Страница 152 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

19.5. Какие из функций $y = f(x)$ являются возрастающими и какие убывающими:

1) $y = 4^x$; 2) $y = 10^x$; 3) $y = \left(\frac{1}{4}\right)^x$; 4) $y = (\sqrt{2})^x$?

Для определения, является ли показательная функция вида $y = a^x$ возрастающей или убывающей, необходимо проанализировать ее основание $a$.

Если основание $a > 1$, то функция является возрастающей. Если $0 < a < 1$, то функция является убывающей.

Применим это правило к каждой из данных функций:

1) В функции $y = 4^x$ основание $a = 4$. Поскольку $4 > 1$, данная функция является возрастающей.

Ответ: возрастающая.

2) В функции $y = 10^x$ основание $a = 10$. Поскольку $10 > 1$, данная функция является возрастающей.

Ответ: возрастающая.

3) В функции $y = (\frac{1}{4})^x$ основание $a = \frac{1}{4}$. Поскольку $0 < \frac{1}{4} < 1$, данная функция является убывающей.

Ответ: убывающая.

4) В функции $y = (\sqrt{2})^x$ основание $a = \sqrt{2}$. Так как $\sqrt{2} \approx 1.414$, то есть $a > 1$, данная функция является возрастающей.

Ответ: возрастающая.

19.6. 1) Какая из двух показательных функций возрастает быстрее при возрастании значений аргумента: $y = 2^x$ или $y = (\sqrt{2})^x$.

2) Какая из двух показательных функций убывает быстрее при возрастании значений аргумента: $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x$ или $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$?

1) Для анализа скорости роста показательных функций вида $y = a^x$, где основание $a > 1$, необходимо сравнить их основания. Функция, у которой основание больше, возрастает быстрее. Рассмотрим две заданные функции: $y_1 = 2^x$ и $y_2 = (\sqrt{2})^x$. Основание первой функции $a_1 = 2$. Основание второй функции $a_2 = \sqrt{2}$. Сравним основания. Так как $2 > 1$ и $\sqrt{2} \approx 1.414 > 1$, обе функции являются возрастающими. Чтобы сравнить $2$ и $\sqrt{2}$, можно возвести оба числа в квадрат: $2^2 = 4$ и $(\sqrt{2})^2 = 2$. Поскольку $4 > 2$, то и $2 > \sqrt{2}$. Так как основание функции $y = 2^x$ больше основания функции $y = (\sqrt{2})^x$, то функция $y = 2^x$ возрастает быстрее. Это можно проверить на примерах. При $x=4$: $y_1 = 2^4 = 16$ $y_2 = (\sqrt{2})^4 = (2^{1/2})^4 = 2^2 = 4$ При увеличении $x$ разница в значениях будет только расти.

Ответ: Функция $y = 2^x$ возрастает быстрее.

2) Для анализа скорости убывания показательных функций вида $y = a^x$, где основание $0 < a < 1$, необходимо сравнить их основания. Функция, у которой основание меньше, убывает быстрее (т.е. ее значения быстрее приближаются к нулю с ростом $x$). Рассмотрим две заданные функции: $y_1 = (\frac{1}{2})^x$ и $y_2 = (\frac{1}{3})^x$. Основание первой функции $a_1 = \frac{1}{2} = 0.5$. Основание второй функции $a_2 = \frac{1}{3}$. Так как $0 < \frac{1}{2} < 1$ и $0 < \frac{1}{3} < 1$, обе функции являются убывающими. Сравним основания: $\frac{1}{3} < \frac{1}{2}$, поскольку $3 > 2$. Так как основание функции $y = (\frac{1}{3})^x$ меньше основания функции $y = (\frac{1}{2})^x$, то функция $y = (\frac{1}{3})^x$ убывает быстрее. Это можно проверить на примерах. При $x=2$: $y_1 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$ $y_2 = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$ Поскольку $\frac{1}{9} < \frac{1}{4}$, значение второй функции меньше, что подтверждает более быстрое убывание.

Ответ: Функция $y = (\frac{1}{3})^x$ убывает быстрее.

