Номер 19.10, страница 152 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

19.10. Сколько точек пересечения имеют графики функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$:

1) $y = 2^x$ и $y = 4^x$;

2) $y = 2^x$ и $y = x^4$;

3) $y = 2^x$ и $y = x^2$;

4) $y = 2^x$ и $y = -3x^2$?

1) y = 2^x и y = 4^x

Чтобы найти точки пересечения графиков, необходимо приравнять функции друг к другу и решить полученное уравнение:

$2^x = 4^x$

Представим $4$ как $2^2$:

$2^x = (2^2)^x$

$2^x = 2^{2x}$

Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$x = 2x$

$2x - x = 0$

$x = 0$

Мы нашли одно действительное решение для $x$. Это означает, что графики функций пересекаются в одной точке. Чтобы найти координаты этой точки, подставим $x=0$ в любую из исходных функций:

$y = 2^0 = 1$

Точка пересечения: $(0, 1)$.

Ответ: 1 точка пересечения.

2) y = 2^x и y = x⁴

Приравняем функции:

$2^x = x^4$

Это трансцендентное уравнение, которое сложно решить аналитически в общем виде. Проанализируем его, исследуя поведение функций и находя некоторые решения подбором.

1. Рассмотрим случай $x < 0$. Функция $y = 2^x$ принимает значения в интервале $(0, 1)$. Функция $y = x^4$ принимает положительные значения. При $x = -1$, имеем $y = 2^{-1} = 0.5$, а $y = (-1)^4 = 1$. В этой точке $2^x < x^4$. Когда $x$ стремится к нулю слева ($x \to 0^-$), $2^x \to 1$, а $x^4 \to 0$. Вблизи нуля $2^x > x^4$. Поскольку на концах интервала $(-1, 0)$ знак неравенства меняется, и обе функции непрерывны, существует как минимум одна точка пересечения в этом интервале. Так как для $x < 0$ функция $y=2^x$ возрастает, а $y=x^4$ убывает, они могут пересечься только один раз. Таким образом, есть один отрицательный корень.

2. Рассмотрим случай $x > 0$. Обе функции возрастают. Проверим некоторые значения. При $x=2$ имеем $2^2=4$ и $2^4=16$ ($2^x < x^4$). При $x=16$ имеем $2^{16}$ и $16^4 = (2^4)^4 = 2^{16}$, то есть $x=16$ является точкой пересечения. Поскольку экспоненциальная функция $y=2^x$ в конечном итоге растет быстрее любой степенной функции, а при $x=2$ она была меньше, должен быть еще один корень между $x=2$ и $x=16$. Фактически, если рассмотреть уравнение $2^x=x^4$ для $x>0$, можно извлечь корень четвертой степени: $2^{x/4} = x$. Замена $y=x/4$ приводит к уравнению $2^y = 4y$, которое имеет два решения (одно из них $y=4$, что дает $x=16$; другое находится в интервале $(0,1)$). Таким образом, существуют два положительных корня.

Суммируя, мы имеем один отрицательный корень и два положительных корня.

Ответ: 3 точки пересечения.

3) y = 2^x и y = x²

Приравняем функции:

$2^x = x^2$

Как и в предыдущем случае, это трансцендентное уравнение. Проанализируем его, исследуя поведение функций.

1. Рассмотрим случай $x < 0$. Функция $y=2^x$ возрастает, а $y=x^2$ убывает. При $x=-1$ имеем $2^{-1}=0.5$ и $(-1)^2=1$ ($2^x < x^2$). При $x \to 0^-$ имеем $2^x \to 1$ и $x^2 \to 0$ ($2^x > x^2$). Из-за смены знака неравенства и различной монотонности на этом промежутке, существует ровно одна точка пересечения для $x<0$. Она находится в интервале $(-1, 0)$.

2. Рассмотрим случай $x > 0$. Обе функции возрастают. Проверим целочисленные значения:

При $x=2$: $2^2 = 4$ и $2^2 = 4$. Это точка пересечения.

При $x=4$: $2^4 = 16$ и $4^2 = 16$. Это еще одна точка пересечения.

Между $x=2$ и $x=4$ парабола $y=x^2$ находится "выше" графика $y=2^x$ (например, при $x=3$ имеем $8 < 9$). Для $x > 4$ показательная функция $y=2^x$ растет быстрее степенной функции $y=x^2$, поэтому других пересечений при $x>4$ не будет (например, при $x=5$ имеем $32 > 25$). Таким образом, мы нашли два положительных корня.

Всего имеем один отрицательный корень и два положительных корня ($x=2$ и $x=4$).

Ответ: 3 точки пересечения.

4) y = 2^x и y = -3x²

Приравняем функции:

$2^x = -3x^2$

Проанализируем области значений этих функций.

Функция $y = 2^x$ является показательной. Ее область значений — все положительные действительные числа, то есть $y > 0$ для любого $x$.

Функция $y = -3x^2$ является параболой с ветвями, направленными вниз, и вершиной в точке $(0, 0)$. Ее область значений — все неположительные действительные числа, то есть $y \le 0$ для любого $x$.

Левая часть уравнения ($2^x$) всегда строго положительна, а правая часть ($-3x^2$) всегда неположительна. Равенство между ними невозможно ни при каком значении $x$.

Следовательно, графики этих функций не пересекаются.

Ответ: 0 точек пересечения.