Страница 144 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

18.5. Составьте квадратное уравнение с действительными коэффициентами, одним из корней которого является число:

1) $\sqrt{15}i$;

2) $\sqrt{3} - 2i$;

3) $-3\sqrt{5} + 2i$;

4) $2 - 3\sqrt{2}i$.

1)

Если один из корней квадратного уравнения с действительными коэффициентами является комплексным числом $z_1 = a+bi$, то второй корень $z_2$ обязательно будет его комплексно сопряженным числом, то есть $z_2 = a-bi$.

Дан корень $z_1 = \sqrt{15}i = 0 + \sqrt{15}i$.

Следовательно, второй корень $z_2 = \overline{z_1} = 0 - \sqrt{15}i = -\sqrt{15}i$.

Квадратное уравнение с корнями $z_1$ и $z_2$ можно составить по теореме Виета: $x^2 - (z_1+z_2)x + z_1z_2 = 0$.

Найдем сумму корней: $z_1 + z_2 = \sqrt{15}i + (-\sqrt{15}i) = 0$.

Найдем произведение корней: $z_1 \cdot z_2 = (\sqrt{15}i)(-\sqrt{15}i) = -(\sqrt{15})^2 i^2 = -15(-1) = 15$.

Подставим найденные значения в уравнение:

$x^2 - (0)x + 15 = 0$

$x^2 + 15 = 0$

Ответ: $x^2 + 15 = 0$.

2)

Дан корень $z_1 = \sqrt{3} - 2i$.

Так как коэффициенты уравнения действительные, второй корень $z_2$ является комплексно сопряженным к $z_1$: $z_2 = \overline{\sqrt{3} - 2i} = \sqrt{3} + 2i$.

Используем формулу $x^2 - (z_1+z_2)x + z_1z_2 = 0$.

Сумма корней: $z_1 + z_2 = (\sqrt{3} - 2i) + (\sqrt{3} + 2i) = 2\sqrt{3}$.

Произведение корней: $z_1 \cdot z_2 = (\sqrt{3} - 2i)(\sqrt{3} + 2i) = (\sqrt{3})^2 - (2i)^2 = 3 - 4i^2 = 3 - 4(-1) = 3 + 4 = 7$.

Подставляем в уравнение:

$x^2 - 2\sqrt{3}x + 7 = 0$

Ответ: $x^2 - 2\sqrt{3}x + 7 = 0$.

3)

Дан корень $z_1 = -3\sqrt{5} + 2i$.

Второй корень является комплексно сопряженным: $z_2 = \overline{-3\sqrt{5} + 2i} = -3\sqrt{5} - 2i$.

Используем формулу $x^2 - (z_1+z_2)x + z_1z_2 = 0$.

Сумма корней: $z_1 + z_2 = (-3\sqrt{5} + 2i) + (-3\sqrt{5} - 2i) = -6\sqrt{5}$.

Произведение корней: $z_1 \cdot z_2 = (-3\sqrt{5} + 2i)(-3\sqrt{5} - 2i) = (-3\sqrt{5})^2 - (2i)^2 = (9 \cdot 5) - 4i^2 = 45 - 4(-1) = 45 + 4 = 49$.

Подставляем в уравнение:

$x^2 - (-6\sqrt{5})x + 49 = 0$

$x^2 + 6\sqrt{5}x + 49 = 0$

Ответ: $x^2 + 6\sqrt{5}x + 49 = 0$.

4)

Дан корень $z_1 = 2 - 3\sqrt{2}i$.

Второй корень является комплексно сопряженным: $z_2 = \overline{2 - 3\sqrt{2}i} = 2 + 3\sqrt{2}i$.

Используем формулу $x^2 - (z_1+z_2)x + z_1z_2 = 0$.

Сумма корней: $z_1 + z_2 = (2 - 3\sqrt{2}i) + (2 + 3\sqrt{2}i) = 4$.

Произведение корней: $z_1 \cdot z_2 = (2 - 3\sqrt{2}i)(2 + 3\sqrt{2}i) = 2^2 - (3\sqrt{2}i)^2 = 4 - (9 \cdot 2)i^2 = 4 - 18(-1) = 4 + 18 = 22$.

Подставляем в уравнение:

$x^2 - 4x + 22 = 0$

Ответ: $x^2 - 4x + 22 = 0$.

18.6. Разложите выражение на линейные множители:

1) $x^4 + 2x^2 - 8;$

2) $x^4 - 4x^2 - 5;$

3) $x^4 - 4x^2 + 12;$

4) $x^4 - 6x^2 + 8.$

1) $x^4 + 2x^2 - 8$

Данное выражение является биквадратным. Для его разложения на множители введем замену переменной. Пусть $y = x^2$. Тогда выражение примет вид квадратного трехчлена:

$y^2 + 2y - 8$

Найдем корни этого трехчлена, решив уравнение $y^2 + 2y - 8 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $-2$, а произведение равно $-8$. Следовательно, корнями являются $y_1 = 2$ и $y_2 = -4$.

Теперь мы можем разложить квадратный трехчлен на множители по формуле $a(y - y_1)(y - y_2)$:

$(y - 2)(y - (-4)) = (y - 2)(y + 4)$

Выполним обратную замену, подставив $x^2$ вместо $y$:

$(x^2 - 2)(x^2 + 4)$

Далее разложим каждый из полученных множителей на линейные. Множитель $(x^2 - 2)$ представляет собой разность квадратов:

$x^2 - 2 = x^2 - (\sqrt{2})^2 = (x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})$

Множитель $(x^2 + 4)$ является суммой квадратов. Для его разложения на линейные множители необходимо использовать комплексные числа:

$x^2 + 4 = x^2 - (-4) = x^2 - (2i)^2 = (x - 2i)(x + 2i)$

Объединяя все множители, получаем окончательное разложение:

Ответ: $(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})(x - 2i)(x + 2i)$.

2) $x^4 - 4x^2 - 5$

Сделаем замену переменной $y = x^2$. Исходное выражение превращается в квадратный трехчлен:

$y^2 - 4y - 5$

Найдем корни уравнения $y^2 - 4y - 5 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $4$, а произведение равно $-5$. Корнями являются $y_1 = 5$ и $y_2 = -1$.