19.7. Используя свойства показательной функции, сравните следующие числа с единицей:

1) $11^{-5}$;

2) $\left(\frac{5}{6}\right)^{\frac{2}{3}}$;

3) $(0,15)^{-3}$;

4) $(1,2)^{-2}$.

1) Для сравнения числа $11^{-5}$ с единицей воспользуемся свойствами показательной функции $y = a^x$.

В данном случае основание $a = 11$, а показатель степени $x = -5$.

Так как основание $a = 11 > 1$, показательная функция является возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Сравним показатель степени $x = -5$ с нулём: $-5 < 0$.

Поскольку функция возрастающая и $-5 < 0$, то $11^{-5} < 11^0$.

Так как любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице, $11^0 = 1$.

Следовательно, $11^{-5} < 1$.

Ответ: $11^{-5} < 1$.

2) Рассмотрим число $(\frac{5}{6})^{\frac{2}{3}}$.

Основание степени $a = \frac{5}{6}$, показатель степени $x = \frac{2}{3}$.

Так как основание $a = \frac{5}{6}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, показательная функция является убывающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Сравним показатель степени $x = \frac{2}{3}$ с нулём: $\frac{2}{3} > 0$.

Поскольку функция убывающая и $\frac{2}{3} > 0$, то $(\frac{5}{6})^{\frac{2}{3}} < (\frac{5}{6})^0$.

Так как $(\frac{5}{6})^0 = 1$, получаем $(\frac{5}{6})^{\frac{2}{3}} < 1$.

Ответ: $(\frac{5}{6})^{\frac{2}{3}} < 1$.

3) Рассмотрим число $(0,15)^{-3}$.

Основание степени $a = 0,15$, показатель степени $x = -3$.

Так как основание $a = 0,15$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, показательная функция является убывающей.

Сравним показатель степени $x = -3$ с нулём: $-3 < 0$.

Поскольку функция убывающая и $-3 < 0$, то $(0,15)^{-3} > (0,15)^0$.

Так как $(0,15)^0 = 1$, получаем $(0,15)^{-3} > 1$.

Ответ: $(0,15)^{-3} > 1$.

4) Рассмотрим число $(1,2)^{-2}$.

Основание степени $a = 1,2$, показатель степени $x = -2$.

Так как основание $a = 1,2 > 1$, показательная функция является возрастающей.

Сравним показатель степени $x = -2$ с нулём: $-2 < 0$.

Поскольку функция возрастающая и $-2 < 0$, то $(1,2)^{-2} < (1,2)^0$.

Так как $(1,2)^0 = 1$, получаем $(1,2)^{-2} < 1$.

Ответ: $(1,2)^{-2} < 1$.

19.8. Сравните:

1) $(3,5)^{-\sqrt{2}}$ и $(\frac{1}{3,5})^{-\sqrt{2}} $;

2) $(\frac{3}{4})^{1+\sqrt{3}}$ и $(\frac{3}{4})^{2} $;

3) $(\sqrt{5})^{\sqrt{2}-\sqrt{5}}$ и $(\sqrt{5})^{\sqrt{3}-2} $;

4) $(\frac{1}{\sqrt{3}})^{-2\sqrt{3}}$ и $3^{\sqrt{3}} $.

1) Сравним числа $(3,5)^{-\sqrt{2}}$ и $(\frac{1}{3,5})^{-\sqrt{2}}$.

Преобразуем второе выражение: $(\frac{1}{3,5})^{-\sqrt{2}} = (3,5^{-1})^{-\sqrt{2}} = 3,5^{(-1) \cdot (-\sqrt{2})} = 3,5^{\sqrt{2}}$.

Теперь задача сводится к сравнению чисел $(3,5)^{-\sqrt{2}}$ и $3,5^{\sqrt{2}}$.

Основание степени $a = 3,5$. Так как $a > 1$, показательная функция $y = 3,5^x$ является возрастающей. Это значит, что большему значению показателя степени соответствует большее значение функции.

Сравним показатели степеней: $-\sqrt{2}$ и $\sqrt{2}$. Очевидно, что $\sqrt{2} > -\sqrt{2}$.

