Номер 18.12, страница 144 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

18.12. Упростите выражение:

1) $(x^2 - x^{0.5}) : \frac{x\sqrt{x}+\sqrt{x}+x}{1+\sqrt{x}}$;

2) $\frac{x-1}{x+\sqrt{x}+1} : \frac{\sqrt{x}+1}{x\sqrt{x}-1} + \frac{2}{x^{-0.5}}$;

3) $\left(\frac{\sqrt{a}}{2} - \frac{1}{2\sqrt{a}}\right)^2 \cdot \left(\frac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}+1} - \frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-1}\right)$;

4) $\frac{1-a^{-2}}{\frac{1}{a^2}-a^{-2}} - \frac{2}{a^{\frac{3}{2}}} + \frac{a^{-2}-a}{\frac{1}{a^2}-a^{-\frac{1}{2}}}$;

1) $(x^2 - x^{0.5}) : \frac{x\sqrt{x} + \sqrt{x} + x}{1+\sqrt{x}}$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$.

Сначала преобразуем первый множитель, вынеся за скобки $x^{0.5} = \sqrt{x}$:

$x^2 - x^{0.5} = \sqrt{x}(x^{1.5} - 1) = \sqrt{x}((\sqrt{x})^3 - 1)$.

Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:

$\sqrt{x}((\sqrt{x})^3 - 1^3) = \sqrt{x}(\sqrt{x}-1)((\sqrt{x})^2 + \sqrt{x} \cdot 1 + 1^2) = \sqrt{x}(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)$.

Теперь преобразуем делитель:

$\frac{x\sqrt{x} + \sqrt{x} + x}{1+\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x}(x+1+\sqrt{x})}{1+\sqrt{x}}$.

Выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь:

$\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1) \cdot \frac{1+\sqrt{x}}{\sqrt{x}(x+\sqrt{x}+1)}$.

Сократим общие множители $\sqrt{x}$ и $(x+\sqrt{x}+1)$ (этот множитель всегда больше нуля):

$(\sqrt{x}-1)(1+\sqrt{x})$.

Используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:

$(\sqrt{x})^2 - 1^2 = x-1$.

Ответ: $x-1$.

2) $\frac{x-1}{x+\sqrt{x}+1} : \frac{\sqrt{x}+1}{x\sqrt{x}-1} + \frac{2}{x^{-0.5}}$

ОДЗ: $x > 0, x \neq 1$.

Рассмотрим сначала операцию деления. Разложим на множители числитель первой дроби и знаменатель второй дроби:

$x-1 = (\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)$;

$x\sqrt{x}-1 = (\sqrt{x})^3-1^3 = (\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)$.

Подставим это в выражение для деления:

$\frac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}{x+\sqrt{x}+1} : \frac{\sqrt{x}+1}{(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)}$.

Заменим деление умножением на обратную дробь и сократим:

$\frac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}{x+\sqrt{x}+1} \cdot \frac{(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}+1} = (\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}-1) = (\sqrt{x}-1)^2 = x - 2\sqrt{x} + 1$.

Теперь упростим второе слагаемое:

$\frac{2}{x^{-0.5}} = 2x^{0.5} = 2\sqrt{x}$.

Сложим полученные результаты:

$(x - 2\sqrt{x} + 1) + 2\sqrt{x} = x+1$.

Ответ: $x+1$.

3) $(\frac{\sqrt{a}}{2} - \frac{1}{2\sqrt{a}})^2 \cdot (\frac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}+1} - \frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-1})$

ОДЗ: $a > 0, a \neq 1$.

Упростим выражение в первой скобке, приведя к общему знаменателю:

$\frac{\sqrt{a}}{2} - \frac{1}{2\sqrt{a}} = \frac{(\sqrt{a})^2 - 1}{2\sqrt{a}} = \frac{a-1}{2\sqrt{a}}$.

Возведем результат в квадрат:

$(\frac{a-1}{2\sqrt{a}})^2 = \frac{(a-1)^2}{4a}$.

Упростим выражение во второй скобке, приведя к общему знаменателю $(\sqrt{a}+1)(\sqrt{a}-1) = a-1$:

$\frac{(\sqrt{a}-1)(\sqrt{a}-1) - (\sqrt{a}+1)(\sqrt{a}+1)}{(\sqrt{a}+1)(\sqrt{a}-1)} = \frac{(\sqrt{a}-1)^2 - (\sqrt{a}+1)^2}{a-1}$.

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{(a-2\sqrt{a}+1) - (a+2\sqrt{a}+1)}{a-1} = \frac{a-2\sqrt{a}+1-a-2\sqrt{a}-1}{a-1} = \frac{-4\sqrt{a}}{a-1}$.

Теперь перемножим результаты:

$\frac{(a-1)^2}{4a} \cdot \frac{-4\sqrt{a}}{a-1}$.

Сократим общие множители $4$ и $(a-1)$:

$\frac{a-1}{a} \cdot (-\sqrt{a}) = -\frac{(a-1)\sqrt{a}}{a} = -\frac{(a-1)\sqrt{a}}{(\sqrt{a})^2} = -\frac{a-1}{\sqrt{a}} = \frac{1-a}{\sqrt{a}}$.

Ответ: $\frac{1-a}{\sqrt{a}}$.

4) $\frac{1-a^{-2}}{a^{\frac{1}{2}} - a^{-\frac{1}{2}}} - \frac{2}{a^{\frac{3}{2}}} + \frac{a^{-2}-a}{a^{\frac{1}{2}} - a^{-\frac{1}{2}}}$

ОДЗ: $a > 0, a \neq 1$.

Сгруппируем первое и третье слагаемые, так как у них одинаковый знаменатель:

$(\frac{1-a^{-2}}{a^{\frac{1}{2}} - a^{-\frac{1}{2}}} + \frac{a^{-2}-a}{a^{\frac{1}{2}} - a^{-\frac{1}{2}}}) - \frac{2}{a^{\frac{3}{2}}} = \frac{1-a^{-2}+a^{-2}-a}{a^{\frac{1}{2}} - a^{-\frac{1}{2}}} - \frac{2}{a^{\frac{3}{2}}} = \frac{1-a}{a^{\frac{1}{2}} - a^{-\frac{1}{2}}} - \frac{2}{a^{\frac{3}{2}}}$.

Упростим полученную первую дробь. Преобразуем знаменатель:

$a^{\frac{1}{2}} - a^{-\frac{1}{2}} = \sqrt{a} - \frac{1}{\sqrt{a}} = \frac{a-1}{\sqrt{a}}$.

Тогда дробь равна:

$\frac{1-a}{\frac{a-1}{\sqrt{a}}} = (1-a) \cdot \frac{\sqrt{a}}{a-1} = -(a-1) \cdot \frac{\sqrt{a}}{a-1} = -\sqrt{a}$.

Подставим упрощенное выражение обратно в исходное:

$-\sqrt{a} - \frac{2}{a^{\frac{3}{2}}}$.

Приведем к общему знаменателю $a^{\frac{3}{2}}$:

$-\frac{\sqrt{a} \cdot a^{\frac{3}{2}}}{a^{\frac{3}{2}}} - \frac{2}{a^{\frac{3}{2}}} = -\frac{a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{3}{2}} + 2}{a^{\frac{3}{2}}} = -\frac{a^{\frac{1}{2}+\frac{3}{2}} + 2}{a^{\frac{3}{2}}} = -\frac{a^2+2}{a^{\frac{3}{2}}}$.

Ответ: $-\frac{a^2+2}{a^{\frac{3}{2}}}$.