Разложим трехчлен на множители:

$(y - 5)(y - (-1)) = (y - 5)(y + 1)$

Выполним обратную замену $y = x^2$:

$(x^2 - 5)(x^2 + 1)$

Теперь разложим каждый множитель на линейные. $(x^2 - 5)$ — это разность квадратов:

$x^2 - 5 = x^2 - (\sqrt{5})^2 = (x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5})$

$(x^2 + 1)$ — это сумма квадратов, которая раскладывается с помощью комплексных чисел:

$x^2 + 1 = x^2 - (-1) = x^2 - i^2 = (x - i)(x + i)$

Таким образом, полное разложение на линейные множители имеет вид:

Ответ: $(x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5})(x - i)(x + i)$.

3) $x^4 - 4x^2 + 12$

Применим замену $y = x^2$, чтобы получить квадратный трехчлен $y^2 - 4y + 12$.

Найдем корни уравнения $y^2 - 4y + 12 = 0$ с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 16 - 48 = -32$

Поскольку дискриминант отрицательный, корни уравнения будут комплексными:

$y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{-32}}{2} = \frac{4 \pm i\sqrt{32}}{2} = \frac{4 \pm 4i\sqrt{2}}{2} = 2 \pm 2i\sqrt{2}$

Корни: $y_1 = 2 + 2i\sqrt{2}$ и $y_2 = 2 - 2i\sqrt{2}$.

Сделав обратную замену, получим: $(x^2 - (2 + 2i\sqrt{2}))(x^2 - (2 - 2i\sqrt{2}))$.

Чтобы разложить это выражение на линейные множители, необходимо найти квадратные корни из комплексных чисел $y_1$ и $y_2$. Обозначим корни исходного уравнения через $k_1, k_2, k_3, k_4$.

Корни уравнения $x^2 = 2 + 2i\sqrt{2}$ равны $k_{1,2} = \pm(\sqrt{1+\sqrt{3}} + i\sqrt{\sqrt{3}-1})$.

Корни уравнения $x^2 = 2 - 2i\sqrt{2}$ равны $k_{3,4} = \pm(\sqrt{1+\sqrt{3}} - i\sqrt{\sqrt{3}-1})$.

Разложение на линейные множители имеет вид $(x-k_1)(x-k_2)(x-k_3)(x-k_4)$.

Ответ: $(x - (\sqrt{1+\sqrt{3}} + i\sqrt{\sqrt{3}-1}))(x + (\sqrt{1+\sqrt{3}} + i\sqrt{\sqrt{3}-1}))(x - (\sqrt{1+\sqrt{3}} - i\sqrt{\sqrt{3}-1}))(x + (\sqrt{1+\sqrt{3}} - i\sqrt{\sqrt{3}-1}))$.

4) $x^4 - 6x^2 + 8$

Введем замену $y = x^2$, получим $y^2 - 6y + 8$.

Найдем корни уравнения $y^2 - 6y + 8 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $6$, а произведение равно $8$. Корнями являются $y_1 = 4$ и $y_2 = 2$.

Разложим трехчлен на множители:

$(y - 4)(y - 2)$

Выполним обратную замену $y = x^2$:

$(x^2 - 4)(x^2 - 2)$

Оба множителя являются разностью квадратов. Разложим их на линейные множители:

$x^2 - 4 = x^2 - 2^2 = (x - 2)(x + 2)$

$x^2 - 2 = x^2 - (\sqrt{2})^2 = (x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})$

Итоговое разложение:

Ответ: $(x - 2)(x + 2)(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})$.

18.7. Найдите корни уравнения:

1) $x^2 - 4i = 0;$

2) $x^2 - 9i = 0;$

3) $x^2 + 7i = 0;$

4) $x^2 + 13i = 0;$

5) $x^4 - 16 = 0;$

6) $z^6 - 1 = 0.$

1)

Перепишем уравнение $x^2 - 4i = 0$ в виде $x^2 = 4i$.

Будем искать корень $x$ в алгебраической форме $x = a + bi$, где $a$ и $b$ — действительные числа.

Тогда $(a + bi)^2 = a^2 - b^2 + 2abi$.

Приравнивая это выражение к $4i$, получаем систему уравнений для действительной и мнимой частей:

$\begin{cases} a^2 - b^2 = 0 \\ 2ab = 4 \end{cases}$

Из первого уравнения следует, что $a^2 = b^2$, то есть $a = b$ или $a = -b$.

Из второго уравнения $ab = 2$. Так как произведение $ab$ положительно, $a$ и $b$ должны быть одного знака. Следовательно, подходит только случай $a = b$.

Подставляем $a=b$ во второе уравнение: $a \cdot a = 2$, откуда $a^2 = 2$.

Значит, $a = \sqrt{2}$ или $a = -\sqrt{2}$.

Если $a = \sqrt{2}$, то и $b = \sqrt{2}$, и первый корень $x_1 = \sqrt{2} + i\sqrt{2}$.

Если $a = -\sqrt{2}$, то и $b = -\sqrt{2}$, и второй корень $x_2 = -\sqrt{2} - i\sqrt{2}$.

Ответ: $x_{1,2} = \pm(\sqrt{2} + i\sqrt{2})$.

2)

Уравнение $x^2 - 9i = 0$ эквивалентно $x^2 = 9i$.

Пусть $x = a + bi$. Тогда $(a + bi)^2 = a^2 - b^2 + 2abi$.

Приравниваем действительные и мнимые части: $a^2 - b^2 + 2abi = 0 + 9i$.

$\begin{cases} a^2 - b^2 = 0 \\ 2ab = 9 \end{cases}$

Из $a^2 - b^2 = 0$ следует $a = \pm b$.

Из $2ab = 9$ следует, что $ab = 9/2 > 0$, поэтому $a$ и $b$ одного знака. Значит, $a = b$.

Подставляя $a=b$ в $ab = 9/2$, получаем $a^2 = 9/2$.

Отсюда $a = \pm\sqrt{9/2} = \pm\frac{3}{\sqrt{2}} = \pm\frac{3\sqrt{2}}{2}$.

Если $a = \frac{3\sqrt{2}}{2}$, то $b = \frac{3\sqrt{2}}{2}$, и $x_1 = \frac{3\sqrt{2}}{2} + i\frac{3\sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}(1+i)$.

Если $a = -\frac{3\sqrt{2}}{2}$, то $b = -\frac{3\sqrt{2}}{2}$, и $x_2 = -\frac{3\sqrt{2}}{2} - i\frac{3\sqrt{2}}{2} = -\frac{3\sqrt{2}}{2}(1+i)$.

Ответ: $x_{1,2} = \pm\frac{3\sqrt{2}}{2}(1+i)$.