Поскольку функция возрастающая, то $3,5^{\sqrt{2}} > (3,5)^{-\sqrt{2}}$.

Следовательно, $(\frac{1}{3,5})^{-\sqrt{2}} > (3,5)^{-\sqrt{2}}$.

Ответ: $(3,5)^{-\sqrt{2}} < (\frac{1}{3,5})^{-\sqrt{2}}$.

2) Сравним числа $(\frac{3}{4})^{1+\sqrt{3}}$ и $(\frac{3}{4})^{2}$.

Основание степени $a = \frac{3}{4}$. Так как $0 < a < 1$, показательная функция $y = (\frac{3}{4})^x$ является убывающей. Это значит, что большему значению показателя степени соответствует меньшее значение функции.

Сравним показатели степеней: $1+\sqrt{3}$ и $2$.

Так как $\sqrt{3} \approx 1,732$, то $\sqrt{3} > 1$. Прибавив 1 к обеим частям неравенства, получим $1+\sqrt{3} > 2$.

Поскольку функция убывающая и $1+\sqrt{3} > 2$, то $(\frac{3}{4})^{1+\sqrt{3}} < (\frac{3}{4})^{2}$.

Ответ: $(\frac{3}{4})^{1+\sqrt{3}} < (\frac{3}{4})^{2}$.

3) Сравним числа $(\sqrt{5})^{\sqrt{2}-\sqrt{5}}$ и $(\sqrt{5})^{\sqrt{3}-2}$.

Основание степени $a = \sqrt{5}$. Так как $\sqrt{5} > \sqrt{1} = 1$, показательная функция $y = (\sqrt{5})^x$ является возрастающей. Сравнение степеней сводится к сравнению их показателей.

Сравним показатели: $\sqrt{2}-\sqrt{5}$ и $\sqrt{3}-2$.

Перенесем слагаемые, чтобы избавиться от знаков "минус": сравним $\sqrt{2}+2$ и $\sqrt{3}+\sqrt{5}$.

Обе части неравенства положительны, поэтому мы можем возвести их в квадрат, не меняя знака неравенства.

$(\sqrt{2}+2)^2 = (\sqrt{2})^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{2} + 2^2 = 2 + 4\sqrt{2} + 4 = 6 + 4\sqrt{2} = 6 + \sqrt{16 \cdot 2} = 6 + \sqrt{32}$.

$(\sqrt{3}+\sqrt{5})^2 = (\sqrt{3})^2 + 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 3 + 2\sqrt{15} + 5 = 8 + 2\sqrt{15} = 8 + \sqrt{4 \cdot 15} = 8 + \sqrt{60}$.

Теперь сравним $6 + \sqrt{32}$ и $8 + \sqrt{60}$.

Так как $5 < \sqrt{32} < 6$ и $7 < \sqrt{60} < 8$, то $11 < 6 + \sqrt{32} < 12$ и $15 < 8 + \sqrt{60} < 16$.

Очевидно, что $8 + \sqrt{60} > 6 + \sqrt{32}$.

Следовательно, $\sqrt{3}+\sqrt{5} > \sqrt{2}+2$, а значит $\sqrt{3}-2 > \sqrt{2}-\sqrt{5}$.

Поскольку функция $y = (\sqrt{5})^x$ возрастающая, то $(\sqrt{5})^{\sqrt{3}-2} > (\sqrt{5})^{\sqrt{2}-\sqrt{5}}$.

Ответ: $(\sqrt{5})^{\sqrt{2}-\sqrt{5}} < (\sqrt{5})^{\sqrt{3}-2}$.

4) Сравним числа $(\frac{1}{\sqrt{3}})^{-2\sqrt{3}}$ и $3^{\sqrt{3}}$.

Преобразуем первое выражение, используя свойства степеней $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ и $(a^m)^n = a^{mn}$.

$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{3^{1/2}} = 3^{-1/2}$.

Тогда $(\frac{1}{\sqrt{3}})^{-2\sqrt{3}} = (3^{-1/2})^{-2\sqrt{3}} = 3^{(-1/2) \cdot (-2\sqrt{3})} = 3^{\frac{2\sqrt{3}}{2}} = 3^{\sqrt{3}}$.

