} < 6$ и $7 < \sqrt{60} < 8$, то $11 < 6 + \sqrt{32} < 12$ и $15 < 8 + \sqrt{60} < 16$.

Очевидно, что $8 + \sqrt{60} > 6 + \sqrt{32}$.

Следовательно, $\sqrt{3}+\sqrt{5} > \sqrt{2}+2$, а значит $\sqrt{3}-2 > \sqrt{2}-\sqrt{5}$.

Поскольку функция $y = (\sqrt{5})^x$ возрастающая, то $(\sqrt{5})^{\sqrt{3}-2} > (\sqrt{5})^{\sqrt{2}-\sqrt{5}}$.

Ответ: $(\sqrt{5})^{\sqrt{2}-\sqrt{5}} < (\sqrt{5})^{\sqrt{3}-2}$.

4) Сравним числа $(\frac{1}{\sqrt{3}})^{-2\sqrt{3}}$ и $3^{\sqrt{3}}$.

Преобразуем первое выражение, используя свойства степеней $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ и $(a^m)^n = a^{mn}$.

$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{3^{1/2}} = 3^{-1/2}$.

Тогда $(\frac{1}{\sqrt{3}})^{-2\sqrt{3}} = (3^{-1/2})^{-2\sqrt{3}} = 3^{(-1/2) \cdot (-2\sqrt{3})} = 3^{\frac{2\sqrt{3}}{2}} = 3^{\sqrt{3}}$.

Таким образом, первое выражение равно второму.

Ответ: $(\frac{1}{\sqrt{3}})^{-2\sqrt{3}} = 3^{\sqrt{3}}$.