3)

Уравнение $x^2 + 7i = 0$ перепишем как $x^2 = -7i$.

Пусть $x = a + bi$. Тогда $(a + bi)^2 = a^2 - b^2 + 2abi$.

Приравниваем $a^2 - b^2 + 2abi = 0 - 7i$.

$\begin{cases} a^2 - b^2 = 0 \\ 2ab = -7 \end{cases}$

Из первого уравнения $a = \pm b$.

Из второго уравнения $ab = -7/2 < 0$, значит $a$ и $b$ имеют разные знаки. Следовательно, $a = -b$.

Подставляем $a = -b$ во второе уравнение: $a(-a) = -7/2$, откуда $-a^2 = -7/2$, или $a^2 = 7/2$.

Значит $a = \pm\sqrt{7/2} = \pm\frac{\sqrt{14}}{2}$.

Если $a = \frac{\sqrt{14}}{2}$, то $b = -a = -\frac{\sqrt{14}}{2}$, и $x_1 = \frac{\sqrt{14}}{2} - i\frac{\sqrt{14}}{2} = \frac{\sqrt{14}}{2}(1-i)$.

Если $a = -\frac{\sqrt{14}}{2}$, то $b = -a = \frac{\sqrt{14}}{2}$, и $x_2 = -\frac{\sqrt{14}}{2} + i\frac{\sqrt{14}}{2} = -\frac{\sqrt{14}}{2}(1-i)$.

Ответ: $x_{1,2} = \pm\frac{\sqrt{14}}{2}(1-i)$.

4)

Уравнение $x^2 + 13i = 0$ эквивалентно $x^2 = -13i$.

Пусть $x = a + bi$. Тогда $(a + bi)^2 = a^2 - b^2 + 2abi$.

Приравниваем $a^2 - b^2 + 2abi = 0 - 13i$.

$\begin{cases} a^2 - b^2 = 0 \\ 2ab = -13 \end{cases}$

Из $a^2 = b^2$ следует $a = \pm b$.

Из $ab = -13/2 < 0$ следует, что $a$ и $b$ разных знаков, поэтому $a = -b$.

Подставляем $a = -b$ в $ab = -13/2$: $a(-a) = -13/2 \implies -a^2 = -13/2 \implies a^2 = 13/2$.

Отсюда $a = \pm\sqrt{13/2} = \pm\frac{\sqrt{26}}{2}$.

Если $a = \frac{\sqrt{26}}{2}$, то $b = -\frac{\sqrt{26}}{2}$, и $x_1 = \frac{\sqrt{26}}{2} - i\frac{\sqrt{26}}{2} = \frac{\sqrt{26}}{2}(1-i)$.

Если $a = -\frac{\sqrt{26}}{2}$, то $b = \frac{\sqrt{26}}{2}$, и $x_2 = -\frac{\sqrt{26}}{2} + i\frac{\sqrt{26}}{2} = -\frac{\sqrt{26}}{2}(1-i)$.

Ответ: $x_{1,2} = \pm\frac{\sqrt{26}}{2}(1-i)$.

5)

Дано уравнение $z^4 - 16 = 0$.

Это уравнение можно переписать как $z^4 = 16$.

Разложим левую часть на множители, используя формулу разности квадратов:

$(z^2)^2 - 4^2 = 0$

$(z^2 - 4)(z^2 + 4) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1. $z^2 - 4 = 0 \implies z^2 = 4 \implies z = \pm\sqrt{4}$. Отсюда получаем два действительных корня: $z_1 = 2$ и $z_2 = -2$.

2. $z^2 + 4 = 0 \implies z^2 = -4 \implies z = \pm\sqrt{-4}$. Так как $i^2 = -1$, то $\sqrt{-4} = \sqrt{4 \cdot (-1)} = \sqrt{4i^2} = 2i$. Отсюда получаем два комплексных корня: $z_3 = 2i$ и $z_4 = -2i$.

Таким образом, уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $z_1=2, z_2=-2, z_3=2i, z_4=-2i$.

6)

Дано уравнение $z^6 - 1 = 0$, или $z^6 = 1$.

Нам нужно найти все шесть корней 6-й степени из единицы.

Представим число $1$ в тригонометрической форме: $1 = 1(\cos(0) + i\sin(0))$.

По формуле Муавра для извлечения корней, корни n-й степени из комплексного числа $w = r(\cos\phi + i\sin\phi)$ находятся по формуле:

$z_k = \sqrt[n]{r}\left(\cos\left(\frac{\phi+2\pi k}{n}\right) + i\sin\left(\frac{\phi+2\pi k}{n}\right)\right)$, где $k = 0, 1, 2, \dots, n-1$.

В нашем случае $n=6, r=1, \phi=0$.

$z_k = \sqrt[6]{1}\left(\cos\left(\frac{0+2\pi k}{6}\right) + i\sin\left(\frac{0+2\pi k}{6}\right)\right) = \cos\left(\frac{\pi k}{3}\right) + i\sin\left(\frac{\pi k}{3}\right)$ для $k=0, 1, 2, 3, 4, 5$.

Найдем все шесть корней:

При $k=0: z_0 = \cos(0) + i\sin(0) = 1$.

При $k=1: z_1 = \cos(\frac{\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$.

При $k=2: z_2 = \cos(\frac{2\pi}{3}) + i\sin(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$.

При $k=3: z_3 = \cos(\pi) + i\sin(\pi) = -1$.

При $k=4: z_4 = \cos(\frac{4\pi}{3}) + i\sin(\frac{4\pi}{3}) = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$.

При $k=5: z_5 = \cos(\frac{5\pi}{3}) + i\sin(\frac{5\pi}{3}) = \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $z_0=1, z_1=\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}, z_2=-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}, z_3=-1, z_4=-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}, z_5=\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$.

18.8. Решите квадратное уравнение:

1) $z^2 - (2 + i)z + 2i = 0;$

2) $z^2 - (2 - i)z - 2i = 0;$

3) $z^2 - (3 + 2i)z + 6i = 0;$

4) $z^2 + (6 - 2i)z - 6i = 0;$

5) $z^2 - (5 + 2i)z + 5 + 5i = 0;$

6) $z^2 - 2(5 - 2i)z + 12 - 20i = 0.$

1) Решим квадратное уравнение $z^2 - (2 + i)z + 2i = 0$.

Применим стандартную формулу для корней квадратного уравнения $z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.

Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=-(2+i)$, $c=2i$.