Таким образом, первое выражение равно второму.

Ответ: $(\frac{1}{\sqrt{3}})^{-2\sqrt{3}} = 3^{\sqrt{3}}$.

19.9. Как расположены графики показательных функций относительно друг друга:

1) $y = 9^x$ и $y = 4^x$;

2) $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x$ и $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$?

Рассмотрите случаи: $x > 0, x = 0, x < 0$.

1) $y = 9^x$ и $y = 4^x$

Для того чтобы определить взаимное расположение графиков функций $y = 9^x$ и $y = 4^x$, мы сравним значения этих функций при различных значениях $x$. Обе функции являются показательными с основанием больше единицы, поэтому их графики — возрастающие кривые, проходящие через точку $(0, 1)$.

Случай $x > 0$:

Рассмотрим функцию $f(a) = a^x$ при фиксированном $x > 0$. Эта функция является возрастающей по основанию $a$ при $a > 0$. Поскольку $9 > 4$, то для любого $x > 0$ будет выполняться неравенство $9^x > 4^x$.

Например, при $x = 1$: $9^1 = 9$, $4^1 = 4$, и $9 > 4$.

При $x = 2$: $9^2 = 81$, $4^2 = 16$, и $81 > 16$.

Следовательно, при $x > 0$ график функции $y = 9^x$ расположен выше графика функции $y = 4^x$.

Случай $x = 0$:

Любое число (кроме нуля) в степени ноль равно единице.

$y = 9^0 = 1$

$y = 4^0 = 1$

При $x = 0$ значения функций равны, значит, их графики пересекаются в точке с координатами $(0, 1)$.

Случай $x < 0$:

Пусть $x = -t$, где $t > 0$. Тогда нам нужно сравнить $9^{-t}$ и $4^{-t}$.

$9^{-t} = \frac{1}{9^t}$ и $4^{-t} = \frac{1}{4^t}$.

Поскольку $t > 0$ и $9 > 4$, мы знаем, что $9^t > 4^t$. При делении единицы на бóльшее положительное число получается меньший результат. Следовательно, $\frac{1}{9^t} < \frac{1}{4^t}$.

Это означает, что $9^x < 4^x$ при $x < 0$.

Например, при $x = -1$: $9^{-1} = \frac{1}{9}$, $4^{-1} = \frac{1}{4}$, и $\frac{1}{9} < \frac{1}{4}$.

Следовательно, при $x < 0$ график функции $y = 9^x$ расположен ниже графика функции $y = 4^x$.

Ответ: При $x > 0$ график функции $y = 9^x$ лежит выше графика $y = 4^x$; при $x = 0$ графики пересекаются в точке $(0, 1)$; при $x < 0$ график функции $y = 9^x$ лежит ниже графика $y = 4^x$.

2) $y = (\frac{1}{2})^x$ и $y = (\frac{1}{3})^x$

Аналогично первому пункту, сравним значения функций $y = (\frac{1}{2})^x$ и $y = (\frac{1}{3})^x$ при различных значениях $x$. Обе функции являются показательными с основанием меньше единицы, поэтому их графики — убывающие кривые, проходящие через точку $(0, 1)$.

Случай $x > 0$:

Основания степеней равны $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{3}$. Сравним их: $\frac{1}{2} > \frac{1}{3}$.

При возведении в положительную степень $x > 0$ большее основание даст большее значение: $(\frac{1}{2})^x > (\frac{1}{3})^x$.

Например, при $x = 1$: $(\frac{1}{2})^1 = \frac{1}{2}$, $(\frac{1}{3})^1 = \frac{1}{3}$, и $\frac{1}{2} > \frac{1}{3}$.

При $x = 2$: $(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$, $(\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$, и $\frac{1}{4} > \frac{1}{9}$.

Следовательно, при $x > 0$ график функции $y = (\frac{1}{2})^x$ расположен выше графика функции $y = (\frac{1}{3})^x$.

