Страница 147 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

13. Используя график функции $f(x) = ax^2 + bx + c = 0$, найдите значение выражения $M = 2f(-4) + 5f(0) + 2f(-1) + 2f(2)$ и множество значений функции, если переменная $x \in [-2; 2]$:

A) $M = 3; [-4; 4];$

B) $M = 3; [-4; 3];$

C) $M = 3; [-5; 3];$

D) $M = 4; [-5; 4];$

E) $M = 3; [-5; 4].$

Значение выражения M

Для решения задачи определим по графику значения функции в требуемых точках. Из графика параболы $f(x)$ находим следующие значения:

При $x = -4$, график проходит через точку $(-4, -5)$, следовательно $f(-4) = -5$.

При $x = 0$, график пересекает ось $y$ в точке $(0, 3)$, следовательно $f(0) = 3$.

При $x = -1$, функция достигает своего максимального значения в вершине параболы, точка $(-1, 4)$, следовательно $f(-1) = 4$.

При $x = 2$, график проходит через точку $(2, -5)$, следовательно $f(2) = -5$.

Теперь подставим найденные значения в выражение для $M$:

$M = 2f(-4) + 5f(0) + 2f(-1) + 2f(2)$

$M = 2 \cdot (-5) + 5 \cdot 3 + 2 \cdot 4 + 2 \cdot (-5)$

$M = -10 + 15 + 8 - 10$

$M = 5 + 8 - 10 = 3$

Ответ: $M = 3$.

Множество значений функции на отрезке $x \in [-2; 2]$

Чтобы найти множество значений функции на отрезке $[-2; 2]$, необходимо определить ее наибольшее и наименьшее значения на этом интервале.

График функции — это парабола, ветви которой направлены вниз. Ее вершина находится в точке с координатами $(-1, 4)$. Так как абсцисса вершины $x_v = -1$ принадлежит отрезку $[-2; 2]$, то наибольшее значение функции на данном отрезке будет достигаться в вершине.

Наибольшее значение: $f_{наиб} = f(-1) = 4$.

Наименьшее значение функции на отрезке ищем на его концах. Вычислим значения функции в точках $x = -2$ и $x = 2$ по графику:

$f(-2) = 3$

$f(2) = -5$

Сравнивая значения на концах отрезка, находим наименьшее: $f_{наим} = \min(f(-2), f(2)) = \min(3, -5) = -5$.

Таким образом, множество значений функции $f(x)$ на отрезке $[-2; 2]$ — это промежуток от ее наименьшего значения на этом отрезке до наибольшего.

Ответ: $[-5; 4]$.

14. Количество четырехзначных чисел, в записи которых две цифры 2 и по одной цифре 0 и 5, равно:

A) 7; B) 8; C) 9; D) 10; E) 12.

Для решения этой задачи необходимо найти количество четырехзначных чисел, которые можно составить из набора цифр {2, 2, 0, 5}. Основное ограничение заключается в том, что четырехзначное число не может начинаться с цифры 0.

Данную задачу можно решить методом комбинаторики, используя перестановки с повторениями.

Сначала найдем общее количество всех возможных перестановок из четырех цифр {2, 2, 0, 5}, временно игнорируя ограничение на первую цифру. У нас есть 4 позиции и 4 цифры, среди которых цифра '2' повторяется дважды. Общее число перестановок с повторениями вычисляется по формуле $P = \frac{n!}{k_1!k_2!...}$, где $n$ — общее количество элементов, а $k_i$ — количество повторений каждого элемента.

В нашем случае $n=4$ (всего четыре цифры), и есть одна повторяющаяся цифра '2' ($k_1=2$).Общее число перестановок равно:$P_{общ} = \frac{4!}{2!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1} = \frac{24}{2} = 12$.

Теперь из этого общего числа нужно вычесть те комбинации, которые начинаются с 0, так как они не являются четырехзначными числами (например, 0522 — это трехзначное число 522).Найдем количество таких "неправильных" перестановок. Если на первом месте стоит 0, то на оставшихся трех позициях нужно расположить оставшиеся цифры {2, 2, 5}. Количество способов сделать это — это число перестановок с повторениями для трех элементов:$P_{неправ} = \frac{3!}{2!} = \frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1} = 3$.Таких чисел три: 0225, 0252 и 0522.

Чтобы получить итоговое количество четырехзначных чисел, вычтем количество "неправильных" перестановок из общего количества перестановок:Искомое количество = $P_{общ} - P_{неправ} = 12 - 3 = 9$.

Ответ: 9.

15. Если выражение равно $5x \cdot \frac{z}{y}$, то выражение принимает значение, равное:

А) $3 \frac{1}{3}$; B) 6; C) 3; D) -6; E) $-3 \frac{1}{3}$.

Согласно условию задачи, выражение, представленное фигурой с переменными, вычисляется по определенному правилу. Если обозначить число в левой части фигуры как $x$, в верхней — как $y$, и в нижней — как $z$, то значение выражения равно $5x \cdot \frac{z}{y}$.

Нам необходимо вычислить значение для второй фигуры, используя это правило. Для второй фигуры имеем следующие значения:

$x = -2$ (число в левой части)

$y = -5$ (число в верхней части)

$z = 3$ (число в нижней части)

Теперь подставим эти значения в заданную формулу и выполним вычисления:

$5x \cdot \frac{z}{y} = 5 \cdot (-2) \cdot \frac{3}{-5}$

Сначала умножим 5 на -2:

$5 \cdot (-2) = -10$

Теперь выражение выглядит так:

$-10 \cdot \frac{3}{-5}$

При делении (или умножении) двух отрицательных чисел результат будет положительным:

$-10 \cdot \frac{3}{-5} = 10 \cdot \frac{3}{5}$

Выполним умножение:

$\frac{10 \cdot 3}{5} = \frac{30}{5} = 6$

Таким образом, значение выражения равно 6.

Ответ: 6