Вычислим дискриминант $\Delta$:

$\Delta = b^2 - 4ac = (-(2 + i))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2i) = (2+i)^2 - 8i = (4 + 4i + i^2) - 8i = (4 + 4i - 1) - 8i = 3 - 4i$.

Теперь найдем квадратный корень из дискриминанта. Пусть $\sqrt{3-4i} = x+iy$.

Тогда $(x+iy)^2 = 3-4i$, откуда $x^2-y^2+2xyi = 3-4i$.

Получаем систему уравнений: $x^2 - y^2 = 3$ и $2xy = -4$.

Также из равенства модулей $|x+iy|^2 = |3-4i|$ следует, что $x^2+y^2 = \sqrt{3^2+(-4)^2} = \sqrt{25} = 5$.

Решим систему:

$ \begin{cases} x^2 - y^2 = 3 \\ x^2 + y^2 = 5 \end{cases} $

Складывая уравнения, получаем $2x^2 = 8 \implies x^2=4 \implies x = \pm 2$.

Вычитая первое уравнение из второго, получаем $2y^2 = 2 \implies y^2=1 \implies y = \pm 1$.

Из условия $2xy=-4$ следует, что $x$ и $y$ имеют противоположные знаки.

Таким образом, $\sqrt{3-4i} = \pm(2-i)$.

Найдем корни уравнения:

$z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{2+i \pm (2-i)}{2}$.

$z_1 = \frac{2+i + (2-i)}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

$z_2 = \frac{2+i - (2-i)}{2} = \frac{2i}{2} = i$.

Ответ: $z_1 = 2$, $z_2 = i$.

2) Решим квадратное уравнение $z^2 - (2 - i)z - 2i = 0$.

Коэффициенты: $a=1$, $b=-(2-i)$, $c=-2i$.

Вычислим дискриминант $\Delta = b^2 - 4ac$:

$\Delta = (-(2-i))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2i) = (2-i)^2 + 8i = (4 - 4i + i^2) + 8i = (4 - 4i - 1) + 8i = 3 + 4i$.

Найдем $\sqrt{3+4i}$. Пусть $\sqrt{3+4i} = x+iy$.

Система: $x^2-y^2 = 3$ и $2xy=4$.

Модуль: $x^2+y^2 = \sqrt{3^2+4^2}=5$.

Решаем систему:

$ \begin{cases} x^2 - y^2 = 3 \\ x^2 + y^2 = 5 \end{cases} $

$2x^2 = 8 \implies x^2=4 \implies x = \pm 2$.

$2y^2 = 2 \implies y^2=1 \implies y = \pm 1$.

Так как $2xy=4$ (положительно), $x$ и $y$ имеют одинаковые знаки. Значит, $\sqrt{3+4i} = \pm(2+i)$.

Найдем корни уравнения:

$z_{1,2} = \frac{-( -(2-i)) \pm (2+i)}{2} = \frac{2-i \pm (2+i)}{2}$.

$z_1 = \frac{2-i + (2+i)}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

$z_2 = \frac{2-i - (2+i)}{2} = \frac{-2i}{2} = -i$.

Ответ: $z_1 = 2$, $z_2 = -i$.

3) Решим квадратное уравнение $z^2 - (3 + 2i)z + 6i = 0$.

Коэффициенты: $a=1$, $b=-(3+2i)$, $c=6i$.

Вычислим дискриминант $\Delta = b^2 - 4ac$:

$\Delta = (-(3+2i))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (6i) = (3+2i)^2 - 24i = (9 + 12i + 4i^2) - 24i = (9+12i-4) - 24i = 5 - 12i$.

Найдем $\sqrt{5-12i}$. Пусть $\sqrt{5-12i} = x+iy$.

Система: $x^2-y^2=5$ и $2xy=-12$.

Модуль: $x^2+y^2 = \sqrt{5^2+(-12)^2} = \sqrt{25+144} = \sqrt{169} = 13$.

Решаем систему:

$ \begin{cases} x^2 - y^2 = 5 \\ x^2 + y^2 = 13 \end{cases} $

$2x^2 = 18 \implies x^2=9 \implies x = \pm 3$.

$2y^2 = 8 \implies y^2=4 \implies y = \pm 2$.

Так как $2xy=-12$ (отрицательно), $x$ и $y$ имеют разные знаки. Значит, $\sqrt{5-12i} = \pm(3-2i)$.

Найдем корни уравнения:

$z_{1,2} = \frac{3+2i \pm (3-2i)}{2}$.

$z_1 = \frac{3+2i + (3-2i)}{2} = \frac{6}{2} = 3$.

$z_2 = \frac{3+2i - (3-2i)}{2} = \frac{4i}{2} = 2i$.

Ответ: $z_1 = 3$, $z_2 = 2i$.

4) Решим квадратное уравнение $z^2 + (6 - 2i)z - 6i = 0$.

Коэффициенты: $a=1$, $b=6-2i$, $c=-6i$.

Вычислим дискриминант $\Delta = b^2 - 4ac$:

$\Delta = (6-2i)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6i) = (36 - 24i + 4i^2) + 24i = (36-24i-4) + 24i = 32 - 24i + 24i = 32$.

Дискриминант является действительным числом. $\sqrt{\Delta} = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$.

Найдем корни уравнения:

$z_{1,2} = \frac{-(6-2i) \pm 4\sqrt{2}}{2} = \frac{-6+2i \pm 4\sqrt{2}}{2} = -3+i \pm 2\sqrt{2}$.

$z_1 = -3+2\sqrt{2}+i$.

$z_2 = -3-2\sqrt{2}+i$.

Ответ: $z_1 = -3+2\sqrt{2}+i$, $z_2 = -3-2\sqrt{2}+i$.

5) Решим квадратное уравнение $z^2 - (5 + 2i)z + 5 + 5i = 0$.

Коэффициенты: $a=1$, $b=-(5+2i)$, $c=5+5i$.

Вычислим дискриминант $\Delta = b^2 - 4ac$:

$\Delta = (-(5+2i))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (5+5i) = (5+2i)^2 - (20+20i) = (25 + 20i + 4i^2) - 20 - 20i = (25+20i-4) - 20 - 20i = 21+20i - 20 - 20i = 1$.

$\sqrt{\Delta} = \sqrt{1} = 1$.

Найдем корни уравнения:

$z_{1,2} = \frac{5+2i \pm 1}{2}$.

$z_1 = \frac{5+2i+1}{2} = \frac{6+2i}{2} = 3+i$.