Случай $x = 0$:

$y = (\frac{1}{2})^0 = 1$

$y = (\frac{1}{3})^0 = 1$

При $x = 0$ значения функций равны, и их графики пересекаются в точке с координатами $(0, 1)$.

Случай $x < 0$:

Пусть $x = -t$, где $t > 0$. Нам нужно сравнить $(\frac{1}{2})^{-t}$ и $(\frac{1}{3})^{-t}$.

$(\frac{1}{2})^{-t} = ((\frac{1}{2})^{-1})^t = 2^t$

$(\frac{1}{3})^{-t} = ((\frac{1}{3})^{-1})^t = 3^t$

Поскольку $t > 0$ и $3 > 2$, то $3^t > 2^t$.

Это означает, что $(\frac{1}{3})^x > (\frac{1}{2})^x$ при $x < 0$.

Например, при $x = -1$: $(\frac{1}{2})^{-1} = 2$, $(\frac{1}{3})^{-1} = 3$, и $2 < 3$.

Следовательно, при $x < 0$ график функции $y = (\frac{1}{2})^x$ расположен ниже графика функции $y = (\frac{1}{3})^x$.

Ответ: При $x > 0$ график функции $y = (\frac{1}{2})^x$ лежит выше графика $y = (\frac{1}{3})^x$; при $x = 0$ графики пересекаются в точке $(0, 1)$; при $x < 0$ график функции $y = (\frac{1}{2})^x$ лежит ниже графика $y = (\frac{1}{3})^x$.

19.10. Сколько точек пересечения имеют графики функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$:

1) $y = 2^x$ и $y = 4^x$;

2) $y = 2^x$ и $y = x^4$;

3) $y = 2^x$ и $y = x^2$;

4) $y = 2^x$ и $y = -3x^2$?

1) y = 2^x и y = 4^x

Чтобы найти точки пересечения графиков, необходимо приравнять функции друг к другу и решить полученное уравнение:

$2^x = 4^x$

Представим $4$ как $2^2$:

$2^x = (2^2)^x$

$2^x = 2^{2x}$

Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$x = 2x$

$2x - x = 0$

$x = 0$

Мы нашли одно действительное решение для $x$. Это означает, что графики функций пересекаются в одной точке. Чтобы найти координаты этой точки, подставим $x=0$ в любую из исходных функций:

$y = 2^0 = 1$

Точка пересечения: $(0, 1)$.

Ответ: 1 точка пересечения.

2) y = 2^x и y = x⁴

Приравняем функции:

$2^x = x^4$

Это трансцендентное уравнение, которое сложно решить аналитически в общем виде. Проанализируем его, исследуя поведение функций и находя некоторые решения подбором.

1. Рассмотрим случай $x < 0$. Функция $y = 2^x$ принимает значения в интервале $(0, 1)$. Функция $y = x^4$ принимает положительные значения. При $x = -1$, имеем $y = 2^{-1} = 0.5$, а $y = (-1)^4 = 1$. В этой точке $2^x < x^4$. Когда $x$ стремится к нулю слева ($x \to 0^-$), $2^x \to 1$, а $x^4 \to 0$. Вблизи нуля $2^x > x^4$. Поскольку на концах интервала $(-1, 0)$ знак неравенства меняется, и обе функции непрерывны, существует как минимум одна точка пересечения в этом интервале. Так как для $x < 0$ функция $y=2^x$ возрастает, а $y=x^4$ убывает, они могут пересечься только один раз. Таким образом, есть один отрицательный корень.

2. Рассмотрим случай $x > 0$. Обе функции возрастают. Проверим некоторые значения. При $x=2$ имеем $2^2=4$ и $2^4=16$ ($2^x < x^4$). При $x=16$ имеем $2^{16}$ и $16^4 = (2^4)^4 = 2^{16}$, то есть $x=16$ является точкой пересечения. Поскольку экспоненциальная функция $y=2^x$ в конечном итоге растет быстрее любой степенной функции, а при $x=2$ она была меньше, должен быть еще один корень между $x=2$ и $x=16$. Фактически, если рассмотреть уравнение $2^x=x^4$ для $x>0$, можно извлечь корень четвертой степени: $2^{x/4} = x$. Замена $y=x/4$ приводит к уравнению $2^y = 4y$, которое имеет два решения (одно из них $y=4$, что дает $x=16$; другое находится в интервале $(0,1)$). Таким образом, существуют два положительных корня.

