Номер 18.11, страница 144 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

18.11. При каких значениях параметра $p$ квадратное уравнение не имеет действительных корней:

1) $x^2 + (2 - p)x + 2 + p = 0;$

2) $x^2 - 4(p - 2)x + 2p - 2 = 0;$

3) $x^2 + (3 - p)x + 7 - p = 0;$

4) $x^2 - 2(p - 2)x - 2p + 7 = 0?$

Квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ не имеет действительных корней, если его дискриминант $D = b^2 - 4ac$ отрицателен, то есть $D < 0$.

1) $x^2 + (2 - p)x + 2 + p = 0$

В этом уравнении коэффициенты: $a = 1$, $b = 2 - p$, $c = 2 + p$.

Найдем дискриминант:

$D = (2 - p)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2 + p) = (4 - 4p + p^2) - (8 + 4p) = 4 - 4p + p^2 - 8 - 4p = p^2 - 8p - 4$.

Теперь решим неравенство $D < 0$:

$p^2 - 8p - 4 < 0$.

Чтобы решить это неравенство, найдем корни соответствующего уравнения $p^2 - 8p - 4 = 0$.

Дискриминант для этого уравнения (относительно $p$): $D_p = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 64 + 16 = 80$.

Корни: $p_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{80}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{16 \cdot 5}}{2} = \frac{8 \pm 4\sqrt{5}}{2} = 4 \pm 2\sqrt{5}$.

Так как коэффициент при $p^2$ положителен, ветви параболы $y = p^2 - 8p - 4$ направлены вверх. Следовательно, неравенство $p^2 - 8p - 4 < 0$ выполняется между корнями.

Ответ: $p \in (4 - 2\sqrt{5}; 4 + 2\sqrt{5})$.

2) $x^2 - 4(p - 2)x + 2p - 2 = 0$

Коэффициенты: $a = 1$, $b = -4(p - 2)$, $c = 2p - 2$.

Найдем дискриминант:

$D = (-4(p - 2))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2p - 2) = 16(p - 2)^2 - 4(2p - 2) = 16(p^2 - 4p + 4) - 8p + 8 = 16p^2 - 64p + 64 - 8p + 8 = 16p^2 - 72p + 72$.

Решим неравенство $D < 0$:

$16p^2 - 72p + 72 < 0$.

Разделим обе части на 8 для упрощения: $2p^2 - 9p + 9 < 0$.

Найдем корни уравнения $2p^2 - 9p + 9 = 0$.

$D_p = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 9 = 81 - 72 = 9$.

Корни: $p_1 = \frac{9 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{9 - 3}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$; $p_2 = \frac{9 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{9 + 3}{4} = \frac{12}{4} = 3$.

Ветви параболы $y = 2p^2 - 9p + 9$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями.

Ответ: $p \in (\frac{3}{2}; 3)$.

3) $x^2 + (3 - p)x + 7 - p = 0$

Коэффициенты: $a = 1$, $b = 3 - p$, $c = 7 - p$.

Найдем дискриминант:

$D = (3 - p)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (7 - p) = (9 - 6p + p^2) - (28 - 4p) = 9 - 6p + p^2 - 28 + 4p = p^2 - 2p - 19$.

Решим неравенство $D < 0$:

$p^2 - 2p - 19 < 0$.

Найдем корни уравнения $p^2 - 2p - 19 = 0$.

$D_p = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-19) = 4 + 76 = 80$.

Корни: $p_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{80}}{2} = \frac{2 \pm 4\sqrt{5}}{2} = 1 \pm 2\sqrt{5}$.

Ветви параболы $y = p^2 - 2p - 19$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями.

Ответ: $p \in (1 - 2\sqrt{5}; 1 + 2\sqrt{5})$.

4) $x^2 - 2(p - 2)x - 2p + 7 = 0$

Коэффициенты: $a = 1$, $b = -2(p - 2)$, $c = -2p + 7$.

Найдем дискриминант:

$D = (-2(p - 2))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2p + 7) = 4(p - 2)^2 - 4(-2p + 7) = 4(p^2 - 4p + 4) + 8p - 28 = 4p^2 - 16p + 16 + 8p - 28 = 4p^2 - 8p - 12$.

Решим неравенство $D < 0$:

$4p^2 - 8p - 12 < 0$.

Разделим обе части на 4: $p^2 - 2p - 3 < 0$.

Найдем корни уравнения $p^2 - 2p - 3 = 0$.

По теореме Виета корни $p_1 = -1$ и $p_2 = 3$.

Ветви параболы $y = p^2 - 2p - 3$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями.

Ответ: $p \in (-1; 3)$.