$z_2 = \frac{5+2i-1}{2} = \frac{4+2i}{2} = 2+i$.

Ответ: $z_1 = 3+i$, $z_2 = 2+i$.

6) Решим квадратное уравнение $z^2 - 2(5 - 2i)z + 12 - 20i = 0$.

Поскольку коэффициент при $z$ четный ($b = 2k$, где $k = -(5-2i)$), воспользуемся упрощенной формулой для корней: $z_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{k^2 - ac}}{a}$.

Коэффициенты: $a=1$, $k = -(5-2i)$, $c=12-20i$.

Вычислим подкоренное выражение (дискриминант, деленный на 4):

$D_1 = k^2 - ac = (-(5-2i))^2 - 1 \cdot (12-20i) = (5-2i)^2 - (12-20i) = (25-20i+4i^2) - 12+20i = (21-20i) - 12+20i = 9$.

$\sqrt{D_1} = \sqrt{9} = 3$.

Найдем корни уравнения:

$z_{1,2} = -k \pm \sqrt{D_1} = (5-2i) \pm 3$.

$z_1 = 5-2i+3 = 8-2i$.

$z_2 = 5-2i-3 = 2-2i$.

Ответ: $z_1 = 8-2i$, $z_2 = 2-2i$.

18.9. Решите уравнение:

1) $z = \bar{z}^2$;

2) $2z = \bar{z}^2$, где $z = x + yi$.

1)

Пусть комплексное число $z$ представлено в алгебраической форме $z = x + yi$, где $x, y \in \mathbb{R}$. Тогда комплексно-сопряженное число равно $\bar{z} = x - yi$.

Подставим эти выражения в исходное уравнение $z = \bar{z}^2$:

$x + yi = (x - yi)^2$

$x + yi = x^2 - 2xyi + (yi)^2$

$x + yi = x^2 - y^2 - 2xyi$

Два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части. Приравниваем их и получаем систему уравнений:

$\begin{cases} x = x^2 - y^2 \\ y = -2xy \end{cases}$

Рассмотрим второе уравнение системы: $y + 2xy = 0$, что эквивалентно $y(1 + 2x) = 0$.

Это уравнение выполняется в двух случаях:

Случай 1: $y = 0$.

Подставим $y=0$ в первое уравнение системы:

$x = x^2 - 0^2 \implies x^2 - x = 0 \implies x(x - 1) = 0$.

Отсюда получаем два значения для $x$: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.

Это дает нам два решения для $z$:

При $x=0, y=0 \implies z_1 = 0 + 0i = 0$.

При $x=1, y=0 \implies z_2 = 1 + 0i = 1$.

Случай 2: $1 + 2x = 0$.

Отсюда $2x = -1 \implies x = -1/2$.

Подставим $x = -1/2$ в первое уравнение системы:

$-1/2 = (-1/2)^2 - y^2$

$-1/2 = 1/4 - y^2$

$y^2 = 1/4 + 1/2 = 3/4$.

Отсюда получаем два значения для $y$: $y_3 = \sqrt{3}/2$ и $y_4 = -\sqrt{3}/2$.

Это дает нам еще два решения для $z$:

$z_3 = -1/2 + i\sqrt{3}/2$.

$z_4 = -1/2 - i\sqrt{3}/2$.

Таким образом, уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $z_1 = 0$; $z_2 = 1$; $z_3 = -1/2 + i\sqrt{3}/2$; $z_4 = -1/2 - i\sqrt{3}/2$.

2)

Представим комплексное число $z$ в виде $z = x + yi$, где $x$ и $y$ — действительные числа. Тогда комплексно-сопряженное число $\bar{z} = x - yi$.

Подставим эти выражения в уравнение $2z = \bar{z}^2$:

$2(x + yi) = (x - yi)^2$

$2x + 2yi = x^2 - 2xyi + (yi)^2$

$2x + 2yi = x^2 - y^2 - 2xyi$

Приравняем действительные и мнимые части уравнения, чтобы получить систему:

$\begin{cases} 2x = x^2 - y^2 \\ 2y = -2xy \end{cases}$

Рассмотрим второе уравнение системы: $2y = -2xy \implies 2y + 2xy = 0 \implies 2y(1 + x) = 0$.

Это уравнение дает два возможных случая:

Случай 1: $y = 0$.

Подставим $y=0$ в первое уравнение системы:

$2x = x^2 - 0^2 \implies x^2 - 2x = 0 \implies x(x - 2) = 0$.

Отсюда $x_1 = 0$ или $x_2 = 2$.

Получаем два решения для $z$:

При $x=0, y=0 \implies z_1 = 0$.

При $x=2, y=0 \implies z_2 = 2$.

Случай 2: $1 + x = 0$.

Отсюда $x = -1$.

Подставим $x = -1$ в первое уравнение системы:

$2(-1) = (-1)^2 - y^2$

$-2 = 1 - y^2$

$y^2 = 1 - (-2) = 3$.

Отсюда $y = \pm\sqrt{3}$.

Получаем еще два решения для $z$:

$z_3 = -1 + i\sqrt{3}$.

$z_4 = -1 - i\sqrt{3}$.

Таким образом, уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $z_1 = 0$; $z_2 = 2$; $z_3 = -1 + i\sqrt{3}$; $z_4 = -1 - i\sqrt{3}$.

18.10. Подготовьте сообщение об истории развития комплексных чисел и их роль в науке и технике.

История развития комплексных чисел

Появление и развитие комплексных чисел — это увлекательная история о том, как математики постепенно принимали концепцию, которая изначально казалась абсурдной и "мнимой".

1. Зарождение идеи (XVI век). Необходимость введения чисел нового типа впервые возникла не при решении квадратных уравнений вида $x^2 = -1$, которые просто считались не имеющими решения, а при поиске действительных корней кубических уравнений. В 1545 году итальянский математик Джероламо Кардано в своем труде "Великое искусство" ("Ars Magna") опубликовал формулу для решения уравнений вида $x^3 + px = q$. Он обнаружил, что в некоторых случаях, когда уравнение заведомо имело три действительных корня (этот случай получил название "неприводимого"), его формула требовала вычисления квадратного корня из отрицательного числа. Кардано называл такие выражения "софистическими" или "фиктивными", но был вынужден признать, что манипуляции с ними по формальным правилам позволяют в итоге прийти к правильному действительному ответу. Это был первый случай, когда мнимые числа оказались не просто курьезом, а необходимым инструментом.