Суммируя, мы имеем один отрицательный корень и два положительных корня.

Ответ: 3 точки пересечения.

3) y = 2^x и y = x²

Приравняем функции:

$2^x = x^2$

Как и в предыдущем случае, это трансцендентное уравнение. Проанализируем его, исследуя поведение функций.

1. Рассмотрим случай $x < 0$. Функция $y=2^x$ возрастает, а $y=x^2$ убывает. При $x=-1$ имеем $2^{-1}=0.5$ и $(-1)^2=1$ ($2^x < x^2$). При $x \to 0^-$ имеем $2^x \to 1$ и $x^2 \to 0$ ($2^x > x^2$). Из-за смены знака неравенства и различной монотонности на этом промежутке, существует ровно одна точка пересечения для $x<0$. Она находится в интервале $(-1, 0)$.

2. Рассмотрим случай $x > 0$. Обе функции возрастают. Проверим целочисленные значения:

При $x=2$: $2^2 = 4$ и $2^2 = 4$. Это точка пересечения.

При $x=4$: $2^4 = 16$ и $4^2 = 16$. Это еще одна точка пересечения.

Между $x=2$ и $x=4$ парабола $y=x^2$ находится "выше" графика $y=2^x$ (например, при $x=3$ имеем $8 < 9$). Для $x > 4$ показательная функция $y=2^x$ растет быстрее степенной функции $y=x^2$, поэтому других пересечений при $x>4$ не будет (например, при $x=5$ имеем $32 > 25$). Таким образом, мы нашли два положительных корня.

Всего имеем один отрицательный корень и два положительных корня ($x=2$ и $x=4$).

Ответ: 3 точки пересечения.

4) y = 2^x и y = -3x²

Приравняем функции:

$2^x = -3x^2$

Проанализируем области значений этих функций.

Функция $y = 2^x$ является показательной. Ее область значений — все положительные действительные числа, то есть $y > 0$ для любого $x$.

Функция $y = -3x^2$ является параболой с ветвями, направленными вниз, и вершиной в точке $(0, 0)$. Ее область значений — все неположительные действительные числа, то есть $y \le 0$ для любого $x$.

Левая часть уравнения ($2^x$) всегда строго положительна, а правая часть ($-3x^2$) всегда неположительна. Равенство между ними невозможно ни при каком значении $x$.

Следовательно, графики этих функций не пересекаются.

Ответ: 0 точек пересечения.

19.11. Какую числовую последовательность образуют значения показательной функции $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$, соответствующие значениям аргумента $x$: 1; 2; 3; 4; ...?

Чтобы определить, какую числовую последовательность образуют значения показательной функции $y = (\frac{1}{3})^x$ при натуральных значениях аргумента $x = 1, 2, 3, 4, \dots$, необходимо последовательно подставить эти значения $x$ в функцию и вычислить соответствующие значения $y$.

Обозначим члены искомой последовательности как $b_n$, где $n$ — это номер члена последовательности, который соответствует натуральному значению аргумента $x=n$.

Вычислим первые несколько членов последовательности:

При $x = 1$, первый член последовательности $b_1 = y(1) = (\frac{1}{3})^1 = \frac{1}{3}$.

При $x = 2$, второй член последовательности $b_2 = y(2) = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$.

При $x = 3$, третий член последовательности $b_3 = y(3) = (\frac{1}{3})^3 = \frac{1}{27}$.

При $x = 4$, четвертый член последовательности $b_4 = y(4) = (\frac{1}{3})^4 = \frac{1}{81}$.

Таким образом, мы получаем числовую последовательность: $\frac{1}{3}, \frac{1}{9}, \frac{1}{27}, \frac{1}{81}, \dots$

Теперь определим тип этой последовательности. Проверим, является ли она геометрической прогрессией. Геометрическая прогрессия — это последовательность, в которой каждый следующий член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на постоянное число, называемое знаменателем прогрессии ($q$).

