Номер 19.7, страница 152 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

19.7. Используя свойства показательной функции, сравните следующие числа с единицей:

1) $11^{-5}$;

2) $\left(\frac{5}{6}\right)^{\frac{2}{3}}$;

3) $(0,15)^{-3}$;

4) $(1,2)^{-2}$.

1) Для сравнения числа $11^{-5}$ с единицей воспользуемся свойствами показательной функции $y = a^x$.

В данном случае основание $a = 11$, а показатель степени $x = -5$.

Так как основание $a = 11 > 1$, показательная функция является возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Сравним показатель степени $x = -5$ с нулём: $-5 < 0$.

Поскольку функция возрастающая и $-5 < 0$, то $11^{-5} < 11^0$.

Так как любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице, $11^0 = 1$.

Следовательно, $11^{-5} < 1$.

Ответ: $11^{-5} < 1$.

2) Рассмотрим число $(\frac{5}{6})^{\frac{2}{3}}$.

Основание степени $a = \frac{5}{6}$, показатель степени $x = \frac{2}{3}$.

Так как основание $a = \frac{5}{6}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, показательная функция является убывающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Сравним показатель степени $x = \frac{2}{3}$ с нулём: $\frac{2}{3} > 0$.

Поскольку функция убывающая и $\frac{2}{3} > 0$, то $(\frac{5}{6})^{\frac{2}{3}} < (\frac{5}{6})^0$.

Так как $(\frac{5}{6})^0 = 1$, получаем $(\frac{5}{6})^{\frac{2}{3}} < 1$.

Ответ: $(\frac{5}{6})^{\frac{2}{3}} < 1$.

3) Рассмотрим число $(0,15)^{-3}$.

Основание степени $a = 0,15$, показатель степени $x = -3$.

Так как основание $a = 0,15$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, показательная функция является убывающей.

Сравним показатель степени $x = -3$ с нулём: $-3 < 0$.

Поскольку функция убывающая и $-3 < 0$, то $(0,15)^{-3} > (0,15)^0$.

Так как $(0,15)^0 = 1$, получаем $(0,15)^{-3} > 1$.

Ответ: $(0,15)^{-3} > 1$.

4) Рассмотрим число $(1,2)^{-2}$.

Основание степени $a = 1,2$, показатель степени $x = -2$.

Так как основание $a = 1,2 > 1$, показательная функция является возрастающей.

Сравним показатель степени $x = -2$ с нулём: $-2 < 0$.

Поскольку функция возрастающая и $-2 < 0$, то $(1,2)^{-2} < (1,2)^0$.

Так как $(1,2)^0 = 1$, получаем $(1,2)^{-2} < 1$.

Ответ: $(1,2)^{-2} < 1$.