2. Формализация и первые шаги (XVI-XVIII века). Следующий важный шаг сделал итальянский инженер-математик Рафаэль Бомбелли в своей "Алгебре" (1572). Он систематически разработал правила арифметических операций над такими числами, например, $( \sqrt{-1} ) \cdot ( \sqrt{-1} ) = -1$. Бомбелли показал, как в "неприводимом случае" Кардано мнимые части в итоговом выражении взаимно уничтожаются, оставляя действительный корень. Тем не менее, отношение к таким числам оставалось настороженным. В XVII веке Рене Декарт ввел уничижительный термин "мнимые числа", противопоставляя их "реальным", и этот термин закрепился. Значительный прорыв произошел в XVIII веке благодаря работам Леонарда Эйлера. Именно он в 1777 году ввел общепринятое обозначение $i = \sqrt{-1}$ (от лат. imaginarius — мнимый). Величайшим его достижением стала формула Эйлера $e^{i\varphi} = \cos \varphi + i \sin \varphi$, которая установила глубокую связь между экспоненциальной функцией, тригонометрическими функциями и мнимой единицей. Частный случай этой формулы, тождество Эйлера $e^{i\pi} + 1 = 0$, называют одной из самых красивых формул в математике.

3. Геометрическое представление и окончательное признание (XIX век). Полное признание и понимание комплексные числа получили после того, как им было дано наглядное геометрическое истолкование. В 1799 году датский землемер Каспар Вессель, а затем в 1806 году швейцарский математик-любитель Жан-Робер Арган независимо друг от друга предложили представлять комплексное число $z = a + bi$ как точку с координатами $(a, b)$ на плоскости (которую теперь называют комплексной плоскостью или плоскостью Аргана). В этой модели действительные числа располагаются на горизонтальной оси, а чисто мнимые — на вертикальной. Сложение чисел стало соответствовать сложению векторов, а умножение — повороту и растяжению. Это наглядное представление лишило комплексные числа их мистического ореола. Окончательно узаконил их статус "король математиков" Карл Фридрих Гаусс. Он не только активно использовал и популяризовал их геометрическое представление, но и ввел сам термин "комплексное число" взамен "мнимого". Гаусс также дал строгое доказательство основной теоремы алгебры, утверждающей, что любой многочлен ненулевой степени с комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один комплексный корень. Это показало, что поле комплексных чисел является алгебраически замкнутым, и дальнейшее расширение числовой системы для решения алгебраических уравнений не требуется.

Ответ: История комплексных чисел начинается в XVI веке с работ итальянских математиков по решению кубических уравнений, где впервые возникла необходимость извлекать корень из отрицательных чисел. Понятие было формализовано Бомбелли, получило свое название от Декарта, а ключевой вклад в их развитие внес Эйлер, введя обозначение $i$ и знаменитую формулу $e^{i\varphi} = \cos \varphi + i \sin \varphi$. Окончательное признание комплексные числа получили в XIX веке благодаря работам Весселя, Аргана и Гаусса, которые предложили их геометрическую интерпретацию на комплексной плоскости и доказали основную теорему алгебры, закрепив их фундаментальный статус в математике.

Роль комплексных чисел в науке и технике

Изначально появившись как абстрактный математический инструмент, комплексные числа со временем нашли широчайшее применение в самых разных областях науки и техники, став незаменимым языком для описания многих физических явлений.

1. Электротехника и радиотехника. Это одна из самых известных областей применения. Комплексные числа кардинально упрощают анализ цепей переменного тока. Величины, характеризующие переменный ток — напряжение $U$ и сила тока $I$ — являются колеблющимися, т.е. имеют и амплитуду, и фазу. Их очень удобно представлять комплексными числами (фазорами). Полное сопротивление цепи, или импеданс $Z$, также является комплексной величиной: $Z = R + iX$, где $R$ — активное сопротивление (на котором выделяется тепло), а $X$ — реактивное сопротивление (связанное с накоплением энергии в катушках индуктивности и конденсаторах). Использование комплексных чисел позволяет применять для цепей переменного тока привычный закон Ома в простой алгебраической форме $U = I \cdot Z$, избегая решения сложных дифференциальных уравнений.

2. Физика. В современной физике комплексные числа играют фундаментальную роль.

• Квантовая механика: Весь математический аппарат квантовой механики построен на комплексных числах. Состояние квантовой системы описывается волновой функцией $\Psi(x, t)$, которая является комплекснозначной. Главное уравнение динамики, уравнение Шрёдингера, содержит мнимую единицу $i$. Вероятность найти частицу в данной точке пространства пропорциональна квадрату модуля ее волновой функции, $|\Psi|^2$, что является действительным числом.
• Теория колебаний и волн: Описание любых волновых процессов (электромагнитных, акустических, механических) значительно упрощается с помощью комплексных чисел. Плоская волна представляется в компактном виде $A e^{i(\vec{k}\vec{r} - \omega t)}$, где комплексная амплитуда $A$ содержит информацию и об истинной амплитуде, и о начальной фазе. Это делает расчеты интерференции, дифракции и других волновых явлений гораздо более элегантными.

3. Обработка сигналов. Преобразование Фурье, ключевой инструмент в цифровой обработке сигналов, неразрывно связано с комплексными числами. Оно позволяет разложить сложный сигнал (например, звуковой файл или строку изображения) на сумму простых гармонических колебаний (синусоид). Каждая такая гармоника характеризуется частотой, амплитудой и фазой. Представление этих гармоник с помощью комплексных чисел (где модуль — амплитуда, а аргумент — фаза) лежит в основе работы алгоритмов сжатия данных (как в JPEG и MP3), фильтрации шумов и многих других технологий в телекоммуникациях и мультимедиа.

4. Гидродинамика и аэродинамика. Методы теории функций комплексного переменного (ТФКП) являются мощным инструментом для решения двумерных задач гидродинамики. Например, с помощью конформных отображений (функций, которые преобразуют одну комплексную область в другую с сохранением углов) можно смоделировать обтекание жидкостью или газом тел сложной формы, например, профиля крыла самолета (преобразование Жуковского). Это позволяет рассчитать распределение давления и найти подъемную силу.

5. Фрактальная геометрия. Многие знаменитые фракталы, демонстрирующие бесконечную сложность и самоподобие, рождаются на комплексной плоскости. Например, множество Мандельброта определяется поведением итерационной последовательности $z_{n+1} = z_n^2 + c$, где $z$ и $c$ — комплексные числа. Точка $c$ принадлежит множеству, если последовательность, начинающаяся с $z_0 = 0$, остается ограниченной. Эти исследования не только обладают эстетической ценностью, но и находят применение в компьютерной графике и моделировании хаотических систем.