Найдем отношение каждого последующего члена к предыдущему:

$\frac{b_2}{b_1} = \frac{1/9}{1/3} = \frac{1}{9} \cdot \frac{3}{1} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

$\frac{b_3}{b_2} = \frac{1/27}{1/9} = \frac{1}{27} \cdot \frac{9}{1} = \frac{9}{27} = \frac{1}{3}$

$\frac{b_4}{b_3} = \frac{1/81}{1/27} = \frac{1}{81} \cdot \frac{27}{1} = \frac{27}{81} = \frac{1}{3}$

Так как отношение между любыми двумя последовательными членами постоянно и равно $\frac{1}{3}$, данная последовательность является геометрической прогрессией. Первый член этой прогрессии $b_1 = \frac{1}{3}$, а знаменатель $q = \frac{1}{3}$.

Поскольку знаменатель прогрессии $|q| = |\frac{1}{3}| < 1$, эта прогрессия является бесконечно убывающей.

Ответ: Значения функции образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с первым членом $b_1 = \frac{1}{3}$ и знаменателем $q = \frac{1}{3}$.

19.12. Постройте графики функции посредством простейших преобразований:

1) $y = 2^{x+3} - 3;$

2) $y = 2 - 3^{x-1}.$

1) $y = 2^{x+3} - 3$

Для построения графика функции $y = 2^{x+3} - 3$ выполним последовательность простейших преобразований, исходя из графика базовой показательной функции $y_0 = 2^x$.

Шаг 1. Построение графика базовой функции $y_0 = 2^x$.

Это стандартная возрастающая показательная функция. Она проходит через точку $(0, 1)$, так как $2^0 = 1$. Ось $Ox$ (прямая $y=0$) является горизонтальной асимптотой для графика при $x \to -\infty$. Вычислим несколько контрольных точек:

при $x = -1$, $y = 2^{-1} = 0.5$, точка $(-1, 0.5)$;

при $x = 0$, $y = 2^0 = 1$, точка $(0, 1)$;

при $x = 1$, $y = 2^1 = 2$, точка $(1, 2)$.

Шаг 2. Сдвиг по оси $Ox$ для получения $y_1 = 2^{x+3}$.

График функции $y_1 = 2^{x+3}$ получается из графика $y_0 = 2^x$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси абсцисс ($Ox$) на 3 единицы влево. Это преобразование вида $f(x) \to f(x+a)$.

Каждая точка $(x, y)$ на графике $y_0=2^x$ переходит в точку $(x-3, y)$ на графике $y_1 = 2^{x+3}$. Преобразуем контрольные точки:

$(-1, 0.5) \to (-1-3, 0.5) = (-4, 0.5)$;

$(0, 1) \to (0-3, 1) = (-3, 1)$;

$(1, 2) \to (1-3, 2) = (-2, 2)$.

Горизонтальная асимптота $y=0$ при этом сдвиге не изменяется.

Шаг 3. Сдвиг по оси $Oy$ для получения $y = 2^{x+3} - 3$.

Искомый график получается из графика $y_1 = 2^{x+3}$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси ординат ($Oy$) на 3 единицы вниз. Это преобразование вида $f(x) \to f(x)-b$.

Каждая точка $(x, y)$ на графике $y_1 = 2^{x+3}$ переходит в точку $(x, y-3)$ на итоговом графике. Преобразуем контрольные точки:

$(-4, 0.5) \to (-4, 0.5-3) = (-4, -2.5)$;

$(-3, 1) \to (-3, 1-3) = (-3, -2)$;

$(-2, 2) \to (-2, 2-3) = (-2, -1)$.

Горизонтальная асимптота также сдвигается на 3 единицы вниз и становится прямой $y = -3$.

Для большей точности можно найти точки пересечения с осями координат:

Пересечение с осью $Oy$ (при $x=0$): $y = 2^{0+3} - 3 = 2^3 - 3 = 8 - 3 = 5$. Точка $(0, 5)$.