Ответ: Комплексные числа играют фундаментальную роль во многих областях науки и техники. В электротехнике они упрощают анализ цепей переменного тока; в квантовой механике они являются основой математического аппарата; в физике волн и теории сигналов они позволяют удобно описывать колебания; в гидро- и аэродинамике с их помощью моделируют потоки; в теории управления анализируют устойчивость систем; а в математике они порождают красивые структуры фрактальной геометрии. Их способность одновременно кодировать две величины (например, амплитуду и фазу) делает их мощным и незаменимым инструментом для решения широкого круга прикладных задач.

18.11. При каких значениях параметра $p$ квадратное уравнение не имеет действительных корней:

1) $x^2 + (2 - p)x + 2 + p = 0;$

2) $x^2 - 4(p - 2)x + 2p - 2 = 0;$

3) $x^2 + (3 - p)x + 7 - p = 0;$

4) $x^2 - 2(p - 2)x - 2p + 7 = 0?$

Квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ не имеет действительных корней, если его дискриминант $D = b^2 - 4ac$ отрицателен, то есть $D < 0$.

1) $x^2 + (2 - p)x + 2 + p = 0$

В этом уравнении коэффициенты: $a = 1$, $b = 2 - p$, $c = 2 + p$.

Найдем дискриминант:

$D = (2 - p)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2 + p) = (4 - 4p + p^2) - (8 + 4p) = 4 - 4p + p^2 - 8 - 4p = p^2 - 8p - 4$.

Теперь решим неравенство $D < 0$:

$p^2 - 8p - 4 < 0$.

Чтобы решить это неравенство, найдем корни соответствующего уравнения $p^2 - 8p - 4 = 0$.

Дискриминант для этого уравнения (относительно $p$): $D_p = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 64 + 16 = 80$.

Корни: $p_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{80}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{16 \cdot 5}}{2} = \frac{8 \pm 4\sqrt{5}}{2} = 4 \pm 2\sqrt{5}$.

Так как коэффициент при $p^2$ положителен, ветви параболы $y = p^2 - 8p - 4$ направлены вверх. Следовательно, неравенство $p^2 - 8p - 4 < 0$ выполняется между корнями.

Ответ: $p \in (4 - 2\sqrt{5}; 4 + 2\sqrt{5})$.

2) $x^2 - 4(p - 2)x + 2p - 2 = 0$

Коэффициенты: $a = 1$, $b = -4(p - 2)$, $c = 2p - 2$.

Найдем дискриминант:

$D = (-4(p - 2))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2p - 2) = 16(p - 2)^2 - 4(2p - 2) = 16(p^2 - 4p + 4) - 8p + 8 = 16p^2 - 64p + 64 - 8p + 8 = 16p^2 - 72p + 72$.

Решим неравенство $D < 0$:

$16p^2 - 72p + 72 < 0$.

Разделим обе части на 8 для упрощения: $2p^2 - 9p + 9 < 0$.

Найдем корни уравнения $2p^2 - 9p + 9 = 0$.

$D_p = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 9 = 81 - 72 = 9$.

Корни: $p_1 = \frac{9 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{9 - 3}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$; $p_2 = \frac{9 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{9 + 3}{4} = \frac{12}{4} = 3$.

Ветви параболы $y = 2p^2 - 9p + 9$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями.

Ответ: $p \in (\frac{3}{2}; 3)$.

3) $x^2 + (3 - p)x + 7 - p = 0$

Коэффициенты: $a = 1$, $b = 3 - p$, $c = 7 - p$.

Найдем дискриминант:

$D = (3 - p)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (7 - p) = (9 - 6p + p^2) - (28 - 4p) = 9 - 6p + p^2 - 28 + 4p = p^2 - 2p - 19$.

Решим неравенство $D < 0$:

$p^2 - 2p - 19 < 0$.

Найдем корни уравнения $p^2 - 2p - 19 = 0$.

$D_p = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-19) = 4 + 76 = 80$.

Корни: $p_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{80}}{2} = \frac{2 \pm 4\sqrt{5}}{2} = 1 \pm 2\sqrt{5}$.

Ветви параболы $y = p^2 - 2p - 19$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями.

Ответ: $p \in (1 - 2\sqrt{5}; 1 + 2\sqrt{5})$.

4) $x^2 - 2(p - 2)x - 2p + 7 = 0$

Коэффициенты: $a = 1$, $b = -2(p - 2)$, $c = -2p + 7$.

Найдем дискриминант:

$D = (-2(p - 2))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2p + 7) = 4(p - 2)^2 - 4(-2p + 7) = 4(p^2 - 4p + 4) + 8p - 28 = 4p^2 - 16p + 16 + 8p - 28 = 4p^2 - 8p - 12$.

Решим неравенство $D < 0$:

$4p^2 - 8p - 12 < 0$.

Разделим обе части на 4: $p^2 - 2p - 3 < 0$.

Найдем корни уравнения $p^2 - 2p - 3 = 0$.

По теореме Виета корни $p_1 = -1$ и $p_2 = 3$.

Ветви параболы $y = p^2 - 2p - 3$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями.

Ответ: $p \in (-1; 3)$.

18.12. Упростите выражение:

1) $(x^2 - x^{0.5}) : \frac{x\sqrt{x}+\sqrt{x}+x}{1+\sqrt{x}}$;

2) $\frac{x-1}{x+\sqrt{x}+1} : \frac{\sqrt{x}+1}{x\sqrt{x}-1} + \frac{2}{x^{-0.5}}$;

3) $\left(\frac{\sqrt{a}}{2} - \frac{1}{2\sqrt{a}}\right)^2 \cdot \left(\frac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}+1} - \frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-1}\right)$;

4) $\frac{1-a^{-2}}{\frac{1}{a^2}-a^{-2}} - \frac{2}{a^{\frac{3}{2}}} + \frac{a^{-2}-a}{\frac{1}{a^2}-a^{-\frac{1}{2}}}$;

1) $(x^2 - x^{0.5}) : \frac{x\sqrt{x} + \sqrt{x} + x}{1+\sqrt{x}}$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$.

Сначала преобразуем первый множитель, вынеся за скобки $x^{0.5} = \sqrt{x}$:

$x^2 - x^{0.5} = \sqrt{x}(x^{1.5} - 1) = \sqrt{x}((\sqrt{x})^3 - 1)$.

Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:

$\sqrt{x}((\sqrt{x})^3 - 1^3) = \sqrt{x}(\sqrt{x}-1)((\sqrt{x})^2 + \sqrt{x} \cdot 1 + 1^2) = \sqrt{x}(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)$.

Теперь преобразуем делитель:

$\frac{x\sqrt{x} + \sqrt{x} + x}{1+\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x}(x+1+\sqrt{x})}{1+\sqrt{x}}$.

Выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь:

$\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1) \cdot \frac{1+\sqrt{x}}{\sqrt{x}(x+\sqrt{x}+1)}$.

Сократим общие множители $\sqrt{x}$ и $(x+\sqrt{x}+1)$ (этот множитель всегда больше нуля):

$(\sqrt{x}-1)(1+\sqrt{x})$.

Используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:

$(\sqrt{x})^2 - 1^2 = x-1$.

Ответ: $x-1$.

2) $\frac{x-1}{x+\sqrt{x}+1} : \frac{\sqrt{x}+1}{x\sqrt{x}-1} + \frac{2}{x^{-0.5}}$

ОДЗ: $x > 0, x \neq 1$.

Рассмотрим сначала операцию деления. Разложим на множители числитель первой дроби и знаменатель второй дроби:

$x-1 = (\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)$;

$x\sqrt{x}-1 = (\sqrt{x})^3-1^3 = (\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)$.

Подставим это в выражение для деления:

$\frac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}{x+\sqrt{x}+1} : \frac{\sqrt{x}+1}{(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)}$.

Заменим деление умножением на обратную дробь и сократим:

$\frac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}{x+\sqrt{x}+1} \cdot \frac{(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}+1} = (\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}-1) = (\sqrt{x}-1)^2 = x - 2\sqrt{x} + 1$.

Теперь упростим второе слагаемое:

$\frac{2}{x^{-0.5}} = 2x^{0.5} = 2\sqrt{x}$.

Сложим полученные результаты:

$(x - 2\sqrt{x} + 1) + 2\sqrt{x} = x+1$.

Ответ: $x+1$.

3) $(\frac{\sqrt{a}}{2} - \frac{1}{2\sqrt{a}})^2 \cdot (\frac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}+1} - \frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-1})$

ОДЗ: $a > 0, a \neq 1$.

Упростим выражение в первой скобке, приведя к общему знаменателю:

$\frac{\sqrt{a}}{2} - \frac{1}{2\sqrt{a}} = \frac{(\sqrt{a})^2 - 1}{2\sqrt{a}} = \frac{a-1}{2\sqrt{a}}$.

Возведем результат в квадрат:

$(\frac{a-1}{2\sqrt{a}})^2 = \frac{(a-1)^2}{4a}$.

Упростим выражение во второй скобке, приведя к общему знаменателю $(\sqrt{a}+1)(\sqrt{a}-1) = a-1$:

$\frac{(\sqrt{a}-1)(\sqrt{a}-1) - (\sqrt{a}+1)(\sqrt{a}+1)}{(\sqrt{a}+1)(\sqrt{a}-1)} = \frac{(\sqrt{a}-1)^2 - (\sqrt{a}+1)^2}{a-1}$.

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{(a-2\sqrt{a}+1) - (a+2\sqrt{a}+1)}{a-1} = \frac{a-2\sqrt{a}+1-a-2\sqrt{a}-1}{a-1} = \frac{-4\sqrt{a}}{a-1}$.

Теперь перемножим результаты:

$\frac{(a-1)^2}{4a} \cdot \frac{-4\sqrt{a}}{a-1}$.

Сократим общие множители $4$ и $(a-1)$:

$\frac{a-1}{a} \cdot (-\sqrt{a}) = -\frac{(a-1)\sqrt{a}}{a} = -\frac{(a-1)\sqrt{a}}{(\sqrt{a})^2} = -\frac{a-1}{\sqrt{a}} = \frac{1-a}{\sqrt{a}}$.

Ответ: $\frac{1-a}{\sqrt{a}}$.

4) $\frac{1-a^{-2}}{a^{\frac{1}{2}} - a^{-\frac{1}{2}}} - \frac{2}{a^{\frac{3}{2}}} + \frac{a^{-2}-a}{a^{\frac{1}{2}} - a^{-\frac{1}{2}}}$

ОДЗ: $a > 0, a \neq 1$.

Сгруппируем первое и третье слагаемые, так как у них одинаковый знаменатель:

$(\frac{1-a^{-2}}{a^{\frac{1}{2}} - a^{-\frac{1}{2}}} + \frac{a^{-2}-a}{a^{\frac{1}{2}} - a^{-\frac{1}{2}}}) - \frac{2}{a^{\frac{3}{2}}} = \frac{1-a^{-2}+a^{-2}-a}{a^{\frac{1}{2}} - a^{-\frac{1}{2}}} - \frac{2}{a^{\frac{3}{2}}} = \frac{1-a}{a^{\frac{1}{2}} - a^{-\frac{1}{2}}} - \frac{2}{a^{\frac{3}{2}}}$.

Упростим полученную первую дробь. Преобразуем знаменатель:

$a^{\frac{1}{2}} - a^{-\frac{1}{2}} = \sqrt{a} - \frac{1}{\sqrt{a}} = \frac{a-1}{\sqrt{a}}$.

Тогда дробь равна:

$\frac{1-a}{\frac{a-1}{\sqrt{a}}} = (1-a) \cdot \frac{\sqrt{a}}{a-1} = -(a-1) \cdot \frac{\sqrt{a}}{a-1} = -\sqrt{a}$.

Подставим упрощенное выражение обратно в исходное:

$-\sqrt{a} - \frac{2}{a^{\frac{3}{2}}}$.

Приведем к общему знаменателю $a^{\frac{3}{2}}$:

$-\frac{\sqrt{a} \cdot a^{\frac{3}{2}}}{a^{\frac{3}{2}}} - \frac{2}{a^{\frac{3}{2}}} = -\frac{a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{3}{2}} + 2}{a^{\frac{3}{2}}} = -\frac{a^{\frac{1}{2}+\frac{3}{2}} + 2}{a^{\frac{3}{2}}} = -\frac{a^2+2}{a^{\frac{3}{2}}}$.

Ответ: $-\frac{a^2+2}{a^{\frac{3}{2}}}$.