Пересечение с осью $Ox$ (при $y=0$): $0 = 2^{x+3} - 3 \Rightarrow 2^{x+3} = 3 \Rightarrow x+3 = \log_2 3 \Rightarrow x = \log_2 3 - 3$. Точка $(\log_2 3 - 3, 0)$.

Ответ: График функции $y = 2^{x+3} - 3$ получается из графика $y = 2^x$ сдвигом на 3 единицы влево по оси $Ox$ и на 3 единицы вниз по оси $Oy$. Горизонтальная асимптота графика — прямая $y=-3$. График является возрастающим и проходит через точки $(-4, -2.5)$, $(-3, -2)$, $(-2, -1)$ и $(0, 5)$.

2) $y = 2 - 3^{x-1}$

Для построения графика функции $y = 2 - 3^{x-1}$, которую можно записать как $y = -3^{x-1} + 2$, выполним последовательность простейших преобразований, исходя из графика базовой функции $y_0 = 3^x$.

Шаг 1. Построение графика базовой функции $y_0 = 3^x$.

Это стандартная возрастающая показательная функция. Она проходит через точку $(0, 1)$. Ось $Ox$ ($y=0$) является ее горизонтальной асимптотой при $x \to -\infty$. Контрольные точки:

при $x = -1$, $y = 3^{-1} = 1/3$, точка $(-1, 1/3)$;

при $x = 0$, $y = 3^0 = 1$, точка $(0, 1)$;

при $x = 1$, $y = 3^1 = 3$, точка $(1, 3)$.

Шаг 2. Сдвиг по оси $Ox$ для получения $y_1 = 3^{x-1}$.

График этой функции получается из графика $y_0 = 3^x$ сдвигом на 1 единицу вправо по оси $Ox$. Преобразуем контрольные точки:

$(-1, 1/3) \to (0, 1/3)$;

$(0, 1) \to (1, 1)$;

$(1, 3) \to (2, 3)$.

Асимптота $y=0$ остается на месте.

Шаг 3. Отражение относительно оси $Ox$ для получения $y_2 = -3^{x-1}$.

График этой функции получается из графика $y_1 = 3^{x-1}$ путем симметричного отражения относительно оси $Ox$. Каждая ордината точки умножается на $-1$. Преобразуем контрольные точки:

$(0, 1/3) \to (0, -1/3)$;

$(1, 1) \to (1, -1)$;

$(2, 3) \to (2, -3)$.

Асимптота $y=0$ не изменяется. Функция становится убывающей.

Шаг 4. Сдвиг по оси $Oy$ для получения $y = -3^{x-1} + 2$.

Искомый график получается из графика $y_2 = -3^{x-1}$ сдвигом на 2 единицы вверх по оси $Oy$. Преобразуем контрольные точки:

$(0, -1/3) \to (0, -1/3 + 2) = (0, 5/3)$;

$(1, -1) \to (1, -1 + 2) = (1, 1)$;

$(2, -3) \to (2, -3 + 2) = (2, -1)$.

Горизонтальная асимптота сдвигается на 2 единицы вверх и становится прямой $y=2$.

Найдем точки пересечения с осями координат:

Пересечение с осью $Oy$ (при $x=0$): $y = 2 - 3^{0-1} = 2 - 1/3 = 5/3$. Точка $(0, 5/3)$.

Пересечение с осью $Ox$ (при $y=0$): $0 = 2 - 3^{x-1} \Rightarrow 3^{x-1} = 2 \Rightarrow x-1 = \log_3 2 \Rightarrow x = 1 + \log_3 2$. Точка $(1 + \log_3 2, 0)$.

Ответ: График функции $y = 2 - 3^{x-1}$ получается из графика $y = 3^x$ последовательным применением преобразований: сдвиг на 1 единицу вправо по оси $Ox$, отражение относительно оси $Ox$ и сдвиг на 2 единицы вверх по оси $Oy$. Горизонтальная асимптота графика — прямая $y=2$. График является убывающим и проходит через точки $(0, 5/3)$, $(1, 1)$ и $(2, -1)$.